1、第六章 线性空间1.设 证明： 。,NM,MN证 任取 由 得 所以 即证 。又因,NMM故 。再证第二式，任取 或 但 因此无论, ,哪 一种情形，都有 此即。但 所以 。,N,2.证明 ， 。)()()( LML )()()( LNL证 则 在后一情形，于是,x.xM且所以 ，由此得.xNx或 )()(N。反之，若 ，则)()( LLM )(LNx在前一情形， 因此 故得.xx或 ,x.在后一情形，因而 ，得 故),(N,xM),(M),( LNL于是 。)(M若 。x（ ） ， 则 x，在前一情形 X ， 。NXML且 ， xN因 而 （ ） （ ML）,xX在 后 一 情 形 ， 因
2、而 且 ， 即 （ ） （ ） 所 以 （ ） （ ） （ ）故 （ L） =（ ） （ ）即 证 。3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于 n（n 1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 设 A 是一个 nn 实数矩阵， A 的实系数多项式 f（A）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：2121211babak（ ， ） （ （ ， ） （ ）k。 （ ， ） =
3、（ ， +6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：；0a7） 集合与加法同 6） ，数量乘法定义为：；k8） 全体正实数 r，加法与数量乘法定义为：， ；abka解 1）否。因两个 n 次多项式相加不一定是 n 次多项式，例如。523xx（ ） （ ）2）令 V=f（A）|f（x）为实数多项式， A 是 nn 实矩阵因为f（x）+g（x）=h （x） ，kf（x）=d（x）所以f（A）+g（A）=h （A） ，kf （A ）=d（A ）由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的 18 条，故 v 构成线性空间。3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的 18 条性质，只需证
4、明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明：当 A，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有，A+B 仍是反对称矩阵。（ +） =-（ +B），所以 kA 是反对称矩阵。KAK（ ） （ ） （ ）故反对称矩阵的全体构成线性空间。4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足， （0，0）是零元，任意（a，b）的负元是（-a， -b） 。对于数乘：2a2 22221()1(,)1(1).(,).(, ,1)(1)(), (, .,(abbabl lkkl klalalabaalklklb。
5、 （ ， ） （ 。 ， 。 2222()1)., ()1.,.(,), ,1()(, )(), .labaaklbklkbaaaklalkl b即 。),(),(),(albkal ),( 211221bk ，()()112kk),(21,ak )21(,(21 akbkb ),( 2121k )()() 212121211 akkaa ，),( 221 akbk即 ，所以，所给集合构成线性空间。()2k ),(21, b6）否，因为 。.07）否，因为，)()(,)( lklklklk 所 以所给集合不满足线性空间的定义。8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足1);()()
6、();1):,1;)()()();();llklklkiababccabcivaikl aaviab是 零 元 ：的 负 元 是 且 ).kkbkb所以，所给集合 构成线性空间。R4 在线性空间中，证明：1） 2） 。0kk)(证 1） 。0)()1()()(0 kk2）因为 。()(),()k所 以5 证明：在实函数空间中，1， 式线性相关的。t2cos,证 因为 ，所以 1， 式线性相关的。cos2tt t,26 如果 是线性空间 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互)(,)(321xfxf xP素，那么他们线性无关。证 若有不全为零的数 使 ，321,k0)()()(321 xfkf
7、xf不妨设 则 ，这说明 的公因式也是,01k )()()(31211fkfxf)(,32f的因式，即 有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以)(1xf ,321xff线性无关。)(,32x7 在 中，求向量 在基 下的坐标。设4P4321,1） ；)1,2(),1,(),1,(),1,(),( 432 2） 。),0(),0(),(),(),10( 4321解 1）设有线性关系 ，则 ，4321dcba12dcba可得 在基 下的坐标为 。4321, 4,41,5ba2）设有线性关系 ，则 ，4321dcba1032dbac可得 在基 下的坐标为 。4321,01cba8 求下列线性空间的
8、维数于一组基：1）数域 P 上的空间 P ；2）P 中全体对称（反对nn称，上三角）矩阵作成的数域 P 上的空间；3) 第 3 题 8)中的空间 ;4)实数域上由矩阵 A 的全体实系数多项式组成的空间,其中 A= 。,0231i解 1) 的基是 且 。nP),.2,1(njiEj2dim()nP2) i)令 ，即 其余元素均为零,则.1.ijF1jiija是对称矩阵所成线性空间 的一组基,所以 是nnF,.,.,.21 nMn维的。2)(ii)令 ，即 其余元素均为零,则.1.ijG)(,1jiajiij 是反对称矩阵所成线性空间 的一组基, 所以它是nnnG,123,12,. nS维的。)(
9、iii) 是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是nnEE,.,.,.2,1维的。2)1(n3)任一不等于 1 的正实数都是线性无关的向量 ,例如取 2，且对于任一正实数 ,可经 2 线性a表出，即. ,所以此线性空间是一维的，且 2 是它的一组基。2)(loga4)因为 , ,所以 ，3i123,1,2qnn于是 ， 而 。EAA1,1322 23,1,2qnAEn9.在 中,求由基 ， 到基 的过渡矩阵,并求向量 在所指基下的坐4P,1,432 432,标。设， ，1,0,14323,16250,4321在 下的坐标；4321,x2,， ，1,0,4322,13,0421在 下的坐标；,1
10、,32， ，1,34211,0,3241在 下的坐标；,0132解 （ ）= （ ） =（ ）A4321,1,432 310265,1432,这里 A 即为所求由基 到 的过渡矩阵，将上式两边右乘得 ，,1,4324321,1得 （ ）=（ ） ， 1A于是（ ） =（ ） ，,1432,321x4321,1432x所以在基下的坐标为，1A432x这里 = 。1A27631927023919令 则 )1,0(),10(),(),01( 4eeee（ ）=( ) =( )A，,1432,43,21 10243,2e（ ）=( ) =( )B，4321,43,21e210343,2e将( )=（
11、） 代入上式,得43,21e,1432,1A（ ）= （ ） B ，4321,1432,1这里= , B= ，1A138723435561A01且 即为所求由基 到基 的过渡矩阵，进而有B1,42 4321,=( ) =（ ）0,43,21e0,1432,1A0=（ ） ，,1432,1251所以 在 下的坐标为 。,1432, 13,2,135同 ，同理可得343,21eA= B=,111032=1A4,1则所求由 到 的过渡矩阵为,1432,432,B= 。1A4104327再令 +b +c +d ，即1a23， 10132,0,4321dcbadcb由上式可解得 在下的坐标为 下的坐标为
12、321,。dcba, , 1a10继第 9 题 1）求一非零向量 ，它在基 与 下有相同的,1432,4321,坐标。解 设 在两基下的坐标为 ，则4,321x=（ ） =（ ） 。,1432,321x4321,321x又因为（ ）= （ ） =（ ）4321,1432, 310265,1432,A，所以=A （A - E） =0。4321x43214321x又，0132,021635且EA于是只要令 且,4cx，cx26331解此方程组得= (c 为任意非零常数)，4,321,取 c 为某个非零常数 ，则所求 为0c。40321c11.证明：实数域作为它自身的线性空间与第 3 题 8）中的空间同构。证 因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。12.设 都是线性空间 的子空间，且 ，证明：如果 的维数与 的维数12,VV12V12V相等，那么 。证 设 dim( )=r，则由基的扩充定理，可找到 的一组基 ，因 ，1 1,.,21ra21且它们的唯数相等，故 ，也是 的一组基，所以 = 。,.,2ra2VV13 。nPA1）证明：全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做 C（A） ；2）当 A=E 时，求 C（A） ；3）当 A= 时，求 C（A）的维数和一组基。n.2证 1）设与 A 可交换的矩阵的集合记为 C(A)。若 B,D 属于 C(A)，可得
