1、习题 1111-1直角三角形 ABC的 点上，有电荷 C108.91q， B点上有电荷 108.492q，试求 点的电场强度(设 4mB， 0.3A)。解： 1q在 C 点产生的场强：1120ACEir，2在 C 点产生的场强： 2204Bqj， C点的电场强度： 412.701.8Ei；点的合场强： 3Vm，方向如图：.8arctn.7。11-2用细的塑料棒弯成半径为 c50的圆环，两端间空隙为 cm2，电量为 C102.39的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。解：棒长为 3.12lrdm，电荷线密度： 910qCl可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为
2、0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去 md2.长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在 O点产生的场强。解法 1：利用微元积分： 20cos4OxRdE， 2000cosin44dR 1.7Vm；解法 2：直接利用点电荷场强公式：由于 dr，该小段可看成点电荷： .qC，则圆心处场强：19 1220.174(05)OqE。方向由圆心指向缝隙处。11-3将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为 ，四分之一圆弧 AB的半径为 R，试求圆心 O点的场强。jicORx解：以 O为坐标原点建立 xOy坐标，如图所示。对于半无限长导线
3、 A在 点的场强：有：0(cos)42iniAxyER对于半无限长导线 B在 O点的场强：有：0(si)42coBxyER对于 A圆弧在 点的场强：有：20 020 0cs(sini)442incosBxAyEdRR总场强： 04Ox， 4OyE，得： 0()4OEijR。或写成场强：202xyR，方向 5。11-4一个半径为 R的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为 ，求环心处 O点的场强 E。解：电荷元 dq 产生的场为： 204dqR；根据对称性有： 0ydE，则： 20sinsin4xREd 0，方向沿 轴正向。即：i。11-5带电细线弯成半径为 的半圆形，电荷线密度为 0
4、sin，式中 0为一常数， 为半径 R与 x轴所成的夹角，如图所示试求环心 O处的电场强度。解：如图，020sin4ddlER，cosinxyd考虑到对称性，有： 0xE；oRXYdqExyE200 0sin(1cos2)si48y ddEdRR，方向沿 轴负向。11-6一半径为 R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为 ，求球心 O处的电场强度。解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为 dlR，所带电荷： 2dqrl。利用例 11-3 结论，有：3322004()4()xdqrxlEr 3220cosin4(i)(s)RdE，化简计算得： 001i4d， 04Ei。11-7图示一厚度为
5、的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为 。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x变化的图线，即 xE图线(设原点在带电平板的中央平面上， O轴垂直于平板)。解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面 1S为高斯面，当 2dx时，由 12SdSA和 2qxS，有： 0E；当 2dx时，由 2SEdS和 2qdS，有： 0。图像见右。11-8在点电荷 的电场中，取一半径为 R的圆形平面( 如图所示)，平面到 q的距离为 d，试计算通过该平面的 E的通量.解：通过圆平面的电通量与通过与 A为圆心、 B为半径、圆的平面为周界的球冠面的电通量相同。【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为 r
6、，有 2Rd，球冠面一条微元同心圆带面积为： 2sindS球冠面的面积：00 cos2sindrSrxO02dxE02d2OxOrsinr2(1)dr】球面面积为： 24Sr球 面 ，通过闭合球面的电通量为：0q闭 合 球 面，由： S球 冠 球 面球 面 球 冠， 201()(1)2dqdrR球 冠。11-9在半径为 R 的“ 无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为 ，求圆柱体内、外的场强分布，并作 Er 关系曲线。解：由高斯定律 01iSSEdqA内，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为 r，长为 l的高斯面。（1）当 rR时，202rlrl，有 0Er；（2）当 时，20RllE，则：20Rr
7、；即：02()rERr；图见右。11-10半径为 1和 2（ 21）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量 和 ，试求：（ 1） 1Rr；（2） 21Rr；（3）2Rr处各点的场强。解：利用高斯定律： 0iSSEdqA内。（1） 1r时，高斯面内不包括电荷，所以： 10E；（2） 12R时，利用高斯定律及对称性，有： 20lrl，则：0Er；（3） 2时，利用高斯定律及对称性，有： 3rlE，则：；Ero即：1202ErRr。11-11一球体内均匀分布着电荷体密度为 的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为 r的一个小球体，球心为 O，两球心间距离 dO，如图所示。求：（1）在球
8、形空腔内，球心 处的电场强度 0E；（2）在球体内 P 点处的电场强度 ，设 、 、 P三点在同一直径上，且 d。解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为 的大球和带有电荷体密度为 的小球的合成。（1）以 O为圆心，过 点作一个半径为 d的高斯面，根据高斯定理有： 1 304SEdA0dE，方向从 O指向 ；（2）过 P点以 为圆心，作一个半径为 d的高斯面。根据高斯定理有： 1 304Sd10Pd，方向从 指向 P，过 点以 O为圆心，作一个半径为 d2的高斯面。根据高斯定理有： 2 304SEdrA3220PrE， 12()Pd，方向从 O指向 P。11-12设真空中静电场 E的分布为
9、 cxi，式中 c为常量，求空间电荷的分布。解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面，有： 0SEdcxSA由高斯定理： 01Sq内， yxzSo0设空间电荷的密度为 ()x，有：00()xSdcS00()xxdc，可见 ()为常数 0c。11-13如图所示，一锥顶角为 的圆台，上下底面半径分别为 1R和2R，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为 ， 求顶点 O的电势(以无穷远处为电势零点)解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为 x轴，在侧面上取环面元，如图示，易知，环面圆半径为： tan2rx，环面圆宽： cos2dxl2cosddSl，利用带电量为 q的圆环在垂直环轴线上 0x处电势的表达
10、式：20014Urx环，有：20 0tancos1tan42(t)dxd dxx，考虑到圆台上底的坐标为： 1cotxR， 2cotR， U210tanxd21tco0tand10()。11-14电荷量 Q 均匀分布在半径为 R 的球体内，试求：离球心 r处（ rR）P 点的电势。解：利用高斯定律： 01SSEdqA内可求电场的分布。（1） r时，3204rrR内；有： 304QrER内；（2） R时，Q外；有： 2r外；离球心 r处（ ）的电势：RrRUd外内，即：rxcos2dxlPro320044Rr RQrUddr230038QrR。11-15图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为
11、，球壳内表面半径为 1，外表面半径为 2设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。解：当 1rR时，因高斯面内不包围电荷，有： 10E，当 12r时，有： 20320312 )(4)(rRrE，当 2rR时，有： 203120313 )(4)(rRrRE，以无穷远处为电势零点，有： 2123RRUdr2RdrdrR 20312031)()(21 )(210R。11-16电荷以相同的面密度 分布在半径为 1rcm和 2rc的两个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为 V30U。（1）求电荷面密度 ；（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度 为多少？（ 21210mNC85.
12、） 解：（1）当 r时，因高斯面内不包围电荷，有： 10E，当 2r时，利用高斯定理可求得：210rE，当 2时，可求得：2130()rE， 1203rrUd2122100()rrddr)(210r那么：293210 85.85. mC（2）设外球面上放电后电荷密度 ，则有：0120()/Ur，12r则应放掉电荷为： 2 234()4qr 123.148503.96710C。1rO211-17如图所示，半径为 R的均匀带电球面，带有电荷 q，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为 ，长度为 l，细线左端离球心距离为 0r。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场
13、力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处的电势为零） 。解：（1）以 O点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为 x轴，均匀带电球面在球面外的场强分布为： 204qEr（ R） 。取细线上的微元： dld，有： FEdq，0204()rlqFxrl（ r为 方向上的单位矢量）（2）均匀带电球面在球面外的电势分布为： 04Ur（ R，为电势零点） 。对细线上的微元 dqr，所具有的电势能为： 0qdWdr，0 0ln44rl rW。11-18. 一电偶极子的电矩为 p，放在场强为 E的匀强电场中， p与E之间夹角为 ，如图所示若将此偶极子绕通过其中心且垂直于 、平面的轴转 180，外力需作功多少？解
14、：由功的表示式： dAM考虑到： MpE，有： sin2cospp。11-19如图所示，一个半径为 R的均匀带电圆板，其电荷面密度为(0)今有一质量为 m，电荷为 q的粒子( 0)沿圆板轴线( x轴)方向向圆板运动，已知在距圆心 O（也是 x轴原点）为 b的位置上时，粒子的速度为 0v，求粒子击中圆板时的速度(设圆板带电的均匀性始终不变)。解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上 0x处产生的电势为：200()URx，那么，20()2ObbURb，由能量守恒定律，220011()()ObqmvqUmvRb，有：)(202bqv思考题 1111-1两个点电荷分别带电 q和 2，相距 l，试问将第三个
15、点电荷放在何处它所受合力为零?答：由 22004()qQxlx，解得： (1)xl，即离点电荷 q的距离为 (1)l。11-2下列几个说法中哪一个是正确的？（A）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向；（B ）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同；（C ）场强方向可由 q/FE定出，其中 q为试验电荷的电量， q可正、可负， F为试验电荷所受的电场力；（D）以上说法都不正确。答：（C）11-3真空中一半径为 R的的均匀带电球面,总电量为q( 0)，今在球面面上挖去非常小的一块面积 S(连同电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，则挖去 后球心处的电场强度大小
16、和方向.答：题意可知： 204qR，利用补偿法，将挖去部分看成点电荷，有： 204SER，方向指向小面积元。11-4三个点电荷 1q、 2和 3q在一直线上，相距均为 R2，以 1q与2q的中心 O作一半径为 的球面， A为球面与直线的一个交点，如图。求：(1)通过该球面的电通量 SEd；(2) A点的场强 AE。解：(1)120Sqd；(2) 203202014)3(4RqRqA。11-5有一边长为 a的正方形平面，在其中垂线上距中心 O点 2/a处，有一电荷为 q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为多少？解：设想一下再加 5 个相同的正方形平面将 q围在正方体的中心，通过此正
17、方体闭合外表面的通量为： 0/闭 合 ，那么，通过该平面的电场强度通量为： 06。11-6对静电场高斯定理的理解，下列四种说法中哪一个是正确的？(A)如果通过高斯面的电通量不为零，则高斯面内必有净电荷；(B)如果通过高斯面的电通量为零，则高斯面内必无电荷；(C)如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度必处处为零；(D)如果高斯面上电场强度处处不为零，则高斯面内必有电荷。答：(A)11-7由真空中静电场的高斯定理 01SEdqA可知(A)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零；(B)闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都不为零；(C)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都为零；(D)闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零。答：(C)11-8图示为一具有球对称性分布的静电场的 rE关系曲线请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。
