1、1反比例函数知识点 1 反比例函数的定义一般地，形如 （k 为常数， ）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个xy0方面来理解：x 是自变量，y 是 x 的反比例函数；自变量 x 的取值范围是 的一切实数，函数值的取值范围是 ；0y比例系数 是反比例函数定义的一个重要组成部分；0k反比例函数有三种表达式： （ ） ，xy （ ） ，1k0 （定值） （ ） ；k函数 （ ）与 （ ）是等价的，所以当 y 是 x 的反比例函数xy0yx0k时，x 也是 y 的反比例函数。（k 为常数， ）是反比例函数的一部分，当 k=0 时， ，就不是反比例函数了。 xk知识点 2 用待定系数法求反比例函数的解
2、析式由于反比例函数 （ ）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，xky0就可以求出 k 的值，从而确定反比例函数的表达式。知识点 3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量 ，函数0x值 ，所以它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，0y但永远达不到坐标轴。反比例的画法分三个步骤：列表；描点；连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点：列表时选取的数值宜对称选取；列表时选取的数值越多，画的图像越精确；连线时，必须根据自变量大小从左至右
3、（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。知识点 4 反比例函数的性质关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：2反比例函数 （ ）xky0的符号k0k图像性质 的取值范围是 ，x0xy 的取值范围是 y当 时，函数图像k的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。 的取值范围是 ，0xy 的取值范围是 y当 时，函数图像k的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内”否则，笼统地说，当时，y
4、随 x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。0k反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数 k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出 k 的符号。如在第一、第三象限，则可知 。0k反比例函数 （ ）中比例系数 k 的绝对值 的几何意义。xky如图所示，过双曲线上任一点 P（x，y）分别作 x 轴、y 轴的垂线，E、F 分别为垂足，则 OEPFSF矩 形 反比例函数 （ ）中， 越大，双曲线 越远离坐标原点； 越小，xky0kxkyk双曲线 越靠近坐标原点。 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线
5、y=x 和直线 y=x。例题【例 1】如果函数 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么 k 的值是多2ky少？3【答案】由反比例函数的定义，得：解得012k021k或【例 2】在反比例函数 的图像上有三点 ， ， ， ， ， 。若xy1xy2y3xy则下列各式正确的是（ A ）3210xxA B C D 213y123y321y231y【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。知识点一：反比例函数的定义例 1：在下列函数中，是反比例函数的是 。（1） ；（2） ； （3） ； （4） ； （5）3xy1xyxy221xy； （6） ；（7） ； （8） ； （9） ；
6、2例 2：当 取何值时， 是关于 x 的反比例函数？并求出其表达式。m12my知识点二：反比例函数表达式的确定例 3：由欧姆定律可知：电压不变时，电流强度 I 与电阻 R 成反比例。已知电压保持不变，电阻 R=12.5 欧姆，电流强度 I=0.2 安培。 （1）求 I 与 R 的函数关系式；（2）当 R=5欧姆时，求电流强度。重点一：反比例函数与其他函数的综合应用例 1：已知 ， 与 x 成正比例， 与 x 成反比例，并且当 x=2 时， ；21y12y 4y当 时， .求 与 x 的函数表达式。x54重点二：反比例函数的实际应用例 2：水产公司有一种海产品工艺 2104 千克，为寻求合适的销
7、售价格，公司进行了 8 天的试销，试销情况入下：第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 第 5 天 第 6 天 第 7 天 第 8 天售价 x（元/千克）400 250 240 200 150 125 120销售量y/千克30 40 48 60 80 96 100观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画出这种海产品每天的销售情况量 y（千克）与销售价格 x（元/千克）之间的关系。现假设这批海产品每天的销售量 y（千克）与销售价格 x（元/千克）都满足这一关系。（1） 写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；（2） 在试销 8 天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为 150 元/千克，并
8、且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？练习：1.已知函数 是关于 x 的反比例函数，求 k 的值。722kxky2.已知定 A（1，-k+2）在双曲线 上，求常数 k 的值。xky4、正比例函数 与反比例函数 的图象交于 A、B 两点，点01kxy 02kxyA 坐标为（2,1）.(1)求正比例函数、反比例函数的表达式 （2） 求点 B 的坐标。55、已知 ， 与 x 成反比例， 与 成正比例，且当 x=-1 时， ；当21y12yx5y时， .求 与 x 的函数表达式。x6、已知一次函数 和反比例函数 的图象交于点 A（1,1） ，求两0kbxy xky2个
9、函数的解析式。7、已知正比例函数 和反比例函数 的图象交于点（4，2） 。0kxyxmy（1）求两个函数的解析式。（2）这两个函数图象还有其他交点吗？若有，请求出交点的坐标，若没有，请说明理由。知识点一：反比例函数的图象例 1：反比例函数反比例函数 的图象在所在象限内，y 随 x 的增大而增大，213mxy求反比例函数的解析式。例 2： 在反比例函数 的图像上有 A（ ） ，B（ ）两点，当xmy211,yx2,yx时，有 ，则 m 的取值范围是 。210x216知识点二：反比例函数的性质例 3：设 A（ ） ，B（ ）反比例函数 的图象上的任意两点，且1,yx2,yxxy3，则 可能满足的关
10、系是（ ）212A、 B、 C、 D、0x210x12012知识点三：反比例函数 中 k 的几何意义xy说明：在反比例函数 的图象上任取一点，过这一点分别作 x 轴、y 轴的平行0k线，与坐标轴围成的矩形面积总是等于常量 。例3：如图，直线 OA 与妇女比例函数 的图象在第一象0kxy限内交于点 A，ABx 轴于点 B,OAB 的面积为 2，则 k= 。练习：如右图，若点 A 在反比例函数 的图象上，AMx 轴于点 M,0kxyOAM 的面积为 3，则 k= 。重点：反比例函数和一次函数的综合应用例 1：在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图象大致是（ baxy0abxy）练习：已知 ，在同一
11、平面直角坐标系中，函数 和 的图象大致是0k 1xkyxky（ ）xBOyAM O xAyxAOyxBOyxOCyxODyxBOyxAOyxOCyxDOy7例 2：已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象相交于（1,5） 。xkymxy3（1） 求这两个函数的解析式； （2）求这两个函数的另一个交点的坐标。练习：1、已知点 M（-2,3）在双曲线 上，则下列各点一定在双曲线上的是（ ）xkyA、 （3，-2） B、 （-2，-3） C、 （2，3） D、 （3，2）2、已知，反比例函数 的图象与经过原点的直线 l 相交于 A、B 两点，已知点0kA 的坐标为（-2,1） ，那么点 B 的坐标为
12、 。3、已知，一次函数 的图象与反比例函数为 常 数mxy1的图象相交于 A（1,3） 。02kxky为 常 数 ，（1） 求这两个函数的解析式及图象的另一交点 B 的坐标；（2） 观察图象，写出使函数值 的自变量 x 的取值范围。21y4、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象在1kxyxy3第一象限相交于点 A。过点 A 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为 B、C。如果四边形 OBAC是正方形，求一次函数的解析式。xAOyBxAOyB8反比例函数综合检测题一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1、反比例函数 y 图象经过点（2，3） ，则 n 的值是（ ） x
13、n5A、2 B、1 C、0 D、12、若反比例函数 y （k0）的图象经过点（1，2） ，则这个函数的图象一定经过点k（ ） A、 （2，1） B、 （ ，2） C、 （2，1） D、 （ ，2）13、已知甲、乙两地相距 （km） ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间 （h）s t与行驶速度 （km/h）的函数关系图象大致是（ ）v4、若 y 与 x 成正比例，x 与 z 成反比例，则 y 与 z 之间的关系是（ ） A、成正比例 B、成反比例 C、不成正比例也不成反比例 D、无法确定5、一次函数 ykxk，y 随 x 的增大而减小，那么反比例函数 y 满足（ ） xkA、当 x0 时
14、，y0 B、在每个象限内，y 随 x 的增大而减小C、图象分布在第一、三象限 D、图象分布在第二、四象限6、如图，点 P 是 x 轴正半轴上一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线 PQ 交双曲线 y 于点 Q，连结 OQ，点 P 沿 x 轴正方向运动时，1RtQOP 的面积（ ） A、逐渐增大 B、逐渐减小 C、保持不变 D、无法确定7、在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m 的某种气体，当改变容积 V 时，气体的密度 也随之改变 与 V 在一定范围内满足 ，它的图象如图所示，则该m气体的质量 m 为（ ） A、1.4kg B、5kg C、6.4kg D、7kgpot/h v/(km/h
15、)O t/h v/(km/h)O t/h v/(km/h)O t/h v/(km/h)OA B C D98、若 A（3，y 1） ，B（2，y 2） ，C（1，y 3）三点都在函数 y 的图象上，则x1y1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A、y 1y 2y 3 B、y 1y 2y 3 C、y 1y 2y 3 D、y 1y 3y 29、已知反比例函数 y 的图象上有 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2）两点，当 x1x 20 时，xmy1y 2，则 m 的取值范围是（ ） A、m0 B、m0 C、m D、m210、如图，一次函数与反比例函数的图象相交于 A、B 两点，则图中使反比例函
16、数的值小于一次函数的值的 x 的取值范围是（ ） A、x1 B、x2C、1x0 或 x2 D、x1 或 0x2二、填空题（每小题 3 分，共 30 分）11.某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数 与平均每天使用的小时数 之间的yx函数关系式为 . 12、已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则在一次函数 中，xky bky随 的增大而 （填“增大”或“减小”或“不变” ） yx13、若反比例函数 y 和一次函数 y3xb 的图象有两个交点，且有一个交点的纵b3坐标为 6，则 b 14、反比例函数 y（m2）x m 10 的图象分布在第二、四象限内，则 m 的值为 215、有一面积
17、为 S 的梯形，其上底是下底长的 ，若下底长为 x，高为 y，则 y 与 x 的函数31关系是 16、如图，点 M 是反比例函数 y （ a0）的图象上一点，x过 M 点作 x 轴、y 轴的平行线，若 S 阴影 5，则此反比例函数解析式为 17、使函数 y（2m 27m9）x m 9m19 是反比例函数，且图象在每个象限内 y 随 x 的增2大而减小，则可列方程（不等式组）为 18、过双曲线 y （k0）上任意一点引 x 轴和 y 轴的垂线，所得长方形的面积为k_19. 如图，直线 y kx(k0)与双曲线 交于 A（x 1，y 1） ，4B（x 2，y 2）两点，则 2x1y27x 2y1_
18、20、如图，长方形 AOCB 的两边 OC、OA 分别位于 x 轴、y 轴上，点 B 的坐标为 B（ ，5） ，D 是 AB 边上的一点，30将ADO 沿直线 OD 翻折，使 A 点恰好落在对角线 OB 上的10点 E 处，若点 E 在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是 三、解答题（共 60 分）21、 （8 分）如图，P 是反比例函数图象上的一点，且点 P 到 x轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 2，求这个反比例函数的解析式22、 （9 分）请你举出一个生活中能用反比例函数关系描述的实例，写出其函数表达式，并画出函数图象举例：函数表达式：23、 （10 分）如图，已知 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）是双曲线 y 在第一象限内的分支上xk的两点，连结 OA、OB （1）试说明 y1OAy 1 ；k（2）过 B 作 BCx 轴于 C，当 m4 时，求BOC 的面积24、 （10 分）如图，已知反比例函数 y 与一次函数 ykxb 的图象交于 A、B 两点，x8且点 A 的横坐标和点 B 的纵坐标都是2求：（1）一次函数的解析式；（2）AOB 的面积25、 （11 分）如图，一次函数 yaxb 的图象与反比例函数 y 的图象交于 M、N 两xk点
