1、第一章 矢量与坐标1.1 矢量的概念1.下列情形中矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. 解：（1）单位球面； （2）单位圆（3）直线； （4）相距为 2 的两点2. 设点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，在矢量 、 、 、 、 、ABCODE、 、 、 、 、FF和 中，哪些矢量是相等的？解：如图 1-1，在正六边形 ABCDEF 中，相等的矢量对是： 图 1-1.EO和；和；和；和；和3. 设
2、在平面上给了一个四边形 ABCD，点 K、L、M 、 N 分别是边 、 、 、 的中点，求证： . 当 ABCD 是空间四边形时，这等式是否也成立？KLN证明：如图 1-2，连结 AC, 则在BAC 中， KL AC. 与 方向相同；在21KLACDAC 中，NM AC. 与 方向相同，21AC从而 KL NM 且 与 方向相同，所以KLNM . L4. 如图 1-3，设 ABCD-EFGH 是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) 、 ; (2) 、 ; (3) ABCDAECG、 ; EG(4) 、 ; (5) 、 . FBH解：相等的矢量对是（2）
3、、 （3）和（5） ；互为反矢量的矢量对是（1）和（4） 。 1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量 应满足什么条件？ba,（1） （2）;ba;b（3） （4） a（5） . 图 13A FB E C O解：（1） 所在的直线垂直时有 ；ba, ba（2） 同向时有 ;b（3） 且 反向时有,;（4） 反向时有ba;a（5） 同向，且 时有,b.b1.3 数量乘矢量1 试解下列各题 化简 )()( bayxbayx 已知 ， ，求 ， 和 321e321ebaba23 从矢量方程组 ，解出矢量 ， byx4xy解 aybxyabxyaxabayx 2)()( ，31321321 4ee
4、e，321214)( e 3321 70)( eeba2 已知四边形 中， ， ，对角线 、 的中ABCDcacbaCD865ACBD点分别为 、 ，求 EF解 cccb53)2(1)865(21213 设 ， ， ，证明： 、 、 三点共线baAB5aC3baDABD证明 bD5)(8 与 共线，又 为公共点，从而 、 、 三点共线B4 在四边形 中， ， ， ，证明ACa2baC4baD35为梯形ABC证明 BCbD2)4(2)35()()( ， 为梯形ADBC6. 设 L、M、N 分别是 ABC 的三边 BC、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量 , AL, 可 以构成一个三角形. B
5、证明： )(21ACB)(N0)21CBAACMAL从而三中线矢量 构成一个三角形。B,7. 设 L、M 、N 是ABC 的三边的中点， O 是任意一点，证明+ = + + .OCN证明 B)(NCMBLALA= O由上题结论知： 0CNBO8. 如图 1-5，设 M 是平行四边形 ABCD 的中心，O 是任意一点，证明+ + + 4 .AD证明：因为 ( +21), ( + ),OCBD所以 2 ( + + +M1AOC)D所以+ + + 4 .OBM9 在平行六面体 （参看第一节第 4 题图）中，证明ABCDEFGHAGHFAC2证明 AGC210. 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、
6、下两底边且等于它们长度和的一半证明 已知梯形 ，两腰中点分别为 、 ，连接 、 BCDMNB图 1-5，DNAMN， ，即CBMBC，故 平行且等于 )(21AD)(2111. 用 矢 量 法 证 明 ， 平 行 四 边 行 的 对 角 线 互 相 平 分 . 证明：如图 1-4，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点但 OBDCAB由于 而 不平行于 ， )(,)(,DACBD，0从而 OA=OC， OB=OD。12. 设点 O 是平面上正多边形 A1A2An 的中心，证明:+ + .O2n0证明：因为 ,1A32 ,243+ ,1nOn ,21所以 2( + + )1
7、An ( + + ),2OA所以 (2)( + + ) .1n0显然 2, 即 20. 所以 + + .1n13在 12 题的条件下，设 P 是任意点，证明： POnAPA21证明： 021nOAA0On即 PPn21图 1-41.4 矢量的线性关系与矢量的分解1在平行四边形 ABCD 中，（1）设对角线 求,bBDaAZ.,DAC解： 设边 BC 和 CDababCbB 2121212的（2）中点 M 和 N，且 求 。qP,B,解： PqA 321,1pqpACCD22在平行六面体 ABCD-EFGH 中，设 三个,321eAEDeB面上对角线矢量设为 试把矢量 写成,rFqHp rqpa
8、的线性组合。321,e证明： ，2312,eAeAC，3rFFHa321ee3. 设一直线上三点 A, B, P 满足 (1),O 是空间任意一点，求证：BO1证明：如图 1-7，因为 ,P ,B所以 ( ),ABOP(1+) + , 从而 .OP14. 在 中,设 .C,1e2C(1) 设 是边 三等分点,将矢量 分解为 的线性组合;ED、 BAED,21,e图 1-7（2）设 是角 的平分线(它与 交于 点), 将 分解为 的线性组合ATBCTA21,e解：（1） ， 2123,DeABC，同理13eD 123eE（2）因为 ,|TCB|1e且 与 方向相同，所以 .|21e由上题结论有
9、.AT|1|221e|21e5在四面体 中，设点 是 的重心（三中线之交点） ，求矢量 对于矢量OBCGBCOG的分解式。A,解： 是 的重心。 连接 并延长与 BC 交于 PGAACBPCBP 31213,21同理 C OCBG3（1） G P AOA1（2） A BBG3（3） （图 1）CC由（1） （2） （3）得 CBAOA 131B即 CBG6用矢量法证明以下各题（1）三角形三中线共点证明：设 BC，CA，AB 中，点分别为 L，M，N。AL 与 BM 交于 ，AL 于 CN 交于1P2PBM 于 CN 交于 ，取空间任一点 O，则 A3PBCABOB31211A CA3同理 N
10、MP2B L COBO13三点重合 O321,三角形三中线共点 （图 2）（第 3 页）7已知矢量 ba,不共线，问 与 是否线性相关？bac2bd23证明：设存在不全为 0 的 ，使得, 0即 02 故由已知 不共线得 与假设矛盾， 故不存在不全为 0 的 ，使得ba,0032 ,成立。所以 线性无关。0dcdc,8. 证明三个矢量 +3 +2 , 4 6 +2 ， 3 +12 11 共面，1e23b1e2c1e23e其中 能否用 , 线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.ab证明：由于矢量 , , 不共面，即它们线性无关. 123考虑表达式 + +v ，即ac0 ( +3 +2 )+ (
11、4 6 +2 )+v (3 +12 11 ) ,1e231e21e23e0或 ( +43v ) +(36 12v) +(2+211v) .0由于 , , 线性无关，故有1e2 .012,634v解得 10， 1，v2.由于 100，所以 能用 , 线性表示abc .a10b5c9证明三个矢量 共面。acba,证明： 0三个矢量线性相关，从而三个矢量共面。 ( ),OCBAO所以 ,从而 / .故 A，B ，C 三点共线. 1.5 标架与坐标3. 在空间直角坐标系O; 下，求 P(2,3,1)，M (a, b, c)关于kji,(1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标
12、.解：M (a, b, c)关于 xOy 平面的对称点坐标为 (a, b, c )，M (a, b, c)关于 yOz 平面的对称点坐标为 (a, b, c )，M (a, b, c)关于 xOz 平面的对称点坐标为 (a,b, c )，M (a, b, c)关于 x 轴平面的对称点坐标为(a,b,c)，M (a, b, c)关于 y 轴的对称点的坐标为(a, b,c)，M (a, b, c)关于 z 轴的对称点的坐标为(a,b, c).类似考虑 P (2,3，1) 即可 .8. 已知矢量 , , 的分量如下：(1) 0, 1, 2， 0, 2, 4， 1, 2, 1 ；c(2) 1, 2,
13、3， 2, 1, 0， 0, 5, 6.ab试判别它们是否共面？能否将 表成 ， 的线性组合？若能表示，写出表示式.cab解:(1) 因为 0,所以 , , 三矢量共面, 1240c又因为 , 的对应坐标成比例，即 / ，但 ，ababa故不能将 表成 , 的线性组合. c(2) 因为 0,所以 , , 三矢量共面.650123c又因为 , 的对应坐标不成比例，即 ，abab故可以将 表成 , 的线性组合.c设 + , 亦即0, 5, 6 1, 2, 3+2, 1, 0从而 .63,02解得 2， 1,所以 2 .cab7已知 A,B,C 三点坐标如下：（1）在标架 下，21,;eO.4,2,
14、1,0CBA（2）在标架 下，3 ,30判别它们是否共线？若共线，写出 和 的线形关系式.解：（1）因为 3,2,2ACB所以 共线（2） 4,1,A设 ，但 不存在CB所以 不共线.,得 所以 .63520129. 已知线段 AB 被点 C(2,0,2)和 D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点 A 与 B 的坐标.答 A(-1,2,4),B(8,-4,2).10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.证明：设四面体 A1A2A3A4,Ai 对面重心为 Gi, 欲证 AiGi 交于一点( i1
15、, 2, 3, 4).在 AiGi 上取一点 Pi，使 3 , 从而 ，iiiOP31ii设 Ai (xi, yi, zi)(i1, 2, 3, 4) ，则G1 ,3, 4242432 zyxG2 ,3, 414143G3 , ,3, 2221 zyxG4 ,3, 2121321所以P1( , , )342xx3142yy3142zzP1( , , ).42 42 42同理得 P2P3P4P1，所以 AiGi 交于一点 P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍.1.6 矢量在轴上的射影1已知矢量 与单位矢量 的夹角为 ，且 ，求射影矢量 与射影 ，ABe15010ABABee又如果 ，
16、求射影矢量 与射影 .eee解 射影 = ,3),(cosCOSAB射影矢量 =ee35 0),(180),(, e射影 =ABe ,35.,(cosCOSAB射影矢量 =e352 试证明：射影 l( +n ) 1 射影 l + 射影 l1a2a1a22+n 射影 l .n证明：用数学归纳法来证.当 n2 时，有射影 l(1 2 )射影 l( )+射影 l( ) 1 射影 l +2 射影 l .a1a2a1a2假设当 nk 时等式成立，即有射影 l( ) 1 射影 l +k 射影 l . k1 1k欲证当 nk+1 时亦然. 事实上射影 l( )11kkaa射影 l( )+ 射影 l( )+射影 l( )k1 1k 1 射影 l +k 射影 l +k+1 射影 l a故等式对自然数 n 成立.1.7 两矢量的数性积1证明：（1） 矢量 垂直于矢量 ；a()abc（2）在平面上如 果 ，且 (i=1,2)，则有 .1m2ibimab证明：（1） .)ac=()()bc0矢量 垂直于矢量 aac().（2） 因为 ,所以，对该平面上任意矢量 ,1m2 c1m2( ) ( )( )bcb2 ( )+ ( )1a2a
