1、专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印1第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1下面函数与 为同一函数的是（ yx）2.A2.BxlnxCyelnDye解： ，且定义域llx， 选 D,2已知 是 的反函数，则 的反函f2fx数是（ ）1.Ayx.By2C2Dx解:令 反解出 ：,yfx互换 ， 位置得反函数12xy，选 Ay3设 在 有定义，则下列函fx,数为奇函数的是（ ）.yffBxx32.CyfDx解： 的定义域 且32yxf,32xfyx选 C4下列函数在 内无界的是（ ,）21.Ayx.arctnByxsincoCsiD解: 排除法：A 有界，B2
2、11x有界，C arctnxsinco2故选 D5数列 有界是 存在的（ ）nlimnxA 必要条件 B 充分条件C 充分必要条件 D 无关条件解： 收敛时，数列 有界（即nxnxnx） ，反之不成立， （如 有界，M1但不收敛，选 A6当 时， 与 为等价无穷n2sink小，则 = （ ）kA B 1 C 2 D -22解： ， 选sinlmli1kk2C二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印27设 ，则 的定义域1fxfx为 解： f11fxx12xx 定义域为f(,)(,1)(,)8设 2,fx则 ()解：（1）令 22,45x
3、tft45f（2） 221()1610fxxx9函数 的反函数是 44logly解：（1） ，反解出 ：(2)xx21yx（2）互换 位置，得反函数, 214xy10 lim1nn解：原式 33li2n有 理 化11若 105lim,knne则 k解：左式= 故5li()510nk212 = 32limsi5n解： 当 时， 原sin式= = 253limn6三、计算题（每小题 8 分，共 64 分）13求函数 的定义域21arcsin7xy解： 213410xx或函数的定义域为 3,1),414设 求sincos2xfxf解： 22i1sinx专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材
4、严禁翻印321f故 x15设 ， 的反函数flngx，求12xgf解: （1） 求 反2():1yx解出 ： 2xy互换 位置得,()g(2) lnlfxx16判别 的奇偶性。21解法（1）： 的定义域 ，关fx,于原点对称 2ln12lx1l()xf为奇函数2ln(1)xx解法（2）： ff22l()lxx2n1ln10故 为奇函数fxffx17已知 为偶函数， 为奇函数，g且 ，求 及1fxgxfx解： 已知 ()f 即有1fx()xg2得2fx故 1()fx得1gx故 2()1x18设 ，求 的值。3lim8nna解： 32lili1nnn alim,nae8ae故 83l219求 11
5、i nn解：（1）拆项， ()()k1,2kn专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印41123n1 1n（2）原式= lim11line20设 0,xfa求 21limn2ffn解： 原式= 12lia2lnlln1i2limna2(1)lln0,a四、综合题（每小题 10 分，共 20 分）21设 = ，求 =fx213fx并讨论 的奇偶性与有f3f界性。解：（1）求 3fx22211fxxff32223fffx（2）讨论 的奇偶性3fx3321ffx为奇函数3fx（3）讨论 的有界性3f32131xf有界 3f22从一块半径为 R 的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为
6、 的扇形做成一个漏斗（如图） ，试将漏斗的容积 V 表示成中心角 的函数。解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为 ，h底半径为 ，依题意：漏斗容积 V=r213r2,hRr2244r故223RV234（2）函数的定义域专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印522240,0故32RV五、证明题（每小题 9 分，共 18 分）23设 为定义在 的任意函数，fx,证明 可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。证：(1) 2fx2fx(2)令 fg2fxfgx为偶函数g(3)令 2fxfxff为奇函数x（4）综上所述： 偶函数+fxg奇函数x24 设 满足函数方程 2 +ffx1= ，证明
7、 为奇函数。1xfx证：（1） 12fxfx 令 函数与自变量,tfftx的记号无关 122ffx （2）消去 ，求出ff1:4xx223,3ff（3） 的定义域fx,0,又 23ffx为奇函数fx选做题1 已知 ，22(1)6n 求2333limn解: 2231n222233311nnn 且223limn专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印631(2)lim6nn223li1n3()li6nn由夹逼定理知，原式 12 若对于任意的 ，函数满足：,xy，证明 为奇fxyfff函数。解 (1)求 ：令0f,20xyff(2)令 :fyy为奇函数fy第二讲：函数的极限与洛必达法
8、则的强化练习题答案一、单项选择题（每小题 4 分，共 24 分）1 下列极限正确的（ ）A B 不存sinlm1xsinlmx在C D lisxliarctn2x解： 选 C01sinlimslxt注：sin1sin0lm0;l1xxAB2 下列极限正确的是（ ）A B 10lixe 10lixeC sec(o)xxD 1limxx解： 选 A10li0xe注： :,2:BC3 若 ， ，则0limxf0lixg下列正确的是 （ ）A 0lixfB 0gxC 01lim0xfD 0lixk解：000lilixxkkff选 D4若 ，02limxf则 （ ）0li3xf专业精神 诚信教育 同方专
9、转本高等数学内部教材 严禁翻印7A3 B C2 D11解： 0033limlixtxfft02121li3tft选 B5设 且1sin(0)si()xfax存在，则 = （ ）0limxfA-1 B0 C1 D2解： sinl,x0liixao选 C 1a6当 时， 是比1afx高阶无穷小，则 （ ）xA B0aC 为任意实数 D1解： 0012limli1aaxx故选 A二 、填空题（每小题 4 分，共 24 分）7 lim1xx解：原式 lim1li1xxe8 21lix解：原式12limx1li2x9 31097lixx解：原式 397212limli1xx38710已知 存在，216l
10、ixa则 = a解： 1lim0x26,7a11 120arcsinlimsixxe解：专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印8又112 200sin,limlisnxxe故 原式=100arclilixx12若 220n1lisix且 ,则正整数 = 0lim1conxn解： 22200lilimsinnxx故204,lxn,43三、计算题（每小题 8 分，共 64 分）13求 sin2lm3xx解： 原式= lisxin31lm0i,lim0x xsi2lsi,lix x原式0314求 01tansilimcoxx解：原式 有 理 化0tansilim(1cos)(1si
11、n)xxx0tli()2xx0tan11lilixx15求 limscox解：令 ，当 时，1t0t原式 10licosin2ttm1tt0cosin2litttee16求 0lincos3x解：原式 0l1s2imxx变 形0cos2li31x等 价 204lim9x等 价注:原式 02sincos3lix x49 专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印917求 02limsinxe解： 原式 0li1cosxe00limli2sncsxxee18设 且fx1,0cosxea存在，求 的值。0limxfa解：10li 0xxea2001coslimlixx02lix2a19
12、 13ln0limsxx解： 原式003coslimn0ln(si3)im1xx xee换 底 法也可以用两个重要极限中的一个，凑一个 1出来（凡是可以用换底的都可以用重要极限来求） 0031limlisn3xxee20求 2lilx无穷大与 0 之间的转换（笔记）解： 原式 201ln1limt tx20litt通 分01lim2tt001lili12t t四、证明题（共 18 分）21当 时且x,lim,liuvx证明 lim1xuvxe证： liv1uxvxlimuvxe专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印10证毕（利用两个重要极限）22当 时，证明以下四个差函数的等
13、0x价无穷小。（1） 3tansi02x等 价 于Tanx-sinx 可以提取一个 tanx，从而凑成Tanx*(1-cosx)，用等价无穷小可以得出 1-cosx1/2x2,从而整体等价于 x3/2;(总结规律：注意 tanx-sinx 有公共因子tanx，从而充分利用等价无穷小的规律，在不定积分中也同样可以用此方法化解式子)（2） 3tan0xx等 价 于（3） 3si6等 价 于（4） 3arcin0xx等 价 于证： 30tsi1lim2x30tan1cosli2xx30lim12x当 时，x3tansi2x:2003tansec12limli1xx（0/0 型，先用洛比达法则进行求导，然后利用 tanx 与 secx 之间的关系转换，再利用等价无穷小）规律总结：见到 tanx 的想法：与 sinx 同幂组合，注意看是否可以提取公因式 tanx;有平方项看是否可以转化为 secx（转化的时候把转化式子写出来，要注意是加 1 还是减1.。 。 ） ；注意利用万能公式（看书复习万能公式，归纳适用条件）（怎样将一个 word 文要分两边显示。 。 。怎样就可以将这样的文档转化为习惯的样子？问老哥） 2200tanlimli1xx当 时，x2t3:03sin3li16x02cosl1x20lim1x当 时， 31sin6x:03arc4lix
