1、天窗教育 设计人：董老师 审核人：张老师1鲁教版初二上数学知识点梳理第一章 三角形 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形 ABC 用符号表示为ABC ，三角形 ABC 的边 AB 可用边 AB 所对的角 C 的小写字母 c 表示，AC 可用 b 表示，BC 可用 a 表示.注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）ABC 是三角形 ABC 的符号标记，单独的没有意
2、义 三角形的分类： (1)按边分类：(2)按角分类：三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形_C_B_A天窗教育 设计人：董老师 审核人：张老师22 1D CBAD CBA 三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线 段表示法：1.AD 是 ABC 的 BC 上的中线.2.BD=DC= BC.12注意：三角形的中线是线段；三角形三条中线全在三角形的内部；三角形三条中线交于三角形内部一点；中线把三角形分成两个面积相等的三角形（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：1.AD 是 AB
3、C 的BAC 的平分线 .2.1=2= BAC.12注意：三角形的角平分线是线段；三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形天窗教育 设计人：董老师 审核人：张老师3D CBA三角形三条角平分线全在三角形的内部；三角形三条角平分线交于三角形内部一点；用量角器画三角形的角平分线（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段表示法：1.AD 是 ABC 的 BC 上的高线.2.ADBC 于 D.3.ADB= ADC=90.注意：三角形的高是线段；锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；三角形三条高所在直线交于一点如图
4、 5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.4三角形的三边关系图 5 图 6 图 7天窗教育 设计人：董老师 审核人：张老师4三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边5. 三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于 180;（三角形的内角和定理）(2) 直角三角形的两个锐角互余.6三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形
5、的稳定性注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性.7三角形全等：全等形：能够完全重合的图形叫做全等形.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合到一起.重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.图 8天窗教育 设计人：董老师 审核人：张老师5三角形全等的判定方法：1. 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS” ）.2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS” ）.3. 两角和它们的夹边对应相等
6、的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA” ）.4. 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS” ）.对 应 角 相 等性 质 对 应 边 相 等边 边 边 S全 等 形 全 等 三 角 形 应 用 边 角 边 A判 定 角 边 角角 角 边 斜 边 、 直 角 边 HL作 图 角 平 分 线 性 质 与 判 定 定 理三角形全等的应用：测距离要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找：夹边相等（ASA）任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找夹角相等(SAS) 第三组边也相等(SS
7、S)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找任一组角相等(AAS 或 ASA)夹等角的另一组边相等(SAS)天窗教育 设计人：董老师 审核人：张老师6第二章 轴对称轴对称现象1.轴对称图形:(1)如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫轴对称图形。这条直线叫对称轴。(注意:对称轴是一条直线,不是线段,也不是射线)。(2)轴对称图形至少有一条对称轴,最多可达无数条。例:圆的对称轴是它的直径( ) 直径是线段,而对称轴是直线(应说圆的对称轴是过圆心的直线或直径所在的直线);角的对称轴是它的角平分线( ) 角平分线是射线而不是直线(应说角的对称轴是角平分线所在的直线);正
8、方形的对角线是正方形的对称轴( ) 对角线也是线段而不是直线。1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图天窗教育 设计人：董老师 审核人：张老师7形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点2.轴对称: (1)对于两个图形，如果沿一条直线折叠后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。(成轴对称的两图形本身可以不是轴对称图形)。(2)轴对称
9、图形与轴对称的关系:联系:都是沿一条直线折叠后能够互相重合;当把成轴对称的两个图形看成一个整体时,它是一个轴对称图形；区别:轴对称图形是一个图形,轴对称是两个图形之间的关系。用坐标表示轴对称小结： 1.在平面直角坐标系中关于 x 轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数;关于 y 轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等;关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数；与 X 轴或 Y 轴平行的直线的两个点横（纵）坐标的关系；关于与直线 X=C 或 Y=C 对称的坐标点（x, y）关于 x 轴对称的点的坐标为_ （x, -y）_.天窗教育 设计人：董老师 审核人：张老师8点（x, y）关于 y 轴对称的
10、点的坐标为_（-x, y）_.简单的轴对称图形有两边相等的三角形叫等腰三角形。1.三线合一定理:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称为“三线合一”,它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴）。 注意:对于一般的等腰三角形,一定要说清哪边上的中线、高和哪个角的平分线;等边三角形有三组三线合一,任意一边上的中线和高及其所对的角的平分线。2.等角对等边,等边对等角:如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等; 如果一个三角形有两个边相等，那么它们所对的角也相等。3.角平分线定理:角平分线上的任意一点到角的两边的距离(垂线段)相等。4.中垂线定理(1)概念:既垂直又平分线段的
11、直线叫垂直平分线,简称中垂线； (2)定理:垂直平分线上的任一点到线段两端点的距离(与端点的连线)相等。（3）三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等5.（等腰三角形)知识点回顾1.等腰三角形的性质天窗教育 设计人：董老师 审核人：张老师9.等腰三角形的两个底角相等。 （等边对等角）.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （三线合一）理解：已知等腰三角形的一线就可以推知另两线。2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 （等角对等边）6、 （等边三角形）知识点回顾1.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等
12、，并且每一个角都等于 600 。2、等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是 600 的等腰三角形是等边三角形。3.在直角三角形中，如果一个锐角等于 300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 探索轴对称的性质1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分；2.轴对称图形对应线段相等，对应角相等。利用轴对称设计图案1.画点 A 关于直线 L 的对应点 A: 1、过点 A 作对称轴 L的垂线，垂足为 B天窗教育 设计人：董老师 审核人：张老师102、延长 AB 至 A，使得B A=AB3、点 A就是点 A 关于直线 L 的对应点2.画线段 AB 关于 L 的对应线段 AB: 1、过点
13、 A 作对称轴L 的垂线 A A，使 CA=C A2、过点 A 作对称轴 L的垂线 B B，使 DB=DB3、连接 AB，AB即是关于直线 L 的对应线段。3、 轴 对 称 图 形 和 轴 对 称 的 区 别 与 联 系轴 对 称 图 形 轴 对 称区 别联 系图 形(1)轴 对 称 图 形 是 指 ( )具 有 特 殊 形 状 的 图 形 ,只 对 ( ) 图 形 而 言 ;(2)对 称 轴 ( ) 只 有 一 条(1)轴 对 称 是 指 ( )图 形的 位 置 关 系 ,必 须 涉 及( )图 形 ;(2)只 有 ( )对 称 轴 .如 果 把 轴 对 称 图 形 沿 对 称 轴分 成 两 部 分 ,那 么 这 两 个 图 形就 关 于 这 条 直 线 成 轴 对 称 .如 果 把 两 个 成 轴 对 称 的 图 形拼 在 一 起 看 成 一 个 整 体 ,那么 它 就 是 一 个 轴 对 称 图 形 .B CAC BAAB C一 个一 个不 一 定 两 个两 个一 条知 识 回 顾 ：第三章 勾股定理探索勾股定理
