1、七年级数学（上册）第 1 页有 理 数 )3,21:(,:如负 整 数 如正 整 数整 数 )0零)8.4,.,32:( 如负 分 数分 数 5如正 分 数第一章 有理数及其运算1.整数：包含正整数和负整数，分数包含正分数和负分数。正整数和正分数通称为正数，负整数和负分数通称为负数。正整数和负整数通称为自然数2.正数：都比 0 大，负数比 0 小，0 既不是正数也不是负数。正整数、0、负整数、正分数、负分数这样的数称为有理数。数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可） 。任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。 （反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）3.相反数：只有符号不
2、同的两个数互为相反数， 互为相反数，0 的相反数是 0。a和 -在任意的数前面添上“-”号，就表示原来的数的相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。4.绝对值：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，用“| |”表示。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。或 )0(|a)0(|a即：当 是正数时， ；当 是负数时， ；当 =0 时，a0a5.绝对值的性质：除 0 外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两数（除 0 外）的绝
3、对值相等；任何数的绝对值总是非负数，即|a|0对任何有理数 a，都有|a|0若|a|=0，则|a|=0，反之亦然若|a|=b，则 a=b对任何有理数 a,都有|a|=|-a|6.比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下：先求出两个数负数的绝对值；比较两个绝对值的大小；根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。7.两个负数比较大小，绝对值大的反而小。8.数轴上的两个点表示的数，右边的总比左边的大。第二章 有理数的运算1.有理数加法法则：同号两个数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。0-1-2-3 1 2 3越来越大七年级数学（上册）第 2 页异号的两个数相加，绝
4、对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两数相加得 0.一个数同 0 相加仍得这个数2.灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：互为相反的两个数，可以先相加；符号相同的数，可以先相加；分母相同的数，可以先相加；几个数相加能得到整数，可以先相加。3.加法交换律： ab4.加法结合律： ()()c5.有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。6.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与 0 相乘积仍得 0。7.有理数减法运算时注意两“变”：改变运算符号；改变减数的性质符号（变为相反数）8.有理数减法运算时注意一个“不
5、变”：被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。有理数的加减法混合运算的步骤：写成省略加号的代数和。在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。（注意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相反数。 ）9倒数：如果两个数互为倒数，则它们的乘积为 1。 （如： -2 与 、 等）2135与10.有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与 0 相乘，积仍为 0。11.乘法交换律： ab12.乘法结合律： ()()c13.乘法分配律： bc乘法的交换律、
6、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。14.有理数乘法运算步骤：先确定积的符号；求出各因数的绝对值的积。乘积为 1 的两个有理数互为倒数。注意：零没有倒数求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。15.有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。两个有理数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除。0 除以任何数都得 0，且 0 不能作除数，否则无意义。16.有理数的乘方：求 n 个相同因数 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。a在 中 叫做底数，n 叫做指数， 读作 的 n 次幂（或 的 n 次方） 。anaaa个
7、 指数底数幂七年级数学（上册）第 3 页注意：一个数可以看作是本身的一次方，如 5=51；当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。17.乘方的运算性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；任何数的偶数次幂都是非负数；1 的任何次幂都得 1，0 的任何次幂都得 0；-1 的偶次幂得 1；-1 的奇次幂得-1 ；在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。18.有理数混合运算法则：先算乘方,再算乘除,最后算加减。如果有括号,先算括号里面的。19.混合运算顺序： 先算乘方，再乘除，后加减； 同级运算，从左到右进行； 如有括号，先算括号内的
8、运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。20.近似数和有效数字:与实际相符的数，叫做准确数与实际接近的数，叫近似数21.有效数字：一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位这时，从左边第一个非零数 字起到精确到那一位数字止，所有的数字第三章 实数 1.一般地如果一个数的平方根等于 a,那么这个数叫做 a 的 平方根,也叫 a 的二次方根.一个正数有正负两个平方根,它们互为相反数;0 的平方根是 0;负数没有平方根.正数的平方根称为算数平方根.2 .实数定义：有理数与无理数统称为实数。3实数的分类: 无理数：无限不循环小数叫无理数。有理数：整数和分数统称有理数。无理数定义：即
9、非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有大部分的平方根、 和 e（其中后两者同时为超越数）等。无理数是无限不循环小数。如圆周率 、 等。无理数性质：无限不循环的小数就是无理数 。换句话说，就是不可以化为整数或者整数比的数 性质 1 无理数加（减）无理数既可以是无理数又可以是有理数 性质 2 无理数乘（除）无理数既可以是无理数又可以是有理数 性质 3 无理数加（减）有理数一定是无理数 性质 4 无理数乘（除）一个非 0 有理数一定是无理数无理数与有理数的区别：1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循
10、环小数，七年级数学（上册）第 4 页比如：4=4.0， =0.8， =0.33333而无理数只能写成无限不循环小数，比如： =1.414213562根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数；2、所有的有理数都可以写成两个整数之比,而无理数不能。根据这一点，有人建议给无理数摘掉，把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。无理数的识别：判断一个数是不是无理数，关键就看它能不能写出无限不循环小数，而把无理数写成无限不循环小数，不但麻烦，而且还是我们利用现有知识无法解决的难题。初中常见的无理数有三种类型：（1）含根号且开方开不尽的方根，但切不可认为带根号的数都是无理数；（2）化简后含 的式
11、子；（3）不循环的无限小数。掌握常见无理数的类型有助于识别无理数。4.实数的大小比较：用数轴表示数，右边的数总比左边的数大：正数0负数( 1 ) 差值比较法：0， =0，0 （2 ）商值比较法：若为两正数，则；（3 ）绝对值比较法：若为两负数，则（4 ）两数平方法：如实数与数轴上的点一一对应。平面直角坐标系中的点与有序实数对之间一一对应。数 a 的相反数是a一般地如果一个数的立方根等于 a,那么这个数叫做 a 的立方根,也叫 a 的三次方根求一个数的立方根的运算,叫做开立方.一个正数有一个立方根, 一个负数有一个立方根;0 的立方根是 0.在实数运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用。先算
12、乘方和开平，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算。规律： 正数的平方根中被开方数大的较大。正数的立方根中被开方数大的较大。被开方数相同时，开方的次数越大结果越小。第四章 代数式1.代数式的概念：用运算符号（加、减、乘除、乘方、开方等）把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。注意：代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；代数式中不含有“=、”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。2.代数式的书写格式：代数式中
13、出现乘号，通常省略不写，如 vt；数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如 4a；七年级数学（上册）第 5 页带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后与字母相乘，如 应写作 ；a3127数字与数字相乘，一般仍用“”号，即“”号不省略；在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如 4（a-4）应写作 ；注意：4分数线具有“”号和括号的双重作用。在表示和（或）差的代差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如 平方米)(2ba3.代数式的系数：代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数。如 3x,4y 的系数分别为 3，4 。注意：单个字母的系数是 1
14、，如 a 的系数是 1；只含字母因数的代数式的系数是 1 或-1，如-ab 的系数是-1。a 3b 的系数是 14.代数式的项：代数式 表示 6x2、-2x、-7 的和，6x 2、-2x、-7 是它的项，其中把不含字母的项叫做常数762x项注意：在交待某一项时，应与前面的符号一起交待。5.单项式：由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式。6.系数：单项式前面的数字因数叫做这个单项式的系数。7.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。8.多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。9.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫
15、做这个多项式的次数。10.整式：单项式与多项式统称整式。11.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。注意：判断几个代数式是否是同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。这两个条件缺一不可；同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；几个常数项也是同类项。12.合并同类项：把多项式中的同类项合成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变。合并同类项的理论根据是逆用乘法分配律；合并同类项的法则是把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。注意：如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后结果为
16、0；不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上；只要不再有同类项，就是最后结果，结果还是代数式。13.去括号时符号变化规律：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号不变；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。14.根据分配律去括号：括号前面是“+”号看成+1，括号前面是“ ”号看成 -1，根据乘法的分配律用+1 或-1 去乘括号里的每一项以达到去括号的目的。注意：去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉；七年级数学（上册）第 6 页去括号时，首先要弄清楚括号前是“+”号还是“”号；改变符号时，各项都变号；不改变符号时，各项都不变号
17、。一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。第五章 一元一次方程1.含有未知数的等式叫做方程 ，使方程左右两边的值都相等的未知数的值叫做 方程的解。只含有一个未知数，未知数的次数是 1，这样的方程叫做 一元一次方程。运用方程解决问题：（1）设未知数。 （2 ）找出相等的数量关系， （3）根据相等关系列方 程，解决问题。2.等式的性质：1、等式两边加（或减）同一个数（或式子） ，结果仍相等。cbab那 么如 果 ,2、等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。cbacba那 么如 果那 么如 果 ),0( ,3.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做
18、移项4.解方程步骤：解一元一次方程一般要去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系 5.数化为 1 等，最后得出 的形式。x第六章 图形的初步认识1. 线段、射线、直线正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别：名称 图形 表示方法 端点 长度直线l BA 直线 AB(或 BA)直 线 l 无端点 无法度量射线MO 射线 OM 1 个 无法度量线段l BA 线段 AB(或 BA)线段 l 2 个 可度量长度经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 （两点确定一条直线）.2.比较线段的长短线段公理:两点间线段最短; 两之间线段的长度叫做这两点之间的距离.比较线段长短的两种方法:圆规截取比较法;
19、刻度尺度量比较法.用刻度尺可以画出线段的中点,线段的和、差、倍、分;用圆规可以画出线段的和、差、倍.两点之间的所有连线中，线段最短。 （两点间的线段长度，叫做这两点的距离）两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。3 角的度量与表示角: 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角;AO B图 1 b图 21图 3 图 4七年级数学（上册）第 7 页这个公共端点叫做角的顶点;这两条射线叫做角的边.角的表示法：角的符号为“”用三个字母表示，如图 1 所示AOB用一个字母表示，如图 2 所示b用一个数字表示，如图 3 所示1用希腊字母表示，如图 4 所示4.角度数的换算：1=60 分，1=60 秒角也可以
20、看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。如图 5 所示：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。如图 6 所示：终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角。如图 7 所示：5.从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。6.等角的补角相等，等角的余角相等7.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。8.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。9.互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。10.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。11.如图 8 所示，过点 C 作直线 AB 的垂线，垂足为 O 点，线段 CO 的长度叫做点 C 到直线 AB 的距离。终边始边图 5平角 图 6周角 图 7图 8CA BO
