1、1函数周期性分类解析一定义：若 T 为非零常数，对于定义域内的任一 x，使 恒)(xfTf成立则 f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。二重要结论1、 ，则 是以 为周期的周期函数；fxayfxTa2、 若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=-f(x)(a0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。3、 若函数 ，则 是以 为周期的周期函数fxafxf2Ta4、 y=f(x)满足 f(x+a)= (a0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。xf15、若函数 y=f(x)满足 f(x+a)= (a0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周xf1期。6
2、、 ，则 是以 为周期的周期函数 .1()()fxfxaf2Ta7、 ，则 是以 为周期的周期函数 .1()()fxfxaf4Ta28、 若函数 y=f(x)满足 f(x+a)= (xR，a0),则 f(x)为周期函数且 4a 是它)1xf的一个周期。9、 若函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a,x=b(ba)都对称,则 f(x)为周期函数且 2（b-a）是它的一个周期。10、函数 的图象关于两点 、 都对称，则()yfxR0,Aay0,Bba函数 是以 为周期的周期函数；2ba11、函数 的图象关于 和直线 都对称，则函()yfx0,yx数 是以 为周期的周期函数；f412、 若偶函数
3、y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称，则 f(x)为周期函数且 2 是它a的一个周期。13、若奇函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称，则 f(x)为周期函数且 4 是它的一个周期。14、若函数 y=f(x)满足 f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a0),则 f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。15、若奇函数 y=f(x)满足 f(x+T)=f(x)(xR，T0), 则 f( )=0.2T3函数的周期性练习题高一一选择题（共 15 小题）1定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）=f（x） ，f（x2）=f（x+2 ）且x（ 1，0）时，f（x）=2 x+ ，则 f（
4、log 220）=（ ）A1 B C1 D2设偶函数 f（x）对任意 xR，都有 f（x+3 ）= ，且当 x3， 2时，f（x） =4x，则 f（107.5） =（ ）A10 B C10 D3设偶函数 f（x）对任意 xR 都有 f（x）= 且当 x3，2时f（x） =4x，则 f（119.5） =（ ）A10 B 10 C D4若 f（x）是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f（1）=1，f（2）=3，则f（8） f（4）的值为（ ）A 1 B1 C 2 D2 5已知 f（x）是定义在 R 上周期为 4 的奇函数，当 x（0，2 时，f（x）=2x+log2x，则 f（2015）=（
5、）A2 B C2 D56设 f（x）是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数，如图表示该函数在区间（2，1上的图象，则 f（2014）+f（2015）= （ ）A3 B2 C1 D0 7已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，并满足： ，当2x3， f（x）=x ，则 f（ 5.5）= （ ）A5.5 B5.5 C2.5 D2.58奇函数 f（x）满足 f（x+2 ）=f（x） ，当 x（0，1）时，f （x）=3 x+ ，则f（log 354）=（ ） A2 B C D249定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）+f （x）=0，且周期是 4，若 f（1）=5，则 f（2015） （
6、）A 5 B 5 C0 D3 10f（ x）对于任意实数 x 满足条件 f（x+2 ）= ，若 f（1）=5，则f（f（5） ）= （ ） A 5 B C D511已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+5）=f（x 5） ，且 0x5 时，f（x） =4x，则 f（1003）= （ ） A 1B0 C1 D212函数 f（x）是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，当 0x2 时 f（x）=x2x，则函数 y=f（x）的图象在区间 0，6上与 x 轴的交点个数为（ ）A6 B7 C8 D9 13已知函数 f（x）是定义在（，+ ）上的奇函数，若对于任意的实数x0，都有 f（x+2）=
7、f（x） ，且当 x0，2）时，f（x）=log 2（x+1） ，则f（2014 ）+f（ 2015）+f（2016）的值为（ ）A 1 B2 C2 D114已知 f（x）是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x0，3）时，f（x）=|2x24x+1|，则方程 f（x）= 在 3，4解的个数（ ）A4B8C9D1015已知最小正周期为 2 的函数 f（x）在区间1， 1上的解析式是 f（x）=x 2，则函数 f（x）在实数集 R 上的图象与函数 y=g（x）=|log 5x|的图象的交点的个数是（ ）A3 B4 C5 D6 二填空题（共 10 小题）16已知定义在 R 上的函数 f（x）
8、，满足 f（1）= ，且对任意的 x 都有f（x+3）= ，则 f（2014）= 17若 y=f（x）是定义在 R 上周期为 2 的周期函数，且 f（x）是偶函数，当x0，1时， f（x）=2 x1，则函数 g（x）=f（x）log 5|x|的零点个数为 18定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）= ，则 f（2013 ）的值为 519定义在 R 上的函数 f （x）的图象关于点（ ，0）对称，且满足 f （x）=f （x+ ） ，f （1）=1，f （0）=2，则 f （1） +f （2）+f （3）+f （2010）的值为= 20定义在 R 上的函数 f（x）满足： ，当 x（0，4
9、）时，f（x） =x21，则 f（2011）= 21定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+6）=f （x） 当 3x 1 时，f（x）=（x+2） 2，当 1x3 时，f（x）=x 则f（1）+f （2）+f（3）+ +f（2012）= 22若函数 f（x）是周期为 5 的奇函数，且满足 f（1）=1，f（2）=2 ，则f（8） f（14）= 23设 f（x）是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，若 f（2）1，f（2014）= ，则实数 a 的取值范围是 24设 f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0x1 时，f（x）=2x （1x） ，则= 25若 f（x+2）= ，则 f（ +
10、2）f（14）= 三解答题（共 5 小题）26设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x 恒有 f（x+2）= f（x） ，当 x0，2时， f（x）=2xx 2（1）求证：f（x）是周期函数；（2）当 x2，4 时，求 f（x）的解析式；（3）计算：f（0）+f（1 ）+f （2）+ +f（2004） 27函数 f（x）是以 2 为周期的偶函数，且当 x0，1 时，f （x）=3 x1（1）求 f（x）在 1，0上的解析式；6（2）求 的值28已知定义域为 R 的函数 f（x）为奇函数，且满足 f（x+4）=f（x） ，当 x0，1时， f（x）=2 x1（1）求 f（x）在 1
11、，0）上的解析式；（2）求 f（ 24）的值29已知函数 f（x）既是奇函数又是周期函数，周期为 3，且 x0，1 时，f（x） =x2x+2，求 f（2014）的值30定义在 R 上的奇函数 f（x）有最小正周期 2，且当 x（ 0，1）时， f（x）=2 x+2x（1）求 f（x）在 1，0）上的解析式；（2）判断 f（x）在（2， 1）上的单调性，并给予证明7函数的周期性练习题高一参考答案与试题解析一选择题（共 15 小题）1 【解答】解：定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）= f（x） ，函数 f（x）为奇函数又f（x2）=f（x+2）函数 f（x）为周期为 4 是周期函数又l
12、og 232log 220log 2164log 2205f（log 220）=f（log 2204）=f （log 2 ）=f（log 2 ）= f（log 2 ）又x（1， 0）时，f （x）=2 x+ ，f（log 2 ）=1 故 f（log 220）=1 故选 C2 【解答】解：因为 f（x+3）= ，故有 f（x+6）= = =f（x） 函数 f（x）是以 6 为周期的函数f（107.5 ）=f （617+5.5 ）=f （5.5）= = = = 故选 B3 【解答】解：函数 f（x）对任意 xR 都有 f（x）= ，f（x+3 ）= ，则 f（x+6）=f（x） ，即函数 f（x）
13、的周期为 6，f（119.5）=f（2060.5）=f （ 0.5）= = ，又偶函数 f（x） ，当 x3，2时，有 f（x）=4x，f（119.5）= = = = 故选：C4 【解答】解：f（x）是 R 上周期为 5 的奇函数，f（x）= f（x） ，f（1）= f（1） ，可得 f（ 1）= f（1）= 1，8因为 f（ 2）=f（2） ，可得 f（2）=f（2）=3，f（8）=f（85）=f（3）=f（35）=f （2）= 3，f（4） =f（4 5）=f（1）= 1，f（8）f（4 ）=3（1）= 2，故选 C；5 【解答】解：f（x）的周期为 4，2015=4 5041，f（201
14、5）=f（1） ，又 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，所以 f（ 2015）=f（1）= 21log21=2，故选：A6 【解答】解：由图象知 f（1）=1，f （ 1）=2 ，f（x）是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数，f（2014）+f（2015）=f（1）+f （1）=1+2=3 ，故选：A7 【解答】解： ， = =f（x）f（x+4 ）=f（x） ，即函数 f（x）的一个周期为 4f（5.5）=f（1.5+4）=f（ 1.5）f（x）是定义在 R 上的偶函数f（5.5）=f（1.5）=f（1.5）=f（1.5+4）=f （2.5）当 2x3，f（x）=xf（2.5）=2.5
15、f（5.5）=2.5 故选 D8 【解答】解：f （x+2）+2 =f（x+2）=f（x） ，f（x）是以 4 为周期的奇函数，又， ， ，9f（log 354）=2，故选：A9 【解答】解：在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）+f （x）=0则：f（ x）=f（x）所以函数是奇函数由于函数周期是 4，所以 f（ 2015）=f（5044 1）=f （1）= f（1）= 5 故选：B10 【解答】解：f（x+2）=f（x+2+2）= =f（x）f（x）是以 4 为周期的函数f（5）=f（1+4）=f（1） =5f（f（5） ）=f（5）=f（5+4）=f （1）又f（1）= = =f（f（
16、 5） ）=故选 B11 【解答】解：f（x+5）=f （x 5） ，f（x+10 ）=f（x） ，则函数 f（x）是周期为 10 的周期函数，则 f（1003 ）=f（1000+3）=f （3）=4 3=1， 故选： C12 【解答】解：当 0x 2 时，f（x）=x 2x=0 解得 x=0 或 x=1，因为 f（ x）是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，故 f（x ）=0 在区间0，6 ）上解的个数为 6，又因为 f（6）=f（0）=0，故 f（x）=0 在区间0 ，6 上解的个数为 7，即函数 y=f（x）的图象在区间0 ，6上与 x 轴的交点的个数为 7，故选：B13 【解答】解：
17、f（x+2）=f （x） ，f（2014）=f（2016）=f（0）=log 21=0，f（x）为 R 上的奇函数，f（ 2015）= f（2015） =f（1）= 1f（2014）+f（2015）+f（2016）=0 1+0=1故选 A14 【解答】解：由题意知，f（x）是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x0，3）时，f（x）=|2x 24x+1|，10在同一坐标系中画出函数 f（ x）与 y= 的图象如下图：由图象可知：函数y=f（x）与 y= 在区间3，4上有 10 个交点（互不相同） ，所以方程 f（x）=在3，4 解的个数是 10 个，故选：D15 【解答】解：函数 f（x）的最小正周期为 2，f（x+2 ）=f（x） ，f（x）=x 2， y=g（x）=|log 5x|作图如下：函数 f（x）在实数集 R 上的图象与函数 y=g（x）=|log 5x|的图象的交点的个数为 5，故选：C二填空题（共 10 小题）16 【解答】解：对任意的 x 都有 f（x+3）= ，f（x+6 ）= =f（x） ，函数 f（x）为周期函数，且周期 T=6，f（2014）=f（3356+4 ）=f （4）=f（1+3 ）= =5 故答案为：517【解答】解：当 x0， 1时，f（x）=2 x1，函数 y=f（x）的周期为 2，
