1、几何最值问题一选择题（共 6 小题）1 （2015孝感一模）如图，已知等边 ABC 的边长为 6，点 D 为 AC 的中点，点 E 为 BC的中点，点 P 为 BD 上一点，则 PE+PC 的最小值为（ ）A 3 B 3 C 2 D3考点： 轴对称-最短路线问题菁优网版权所有分析： 由题意可知点 A、点 C 关于 BD 对称，连接 AE 交 BD 于点 P，由对称的性质可得，PA=PC，故 PE+PC=AE，由两点之间线段最短可知，AE 即为 PE+PC 的最小值解答： 解：ABC 是等边三角形，点 D 为 AC 的中点，点 E 为 BC 的中点，BDAC，EC=3 ，连接 AE，线段 AE
2、的长即为 PE+PC 最小值，点 E 是边 BC 的中点，AEBC，AE= = =3 ，PE+PC 的最小值是 3 故选 D点评： 本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键2 （2014鄂城区校级模拟）如图，在直角坐标系中有线段 AB，AB=50cm，A、B 到 x 轴的距离分别为 10cm 和 40cm，B 点到 y 轴的距离为 30cm，现在在 x 轴、y 轴上分别有动点P、Q，当四边形 PABQ 的周长最短时，则这个值为（ ）A 50 B 50 C 50 50 D50 +50考点： 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质 菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 过
3、B 点作 BMy 轴交 y 轴于 E 点，截取 EM=BE，过 A 点作 ANx 轴交 x 轴于 F 点，截取 NF=AF，连接 MN 交 X，Y 轴分别为 P，Q 点，此时四边形 PABQ 的周长最短，根据题目所给的条件可求出周长解答： 解：过 B 点作 BMy 轴交 y 轴于 E 点，截取 EM=BE，过 A 点作 ANx 轴交 x 轴于F 点，截取 NF=AF，连接 MN 交 x，y 轴分别为 P，Q 点，过 M 点作 MKx 轴，过 N 点作 NKy 轴，两线交于 K 点MK=40+10=50，作 BLx 轴交 KN 于 L 点，过 A 点作 ASBP 交 BP 于 S 点LN=AS=
4、 =40KN=60+40=100MN= =50 MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50 四边形 PABQ 的周长=50 +50故选 D点评： 本题考查轴对称最短路线问题以及坐标和图形的性质，本题关键是找到何时四边形的周长最短，以及构造直角三角形，求出周长3 （2014 秋贵港期末）如图，AB BC，ADDC，BAD=110，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，当AMN 周长最小时，MAN 的度数为（ ）A 30 B 40 C 50 D60考点： 轴对称-最短路线问题菁优网版权所有分析： 根据要使AMN 的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出 A 关于 BC 和
5、CD 的对称点 A，A ，即可得出AAM+ A=HAA=70，进而得出MAB+ NAD=70，即可得出答案解答： 解：作 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A，A ，连接 AA，交 BC 于 M，交 CD 于 N，则 AA即为AMN 的周长最小值，作 DA 延长线 AH， DAB=110，HAA=70，AAM+A=HAA=70，MAA=MAB，NAD=A，MAB+NAD=70，MAN=11070=40故选 B点评： 本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出 M，N 的位置是解题关键4 （2014无锡模拟）如图，M
6、ON=90，矩形 ABCD 的顶点 A，B 分别在 OM、ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC= 运动过程中，当点 D 到点 O 的距离最大时，OA 长度为（ ）A B C 2 D考点： 勾股定理；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线菁优网版权所有分析： 取 AB 的中点，连接 OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE，利用勾股定理列式求出 DE，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出 O、E、D 三点共线时点 D 到点 O 的距离最大，过点 A 作 AFOD 于 F，利用ADE 的余
7、弦列式求出 DF，从而得到点 F 是 OD 的中点，判断出 AF 垂直平分OD，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得 OA=AD解答： 解：如图，取 AB 的中点，连接 OE、DE ，MON=90，OE=AE= AB= 2=1，三边形 ABCD 是矩形，AD=BC= ，在 RtADE 中，由勾股定理得， DE= = =2，由三角形的三边关系得，O、 E、D 三点共线时点 D 到点 O 的距离最大，此时，OD=OE+DE=1+2=3，过点 A 作 AFOD 于 F，则 cosADE= = ，即 = ，解得 DF= ，OD=3，点 F 是 OD 的中点，AF 垂直平分 OD，OA=AD
8、= 故选 B点评： 本题考查了勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，作辅助线并判断出 OD 最大时的情况是解题的关键，作出图形更形象直观5 （2015鞍山一模）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 BC 上且 CE=1，长为的线段 MN 在 AC 上运动，当四边形 BMNE 的周长最小时，则 tanMBC 的值是（ ）A B C D1考点： 轴对称-最短路线问题；正方形的性质 菁优网版权所有分析： 根据题意得出作 EFAC 且 EF= ，连结 DF 交 AC 于 M，在 AC 上截取 M
9、N= ，此时四边形 BMNE 的周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案解答： 解：作 EFAC 且 EF= ，连结 DF 交 AC 于 M，在 AC 上截取 MN= ，延长 DF交 BC 于 P，作 FQBC 于 Q，则四边形 BMNE 的周长最小，由FEQ= ACB=45，可求得 FQ=EQ=1，DPC=FPQ，DCP=FQP，PFQPDC， = ， = ，解得：PQ= ，PC= ，由对称性可求得 tanMBC=tanPDC= = 故选：A点评： 此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出 M，N 的位置是解题关键6 （2015江干区一模）如图， ABC 中，CA=
10、CB，AB=6，CD=4，E 是高线 CD 的中点，以 CE 为半径C G 是C 上一动点，P 是 AG 中点，则 DP 的最大值为（ ）A B C 2 D考点： 圆的综合题菁优网版权所有分析： 根据等腰三角形的性质可得点 D 是 AB 的中点，然后根据三角形中位线定理可得DP= BG，然后利用两点之间线段最短就可解决问题解答： 解：连接 BG，如图CA=CB，CDAB，AB=6 ，AD=BD= AB=3又 CD=4，BC=5E 是高线 CD 的中点，CE= CD=2，CG=CE=2根据两点之间线段最短可得：BGCG+CB=2+5=7当 B、C、G 三点共线时， BG 取最大值为 7P 是 A
11、G 中点，D 是 AB 的中点，PD= BG，DP 最大值为 故选 A点评： 本题主要考查了圆的综合题，涉及了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识，利用三角形中位线定理将 DP 转化为 BG 是解决本题的关键二填空题（共 3 小题）7 （2014江阴市校级模拟）如图，线段 AB 的长为 4，C 为 AB 上一动点，分别以AC、BC 为斜边在 AB 的同侧作等腰直角 ACD 和等腰直角 BCE，那么 DE 长的最小值是 2 考点： 等腰直角三角形菁优网版权所有分析： 设 AC=x，BC=4 x，根据等腰直角三角形性质，得出 CD= x，CD = （4x） ，根据勾
12、股定理然后用配方法即可求解解答： 解：设 AC=x， BC=4x，ABC，BCD 均为等腰直角三角形，CD= x，CD= （4 x） ，ACD=45， BCD=45，DCE=90，DE2=CD2+CE2= x2+ （4x ） 2=x24x+8=（x2） 2+4，当 x 取 2 时，DE 取最小值，最小值为： 4故答案为：2点评： 本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值8 （2012河南校级模拟）如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为 CD 边的中点，点P、Q 为 BC 边上两个动点，且 PQ=2，当 BP= 4 时，四边形 APQE 的
13、周长最小考点： 轴对称-最短路线问题菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 要使四边形 APQE 的周长最小，由于 AE 与 PQ 都是定值，只需 AP+EQ 的值最小即可为此，先在 BC 边上确定点 P、Q 的位置，可在 AD 上截取线段 AF=DE=2，作F 点关于 BC 的对称点 G，连接 EG 与 BC 交于一点即为 Q 点，过 A 点作 FQ 的平行线交 BC 于一点，即为 P 点，则此时 AP+EQ=EG 最小，然后过 G 点作 BC 的平行线交 DC 的延长线于 H 点，那么先证明GEH=45 ，再由 CQ=EC 即可求出 BP 的长度解答： 解：如图，在 AD 上截取线段 AF=D
14、E=2，作 F 点关于 BC 的对称点 G，连接 EG 与BC 交于一点即为 Q 点，过 A 点作 FQ 的平行线交 BC 于一点，即为 P 点，过 G 点作 BC 的平行线交 DC 的延长线于 H 点GH=DF=6，EH=2+4=6，H=90，GEH=45设 BP=x，则 CQ=BCBPPQ=8x2=6x，在CQE 中，QCE=90 ，CEQ=45，CQ=EC，6x=2，解得 x=4故答案为 4点评： 本题考查了矩形的性质，轴对称最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求9 （2013武汉）如图， E，F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点
15、，满足 AE=DF连接CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是 1 考点： 正方形的性质菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 根据正方形的性质可得 AB=AD=CD，BAD=CDA，ADG=CDG，然后利用“ 边角边” 证明 ABE 和DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得1=2，利用“SAS”证明ADG 和CDG 全等，根据全等三角形对应角相等可得2=3，从而得到1=3，然后求出 AHB=90，取 AB 的中点 O，连接 OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OH= AB=1，利用勾股定理列式求出 OD，
16、然后根据三角形的三边关系可知当 O、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小解答： 解：在正方形 ABCD 中，AB=AD=CD， BAD=CDA，ADG= CDG，在ABE 和DCF 中，ABEDCF（SAS） ，1=2，在ADG 和CDG 中，ADGCDG（SAS） ，2=3，1=3，BAH+3=BAD=90，1+BAH=90，AHB=18090=90，取 AB 的中点 O，连接 OH、 OD，则 OH=AO= AB=1，在 RtAOD 中，OD= = = ，根据三角形的三边关系，OH+DH OD，当 O、 D、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值=OD OH= 1（解法二：可以理解为点
17、 H 是在 RtAHB，AB 直径的半圆 上运动当 O、H、D三点共线时，DH 长度最小）故答案为： 1点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出 DH 最小时点 H 的位置是解题关键，也是本题的难点三解答题（共 1 小题）10 （2015黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图 1，在ABC（其中BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以 BC 为边在 BC 的下方作等边PBC，求 AP 的最大值小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点 B 为旋转中心
18、将ABP 逆时针旋转 60得到 ABC，连接 AA，当点 A 落在 AC 上时，此题可解（如图 2） 请你回答：AP 的最大值是 6 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，等腰 RtABC边 AB=4，P 为 ABC 内部一点，则 AP+BP+CP 的最小值是 （或不化简为 ） （结果可以不化简）考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形菁优网版权所有专题： 几何综合题分析： （1）根据旋转的性质知 AA=AB=BA=2，AP=AC ，所以在AA C 中，利用三角形三边关系来求 AC 即 AP 的长度；（2）以 B 为中心，将APB 逆
19、时针旋转 60得到 APB根据旋转的性质推知PA+PB+PC=PA+PB+PC当 A、P、P、C 四点共线时， （PA+PB+PC ）最短，即线段 AC 最短然后通过作辅助线构造直角三角形 ADC，在该直角三角形内利用勾股定理来求线段 AC 的长度解答： 解：（1）如图 2，ABP 逆时针旋转 60得到A BC，ABA=60， AB=AB，AP=ACABA 是等边三角形，AA=AB=BA=2，在AAC 中，ACAA+AC，即 AP6，则当点 AA、C 三点共线时，AC=AA+AC，即 AP=6，即 AP 的最大值是：6；故答案是：6（2）如图 3，Rt ABC 是等腰三角形， AB=BC以 B 为中心，将APB 逆时针旋转 60得到 APB则AB=AB=BC=4，PA=PA，PB=PB ，PA+PB+PC=PA+PB+PC当 A、P、P、C 四点共线时， （PA+PB+PC）最短，即线段 AC 最短，AC=PA+PB+PC，AC 长度即为所求
