1、1装订线华南农业大学期末考试试卷（A 卷）20162017 学年第 2 学期 考试科目：高等数学 A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业 题号 一 二 三 四 总分得分评阅人一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1二元函数 的定义域为 。2ln(1)zyx2. 设向量 ， ， ，且 ，则 (,a(4,10)bcbac。3经过 和 且平行于 轴的平面方程为 。(4,02)5,17)x4设 ，则 。yzuxdu5级数 ，当 满足 条件时级数条件收敛。1()np二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1微分方程 的通解是 （ 2()xy）A
2、 B 2xCe2xyCeC Dy2求极限 （ (,)0,24limxyxy） A B C D 1412412得分得分23直线 和平面 的位置关系是 （ :27xyzL:32780xyz） A直线 平行于平面 B直线 在平面 上 LC直线 垂直于平面 D直线 与平面 斜交4 是闭区域 ，则 （ D22(,)| xyayb2xyd） A B C D3()2b3()a34()baa5下列级数收敛的是 （ ）A B C D1()4n21n12n31()n三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1. 求微分方程 满足初始条件 ， 的特解。xye0x2y2. 计算二重积分 ，其中 。2Dxyd
3、2(,)1,Dxyxy得分1.5CM3装订线3设 为方程 确定的隐函数，求 。(,)zxy2sin(3)43xyzxyzzxy4.求曲线积分 ，其中 沿 ，逆时针()()LxydyL22(0,)xyaxy方向。5. 计算 ，其中 是由 ， 及 所围成的区5261DyxdyD3yx1y域。6判断级数 的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。1()n47将函数 展开成 的幂级数，并求其成立的区间。1()2xx四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）1抛物面 被平面 截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与2zxy1xyz最短距离。2. 求幂级数 的和函数。1()!nx3. 设函数
4、和 有连续导数，且 ， ， 为平面上任意简()fxg(0)1f()0gL得分1.5CM5装订线单光滑闭曲线，取逆时针方向， 围成的平面区域为 ，已知LD，()()Lxydfgxdygx:求 和 。()fxg华南农业大学期末考试试卷（A 卷）20162017 学年第 2 学期 考试科目：高等数学 A参考答案一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1 2 2(,)|10xyx33 4 59z1lnlyzyzyzdxxd01p二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1C 2C 3C 4B 5A 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1. 求微分方程 满足初始条件
5、， 的特解。xye0x2y解：先求 的通解，得 2 分01ye采用常数变易法，设 ，得 3 分()xh()()xxhe代入原方程得 4 分()xxe得 5 分21()xhC故通解为 6 分xy将初始条件 ， 带入得 ，故特解为 7 分0232C132xxye2. 计算二重积分 ，其中 。2Dxyd 2(,):,1Dxxy1.5CM6解：设 1 分cos,sinxryr则 3 分102i所以 5 分1220sincosinDxyrdrd6 分20(sinco)7 分43. 设 为方程 确定的隐函数，求 。(,)zxy2sin(3)43xyzxyzzxy解：设 1 分(,)4si(2)Fzzz12
6、cos3,4co3,6cos(23)x y zxFxyFxyz4 分6 分cs(2)14cos(23)4,31o331yxz zFyzxyzxF所以7 分xy4. 求曲线积分 ，其中 沿 ，逆时针()()LxydyL22(0,)xyaxy方向。解：圆的参数方程为： 1 分cos,sin(0)2xatyt3 分020()()(i(cosin)c)siLxydxyttdatatdtt4 分20(cosin)attd6 分20itt7装订线7 分2a（本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解）5. 计算 ，其中 是由 ， 及 所围成的区5261DyxdyD3yx1y域。解： 1 分3(,)|,1x2
7、 分352652611xDyxdyydy4 分31261()63x5 分1|9xd6 分302()7 分66. 判断级数 的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。1()n解： 1 分()nn3 分1()n:所以级数发散。4 分又5 分(1)1()nn6 分1()nn显然，交错级数 ， 都收敛，所以原级数收敛。因此是条件1(n1()n收敛。7 分87. 将函数 展开成 的幂级数，并求其成立的区间。1()2xx解： 2 分()而 3 分01,|1nx4 分2()(|2)2x所以 5 分211()() xx 6 分102nn成立范围 7 分|x四、 解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 2
8、1 分）1. 抛物面 被平面 截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与2zxy1xyz最短距离。解：设椭圆上任一点 的坐标为 ， 点满足抛物面和平面方程。原点P(,)P到这椭圆上任一点的距离的平方为 ，1 分22xyz构造拉格朗日函数2 分222()(1)Fxyzxyz4 分2010yzFxz解得 5 分(3)得两个驻点为 1 21313,),(,23)2PP6 分1.5CM9装订线所以最短距离为 ，最短距离为 7 分9539532. 求幂级数 的和函数。1()!nx解：因为 ，所以 ，1 分0nxe0(1)!nxxe2 分00()()1!nnnS3 分00()!nnxx4 分0(1)!nxe5 分
9、11000010()()()1)!nnnnnnxxxex(0)所以 1()()xxSe故 6 分(0)e当 时， 。7 分0x()x另解：当 时，111 0()()()!1!nn xnnxxd11 10 0()()! !n nn nxdx 0()!nxn1001xde11xe当 时， 。0x()0Sx3. 设函数 和 有连续导数，且 ， ， 为平面上任意简()fg(0)1f()0gL单光滑闭曲线，取逆时针方向， 围成的平面区域为 ，已知LD，()Lxydfgxdyx:求 和 。()fxg解：由格林公式得2 分()()DDyfxdygxdy即 3 分 0g由于区域的任意性， 4 分()()yfxgyx又由于 的任意性，有 ， 5 分y又由 ， 得， 6 分(0)1f()0g2()xg所以 7 分3()6xf
