1、海南大学数学系 1 中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业类)为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）
2、竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占 50%，高等代数占 35%，解析几何占 15%，具体内容如下：、数学分析部分一、集合与函数1. 实数集 、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区A间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、 上的2 2A闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在 上的推n广.3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯
3、一性、有界性、保号性、不等式性质）.2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系） ，极限 及其应用.1lim()nne3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性） ，归结原则和 Cauchy 收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大sin10l,li()xx量、阶的比较，记号 O 与 o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性） ，有界闭集上连续函
4、数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.三、一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor海南大学数学系 2 公式(Peano 余项与 Lagrange 余项).3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（LHospital）法则、近似计算.四、多元函数微分学1. 偏导数、全微分及其几何意义，可
5、微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与 Taylor 公式.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4.极值问题（必要条件与充分条件） ，条件极值与 Lagrange 乘数法.五、一元函数积分学1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分： 型， 型.(cos,in)Rxd 2(,)Rxabcdx2. 定积分及其几何意
6、义、可积条件（必要条件、充要条件： ） 、可积函i数类.3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L 公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4.无限区间上的广义积分、Canchy 收敛准则、绝对收敛与条件收敛、 非负时()fx的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法） 、Abel 判别法、Dirichlet 判别法、()afxd无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积） ，其他应用.六、多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的
7、计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green 公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke 公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.七、无穷级数1. 数项级
8、数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy 准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的 Leibniz 判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel 判别法、Dirichlet海南大学数学系 3 判别法.2. 函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy 准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel 判别法、 Dirichlet 判别法） 、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.3.幂级数幂级数概念、Abel 定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂
9、级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor 级数、Maclaurin 级数.4.Fourier 级数三角级数、三角函数系的正交性、2 及 2 周期函数的 Fourier 级数展开、 Beseel 不等l式、Riemanm-Lebesgue 定理、按段光滑函数的 Fourier 级数的收敛性定理.、高等代数部分一、 多项式1. 数域与一元多项式的概念2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6. 本原多项式、Gauss 引理、有理系数
10、多项式的因式分解 、Eisenstein 判别法、有理数域上多项式的有理根.7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.二、 行列式1. n 级行列式的定义.2. n 级行列式的性质.3. 行列式的计算.4. 行列式按一行（列）展开.5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理 .6. 克拉默(Cramer)法则.三、 线性方程组1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解 .2. n 维向量的运算与向量组.3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6.
11、 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数四、 矩阵1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.海南大学数学系 4 4. 分块矩阵及其运算与性质.5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6. 分块初等矩阵、分块初等变换.五、 双线性函数与二次型1. 双线性函数、对偶空间2. 二次型及其矩阵表示.3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定
12、理.5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、 线性空间1. 线性空间的定义与简单性质.2. 维数，基与坐标.3. 基变换与坐标变换.4. 线性子空间.5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.七、 线性变换1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.4. 线性变换的值域与核、不变子空间.八、若当标准形1. 矩阵.2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3. 若当标准形.九、 欧氏空间1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2. 标准正交基、正交矩阵
13、、施密特(Schmidt)正交化方法.3. 欧氏空间的同构.4. 正交变换、子空间的正交补.5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.7. 酉空间.、解析几何部分一、向量与坐标1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4. 向量的数量积、向量积和混合积的 定 义 、 几 何 意 义 、 运 算 性 质 、 计 算 方 法 及 应 用 .5. 应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程海南大学数学系 5 1.曲 面
14、方 程 的 定 义 ： 普 通 方 程 、 参 数 方 程 (向 量 式 与 坐 标 式 之 间 的 互 化 )及 其 关系 .2.空 间 曲 线 方 程 的 普 通 形 式 和 参 数 方 程 形 式 及 其 关 系 .3.建 立 空 间 曲 面 和 曲 线 方 程 的 一 般 方 法 、 应 用 向 量 建 立 简 单 曲 面 、 曲 线 的 方 程 .4.球 面 的 标 准 方 程 和 一 般 方 程 、 母 线 平 行 于 坐 标 轴 的 柱 面 方 程 .三、平面与空间直线1.平 面 方 程 、 直 线 方 程 的 各 种 形 式 ， 方 程 中 各 有 关 字 母 的 意 义 .2
15、.从 决 定 平 面 和 直 线 的 几 何 条 件 出 发 ， 选 用 适 当 方 法 建 立 平 面 、 直 线 方 程 .3.根 据 平 面 和 直 线 的 方 程 ， 判 定 平 面 与 平 面 、 直 线 与 直 线 、 平 面 与 直 线 间 的 位 置关 系 .4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程. 四、二次曲面1.柱 面 、 锥 面 、 旋 转 曲 面 的 定 义 ， 求 柱 面 、 锥 面 、 旋 转 曲 面 的 方 程 .2.椭 球 面 、 双 曲 面 与 抛 物 面 的 标 准 方
16、程 和 主 要 性 质 ， 根 据 不 同 条 件 建 立 二 次 曲 面的 标 准 方 程 .3.单 叶 双 曲 面 、 双 曲 抛 物 面 的 直 纹 性 及 求 单 叶 双 曲 面 、 双 曲 抛 物 面 的 直 母 线 的 方法 .4.根 据 给 定 直 线 族 求 出 它 表 示 的 直 纹 面 方 程 ， 求 动 直 线 和 动 曲 线 的 轨 迹 问 题 .五 、 二 次 曲 线 的 一 般 理 论1.二 次 曲 线 的 渐 进 方 向 、 中 心 、 渐 近 线 .2.二 次 曲 线 的 切 线 、 二 次 曲 线 的 正 常 点 与 奇 异 点 .3.二 次 曲 线 的 直 径 、 共 轭 方 向 与 共 轭 直 径 .4.二 次 曲 线 的 主 轴 、 主 方 向 ， 特 征 方 程 、 特 征 根 .5.化 简 二 次 曲 线 方 程 并 画 出 曲 线 在 坐 标 系 的 位 置 草 图 .海南大学数学系2010 年 9 月 25 日
