1、 1 / 23二次函数【知识清单】一、网络框架二、清单梳理1、一般的，形如 2(0,)yaxbcabc是 常 数 的函数叫二次函数。例如22221,6,4,5963yxxyx等都是二次函数。注意：系数a不能为零， ,bc可以为零。2(0)=00 0yaxyayaxxy 最 小 值 最 大 值概 念 ： 形 如 的 函 数简 单 二 次 函 数 图 像 ： 是 过 （ ,） 的 一 条 抛 物 线对 称 轴 ： 轴性 质 最 值 ： 当 时 ， ； 当 时 ，当 时 ， 在 对 称 轴 左 边 （ 即 ） ,随 的 增 大 而 减 小 。 在 对 称 轴 右 边 （ 即 ） ,随 的 增 大 而
2、 增 大 。增 减 性 当 时 ， 在 对 称 轴 左 边 （ 即 ） 随 的 增 大 而 增 大 。 在 对 称 轴 右 边 （ 即 ） 随 的 增 大 而 减 小 。二 次 函 数 2222()0440=0=4xbcacbxaacbyy最 小 值 最 大 值概 念 ： 形 如 的 函 数 ， 注 意 还 有 顶 点 式 、 交 点 式 以 及 它 们 之 间 的 转 换 。开 口 方 向 ： ， 开 口 向 上 ； ， 开 口 向 下 。图 像 ： 是 一 条 抛 物 线 顶 点 坐 标 ： （ -,）对 称 轴 ：最 值 ： 当 时 ， ， 当 时 ，一 般 二 次 函 数 性 质 ：
3、当 时 ， 在 对 称 轴 左增 减 性 ： 22bxxya 边 （ 即 -） ,随 的 增 大 而 减 小 。 在 对 称 轴 右 边 （ 即 -） ,随 的 增 大 而 增 大 。当 时 ， 在 对 称 轴 左 边 （ 即 ） 随 的 增 大 而 增 大 。 在 对 称 轴 右 边 （ 即 ） 随 的 增 大 而 减 小 。待 定 系 数 法 求 解 析 式应 用 与 一 元 二 次 方 程 和 不 等 式 的 关 系建 立 函 数 模 型 解 决 实 际 问 题2 / 232、二次函数的三种解析式（表达式）一般式： 2(0,)yaxbcabc是 常 数顶点式： () 0hk为 常 数 ，
4、 且 ，顶点坐标为 (,)hk交点式： 1212(, )yxxx其 中 是 抛 物 线 与 轴 的 交 点 的 横 坐 标3、二次函数的图像位置与系数 ,abc之间的关系 a：决定抛物线的开口方向及开口的大小。当 0a时，开口方向向上；当 0a时，开口方向向下。 |决定开口大小，当 |越大，则抛物线的开口越小；当 |越小，则抛物线的开口越大。反之，也成立。 c：决定抛物线与 y轴交点的位置。当 0c时，抛物线与 y轴交点在 轴正半轴（即x轴上方） ；当 0c时，抛物线与 y轴交点在 轴负半轴（即 x轴下方） ；当 0c时，抛物线过原点。反之，也成立。 ab和 ：共同决定抛物线对称轴的位置。当
5、02ba时，对称轴在 y轴右边；当02时，对称轴在 y轴左边；当 02ba（即当 时）对称轴为 轴。反之，也成立。特别：当 1x时，有 ybc；当 1x时 ，有 yabc。反之也成立。4、二次函数 2()ahk的图像可由抛物线 2向上（向下） ，向左（向右）平移而得到。具体为：当 0时，抛物线 2yax向右平移 h个单位；当 0时，抛物线2yx向左平移 个单位，得到 ()；当 0k时，抛物线 2()yaxh再向上平移 k个单位，当 k时，抛物线 2yx再向下平移 个单位，而得到2()yaxh的图像。5、抛物线 (0)bxca与一元二次方程 20()axbca的关系：若抛物线 2y与 轴有两个交
6、点，则一元二次方程3 / 2320()axbca有两个不相等的实根。若抛物线 2(0)yxc与 x轴有一个交点，则一元二次方程20axbca有两个相等的实根（即一根） 。若抛物线 2()yxc与 x轴无交点，则一元二次方程2xc没有实根。6、二次函数 2(0,)yabxabc是 常 数 的图像与性质关系式 2(0yx2()(0)yaxhka图像形状 抛物线顶点坐标24(,)bac(,)对称轴 xxh0a在图像对称轴左侧，即 2bxa或 ， y随 的增大而减小；在图像对称轴右侧，即 或 xh， 随 x的增大而增大；增减性 0a在图像对称轴左侧，即 2bxa或 h， y随 x的增大而增大；在图像对
7、称轴右侧，即 或 ， 随 的增大而减小；0a当 2bxa时，24=acby最 小 值 当 xh时， =ky最 小 值最大值最小值 当 时，24a最 大 值 当 时， 最 大 值4 / 235 / 23【考点解析】考点一：二次函数的概念【例 1】下列函数中是二次函数的是（ ）2.8Ayx.81Byx 8.Cyx 23.4Dyx【解析】根据二次函数的定义即可做出判断， A中 21符合2(0)yaxbc的形式，所以是二次函数， ,B分别是一次函数和反比例函数，D中右边 234不是整式，显然不是二次函数。【答案】 A【例 2】已知函数 2234()(1)myxx是二次函数，则 m_。【解析】根据二次函
8、数的定义，只需满足两个条件即可“二次项系数不为零，且 x的最高次数为 ”。故有2034，解得 021且或 ，综上所述， 取 1。【答案】 1【针对训练】1、若函数 2()myx是二次函数，则该函数的表达式为 _y。考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用【例 1】已知点 8,a在二次函数 2axy的图象上，则 a的值是（）2.A .B .C 2.D【解析】因为点 ,在二次函数 2xy的图象上，所以将点 8,代入二次函数2axy中，可以得出 3a8，则可得 a，【答案】 .A6 / 23【例 2】 （ 2011， 泰 安 ） 若 二 次 函 数 cbxay2的 与 y的 部 分 对 应 值
9、 如 下 表 ，则 当 x时 ， y的 值 为 （ ）x765432y21355.A .B .C 27【解析】设 二 次 函 数 的 解 析 式 为 khxay2， 因 为 当 4x或 2时 ，3y， 由 抛 物 线 的 对 称 性 可 知 3， 5， 所 以 53ay， 把,2代 入 得 ， 2a， 所 以 二 次 函 数 的 解 析 式 为 2x， 当 3x时 ，7y。 【 答 案 】 C【针对训练】1、 (2002 年 太 原 )过 0,1, 3,2三 点 的 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 是 （ ）.A,2.(,B 5,1.C 14.(2,)3D2、无论 m为何实数，二次函数 2xy
10、mx的图象总是过定点（ ）3,1.A 0,1.B 3,1.C 0,1D【例 3】 （ 2010， 石 家 庄 一 模 ） 如 图 所 示 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，二 次 函 数 cbxay的 图 象 顶 点 为 2,.A， 且 过 点,B， 则 与 的 函 数 关 系 式 为 （ ） .A2xy.B2xy .C2xy .D2xy7 / 23【解析】设 这 个 二 次 函 数 的 关 系 式 为 2xay， 将 ,0B代 入 得202，解 得 ： 1a， 故 这 个 二 次 函 数 的 关 系 式 是 2xy，【 答 案 】 D【针对训练】1、二 次 函 数 的 顶 点 为 ，
11、 则 二 次 函 数 的 解 析 式 为 _.21yxbc(2,1)【 例 4】 二 次 函 数 过 点 ， 则 二 次 函 数 的 解 析 式 为2yxbc(3,0)1、_。考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数 ,abc的关系）【例 1】 （2012，兰州）已知二次函数 xy2)1()0(有最小值 1，则 a、 b的大小关系为（ ）.Aba.Bba .Cba .D不能确定【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值【解析】因为二次函数 xy2)1()0(有最小值 1，所以 0a， 1b，1b，所以 ba。【答案】 .A【针对训练】 1、二次函数 142xy的最小值是 。2、 （2013，兰州
12、）二次函数 3)1(2xy的图象的顶点坐标是（ ）.A)31(，.B)31(， .C， .D)31(，8 / 233、抛物线 )2(xy的顶点坐标是（ ）.A)1(，.B1， .C)1(， .D)1(，【例 2】 （2012，兰州）抛物线 3)2(xy可以由抛物线 2xy平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）.A先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位B先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位.C先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位D先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位【考点】涉及函数平移问题【解析】抛物线 2xy向左平移 2 个单位可得到抛物线 2)(xy，再
13、向下平移 3 个单位可得到抛物线 3)(。 【答案】 .B【针对训练】 1、 （2012，南京）已知下列函数：（1） 2xy；（2） 2xy；（3） 2)1(xy。其中，图象通过平移可以得到函数 3的图象的有 （填写所有正确选项的序号） 。2、 （2009，上海）将抛物线 2xy向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 。3、将抛物线 2xy向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）.A2.B)(x .C2)(xy .D2xy9 / 234、将抛物线 向下平移 3 个单位，在向左平移 4 个单位得到抛物线2(0)yaxbc，则原抛物线的顶点坐标是_。25y【例 3
14、】 （2013，长沙）二次函数 cbxay2的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ） .A0a.B0c .C042ac Dcb【考点】图像与系数的关系【解析】观察题中图象可知，抛物线的开口方向向上，抛物线与 y轴的交点在 y轴的正半轴上，与 x轴有两个交点，所以 0a， c， 042acb，且当 1x时，0cbay。显然选项 A、B 、C 都正确，只有选项 D 错误。 【答案】 .D【例 4】 （2011，山西）已知二次函数 cxy2的图象如图所示，对称轴为直线1x，则下列结论正确的是（ ）.A0acB方程 02cbx的两根是 1x， 32.CD当 时， y随 的增大而减小【考点】图像与性质
15、的综合应用【解析】由图象可知 0a， c，故 A 错误；因对称轴为直线 1x，所以 12ab，故 C 错误；由图象可知当 1x时， y随 x的增大而增大，故 D 错误；由二次函数的对称性可知 B 选项正确，【答案】 .10 / 23【针对训练】 1、 （2013，呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数 mxy和函数22xmy（ 是常数，且 0m）的图象可能是（ ）.A.B .C .D2、 （2011，重庆）已知抛物线 cbxay2)0(a在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）.0a.0bCcDca3、在反比例函数中 xy)(，当 0x时， y随 x的增大而减小，则二次函数axy2的图象大致是（ ）.A.B .C .D4、如图所示，二次函数 的图像经过 ，且与 轴的交点的2(0)yaxbc(1,2)Ax横坐标分别为 ，其中 ，下列结论： ；12,x12,1x40abc； ； ，其中正确的选项有_。20ab284c
