1、历年考研数学一真题 1987-20161987 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(5)已知三维向量空间的基底为 123(01,(0,1)则向量 (2,0)在此基底下的坐标是_.三、(本题满分 7 分)(2)设矩阵 A和 B满足关系式 ,=AB其中 ,014求矩阵 .B五、选择题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设 为 n阶方阵，且 的行列式 |a而 *是 的伴随矩阵，则 *|A等于(A)a(B)1(
2、C) 1na (D) na 九、 （本题满分 8 分）问 ,ab为何值时 ,现线性方程组 1234123401()xxab有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.1988 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷二、填空题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.把答案填在题中横线上)(4)设 4 阶矩阵 2324,AB其中 234,均为 4 维列向量,且已知行列式 4,1AB则行列式 AB= _.三、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)n维向量组 1()sn
3、线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数 12,sk 使 120skk(B) 12,s 中任意两个向量均线性无关(C) 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D) 12,s 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示七、 （本题满分 6 分）已知 ,APB其中1010,2,P求 5.A八、 （本题满分 8 分）已知矩阵201x与01y相似.(1)求 x与 .y(2)求一个满足 1PAB的可逆阵 .P1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(5)设矩阵301014,AI则矩阵 1(2AI=_.二、选
4、择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)设 是 n阶矩阵,且 的行列式 0则 中(A)必有一列元素全为 0 (B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)七、 （本题满分 6 分）问 为何值时,线性方程组 有解,并求出解的一般形式.13243x八、 （本题满分 8 分）假设 为 n阶可逆矩阵 A的一个特征值 ,证明(1)1为 的特征值.(2) A为 的伴随矩阵 *的特征值. 1
5、990 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(5)已知向量组 1234(,4),(,5,(,6,(,57),则该向量组的秩是_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)已知 1、 2是非齐次线性方程组 AXb的两个不同的解 1,、 2是对应其次线性方程组 AX0的基础解析 1,k、 2为任意常数,则方程组AXb的通解 (一般解)必是(A) 12121k (B) 12121()k (C) () (D)
6、 七、 （本题满分 6 分）设四阶矩阵 1021340,BC且矩阵 A满足关系式 1()AEB其中 E为四阶单位矩阵 1,C表示 的逆矩阵 ,C表示 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵 .A八、 （本题满分 8 分） 求一个正交变换化二次型 2213132448fxxx成标准型.1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (5)设 4 阶方阵201,A则 A的逆阵 1=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在
7、题后的括号内)(5)设 n阶方阵 、 B、 C满足关系式 BE其中 是 n阶单位阵,则必有(A) CE(B)CA (C) (D) 七、 （本题满分 8 分）已知 1234(,03),(1,5)(1,2,)(1,8)aa及 (1,3,5).b(1)a、 b为何值时 不能表示成 24的线性组合?(2) 、 为何值时 ,有 1234,的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、 （本题满分 6 分）设 A是 n阶正定阵 ,E是 n阶单位阵 ,证明 AE的行列式大于 1.1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)
8、(5)设1212122,nnnababA 其中 0,(1,2).iibn 则矩阵 A的秩 ()r=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)要使 120,1都是线性方程组 AX0的解,只要系数矩阵 A为(A)2(B) 201 (C) 10(D) 401 八、 （本题满分 7 分）设向量组 123,线性相关,向量组 234,线性无关,问:(1) 能否由 线性表出 ?证明你的结论.(2) 4能否由 123,线性表出?证明你的结论.九、 （本题满分 7 分）设 3 阶矩阵 A的特征值为 12
9、3,对应的特征向量依次为123,49又向量 .(1)将 用 123,线性表出.(2)求 (nA为自然数).1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (5)设 n阶矩阵 A的各行元素之和均为零,且 A的秩为 1,n则线性方程组 AX0的通解为_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)已知1234,69tQP为三阶非零矩阵,且满足 0,PQ则(A)t时 的秩必为 1 B) 6t时 的秩必为 2
10、(C) 时 的秩必为 1 (D) 时 的秩必为 2 七、 （本题满分 8 分）已知二次型 222333(,)(0)fxxax通过正交变换化成标准形 22135,fyy求参数 a及所用的正交变换矩阵.八、 （本题满分 6 分）设 A是 nm矩阵 ,B是 n矩阵,其中 ,mI是 n阶单位矩阵,若 ,ABI证明 的列向量组线性无关.1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (5)已知 1,23,设 A其中 是 的转置,则 nA=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的
11、四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)已知向量组 1234线性无关,则向量组(A) 12 1,线性无关 (B) 12341,线性无关 (C) 34,线性无关 (D) 线性无关 八、 （本题满分 8 分）设四元线性齐次方程组()为 1240x,又已知某线性齐次方程组()的通解为 12()(1,).kk(1)求线性方程组()的基础解析. (2)问线性方程组()和()是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、 （本题满分 6 分）设 A为 n阶非零方阵 *,A是 的伴随矩阵 ,A是 的转置矩阵,当 *A时,证明 0.A1995 年全国
12、硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (5)设三阶方阵 ,AB满足关系式 16,BA且103,47则 B=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)设12131213233010, ,aaABPP则必有(A) 12P=(B) 21A= (C) (D) 八、 （本题满分 7 分）设三阶实对称矩阵 的特征值为 123,1,对应于 1的特征向量为 10,求 .A九、 （本题满分 6 分）设 A为 n阶矩阵,满
13、足 (AI是 n阶单位矩阵 ,A是 的转置矩阵 ),0,求 .I1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (5)设 A是 43矩阵,且 的秩 ()2,rA而102,3B则 ()rAB=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)四阶行列式1123440ab的值等于(A) 123123ab(B) 12341234ab (C) 4)()a(D) 1)()a 八、 （本题满分 6 分）设 ,TI其中 I是 n阶单位矩阵 ,是 n维非零列向量 ,T是 的转置.证明(1) 2的充分条件是 1.T(2)当 1时 ,A是不可逆矩阵.九、 （本题满分 8 分）已知二次型 2212313132(,)56fxxcxx的秩为 2,(1)求参数 c及此二次型对应矩阵的特征值.(2)指出方程 ,表示何种二次曲面.
