1、导数及其应用的习题一要点梳理1 f( x)0 在( a， b)上成立是 f(x)在( a， b)上单调递增的充分条件利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意 f( x)0(或 f( x)1 时， f(x) 0，得 x1 (1,0)，x(kx k 1)1 x 1 kkx20.所以在区间 和(0 ，) 上， f(x)0；在区间 上， f(x)1 时，f(x)的单调递增区间为 和(0，)，单调递减区间为 .( 1，1 kk ) (1 kk ，0)题型二：利用导数求解函数的最值或极值 例 2 已知函数 g(x) ax3 bx2 cx (aR 且 a0)， g(1)0，且 g(x)的
2、导函数 f(x)满足 f(0)f(1)0.设 x1、 x2为方程 f(x)0 的两根(1)求 的取值范围；(2)若当| x1 x2|最小时， g(x)的极大值比极小值大 ，求 g(x)的解析ba 43式解：(1)g( x)ax 3bx 2cx，g( 1)abc0，即 cba. 又 f(x)g(x)3ax 22bxc ，由 f(0)f(1)0，得 c(3a2bc)0，即 (ba)(3b2a)0. a0，(ba 1)0，解得 1 又方程 f(x)3ax 22bx c0 (a0)有两根，0.而 (2b)(3ba 2) 23ba243ac4b 212a(ba)4 23a 20 恒成立， 于是 ， 的取
3、值范围是 .(2)(b 32a) ba 23，1x1、x2 是方程 f(x)0 的两根，即 3ax22bx c0 的两根为x1、x2，x1x 2 ，x1x2 .|x1x 2|2 (x1x 2)24x 1x2 242b3a c3a b a3a b3a 13 ( 2b3a) 2 2 . 1，当且仅当 1，即 ab 时，|x 1x 2|2 取最(b3a 13) 49(ba) 43ba 43 49(ba 32) 13 23ba ba小值，即|x 1x 2|取最小值此时， g(x)ax 3ax 2，f(x)3ax 22axax(3 x2)令 f(x)0，得x1 ，x20.若 a0，当 x 变 化时， f
4、(x)、g(x)的变化情况如下表：23x ( ，23)23 ( 23，0)0 (0，)f(x) 0 0 g(x) 增 极大值 减 极小值 增由上表可知，g(x )的极大值为 g a，极小 值为 g(0)0. 由题设，知 a0 ，解得( 23) 427 427 43a9，此时 g(x)9x 39x 2；当 a0)内的最大值和最小值解：1)f(x) 3x 22ax ，由已知条件Error!即Error!，解得 Error!.(2)由(1)知 f(x)x 33x 22，f(x )3x 26x 3x(x2) f(x)与 f(x)随 x 变化情况如下：x (，0) 0 (0,2) 2 (2，)f(x)
5、0 0 f(x) 增 2 减 2 增由 f(x)f(0)，解得 x0，或 x3.因此根据 f(x)图象，当 03 时，f(x)的最大值为 f(t)t 33t 22，最小值为 f(2)2.题型三：已知单调区间求参数范围 例 3 已知函数 f(x)3 ax42(3 a1) x24 x.(1)当 a 时，求 f(x)的极值；(2)若 f(x)16在(1,1)上是增函数，求 a 的取值范围解：(1)f(x)4(x1)(3 ax23ax1)当 a 时， f(x)2(x2)(x1) 2，16f(x)在( ，2内单调递减，在2， )内单调递增，当 x2 时，f(x)有极小值 f(2)12 是 f(x)的极小
6、值(2)在(1,1) 上 f(x)是增函数，由此可得在( 1,1)上，f (x)4(x1)(3ax2 3ax1)0 ，3ax23ax10. 令 g(x)3ax 23ax1 (10 时，若成立，根据二次函数 g(x)3ax 23ax1 (10 恒成立当 x0 时，方程 f(x) g(x)2 有惟一解(1)解：f(x)2x ，依题意 f(x)0，x(1,2，即 a2x2，x(1,2上式恒成立，a2.又 g(x)ax1 ，依 题意 g(x)0，x(0,1)，即 a2 ，x(0,1)a2x x上式恒成立， a2.由得 a2.f(x)x 22ln x，g(x)x2 .(2)证明 由(1) 可知，x方程
7、f(x)g(x)2，即 x22ln xx 2 20.设 h(x)x 22ln xxx2 2，则 h(x)2x 1 ，当 h(x)0 时，( 1)x2x 1x x(2x 2x 2)0，解得 x1.令 h(x)0，并由 x0，解得 x1.令x xh(x)0，解得 00 且 x1 时， h(x)0，h(x)0 在(0，)上只有一个解即当 x0 时，方程 f(x)g(x) 2 有惟一解跟踪训练 4：已知 f(x) ax2 (aR)， g(x)2ln x.(1)讨论函数 F(x) f(x) g(x)的单调性；(2)若方程 f(x) g(x)在区间 ，e上有两个不等解，求 a 的取值范围2解：(1)F(
8、x)ax 22ln x ，其定义域为(0 ，) ，F(x)2ax (x0)当 a0 时，2x 2(ax2 1)x由 ax210，得 x .由 ax210 时，F(x)的递增区间为 ，递1a 1a (1a， )减区间为 .当 a0 时，F(x )0)恒成立故当 a0 时，F(x) 在(0，)上单调递(0，1a)减(2)原式等价于方程 a (x)在区间 ，e上有两个不等解(x) 在(2ln xx2 2 2x(1 2ln x)x4， )上 为增函数，在( ，e)上为减函数， 则 (x)max( ) ，而2 e e e1e(e) 0 恒成立，则 f(x)在( 1，1)上递增，且导函数为偶函数，则函数f
9、(x)h(x) 0 h(x) 单调递减 极小值 单调递增为奇函数，再从导函数的图像可知，当 x(0，1)时，其二 阶导 数 f(x)0，此时当直线的斜率逐渐变大直到直线 y2ax1 与曲线 yln x 相切时 ，两函数图像均有两个不 同的公共点，y 1 ，故曲线 yln x 上的点(x 0，ln x0)处的切线方程是 yln x0 (xx 0)，该直线过1x 1x0点(0，1) ，则1ln x01，解得 x01，故 过点(0，1)的曲线 yln x 的切线斜率是 1，故 2a1，即 a ，所以 a 的取值范围是12 (0，12)52013福建卷 设函数 f(x)的定义域为 R，x 0(x00)
10、是 f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( D )A xR，f(x)f(x 0) Bx 0 是 f(x) 的极小值点Cx 0 是f(x)的极小值点 Dx 0 是f(x)的极小值点解析 根据极值点是函数局部的性质可排除 A 选项，根据函数 f(x)的图像与 f(x)、f(x) 、f(x) 的图像分 别关于 y 轴 、x 轴、原点对称，可排除 B、C 选项，故选 D.62013新课标全国卷 已知函数 f(x)x 3ax 2bxc ，下列结论中错误的是( C )Ax 0R，f(x 0)0 B函数 yf(x)的图像是中心对称图形C若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(，x 0)单调
11、递减D若 x0 是 f(x)的极值点，则 f(x0)0解析 x 时，f(x)0，f(x) 连续， x 0R ，f(x0)0， A 正确；通过平移变换，函数可以化为 f(x)x 3c ，从而函数 yf(x)的图像是中心对称图形，B 正确； 若 x0 是 f(x)的极小 值点，可能还有极大值点 x1 ，则 f(x)在区间(x 1 ，x0)单调递减C 错误D正确 故答案为 C.72013浙江卷 已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)(e x1)(x1) k(k1，2)，则(C)A当 k1 时，f(x)在 x1 处取到极小值 B当 k1 时，f(x) 在 x1 处取到极大值C当 k2 时，f(x
12、)在 x1 处取到极小值 D当 k2 时，f(x) 在 x1 处取到极大值解析 当 k1 时，f(x) (e x1)(x 1)，f(x) e x(x1)(e x1) xe x1，则在 x1 处取不到极值当 k2 时，f(x)(e x1)(x1) 2，f(x)e x(x1) 2(e x1)2(x1)(x 1)(xexe x2) ，f(1)0，f(2)0， f 0 时，f(x)( D )exx e28A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值解析 因为函数 f(x)满足 x2f(x)2xf(x)x 2f(x) ，所以当 x0 时，exx 0，令函数 g
13、(x)x 2f(x)，所以 g(x)在 x0 时递增由 f(2) ，得 g(2) .又x2f（x）exx e28 e22f(x) ，所以 f(x) ，x0.令 h(x)g（x）x2 g（x）x2 g（x）（2x）x4 xg（x） 2g（x）x3 ex 2g（x）x3e x2g(x)，则 h(x)e x ，故当 x(0，2)时， h(x) 0，故 h(x)(1 2x)在(0，) 上的最小 值为 h(2)e 22g(2) 0.所以 f(x) 0，故 f(x)在(0 ，)单调ex 2g（x）x3递增所以当 x(0，)时，f(x) 即无极大值也无极 小值选 D.102013郑州模拟 已知 f( x)为
14、 R 上的可导函数，且xR，均有 f(x)f(x)，则有( D )Ae 2 013f(2 013)e2 013f(0)Be 2 013f(2 013)f(0) ，f(2 013)e2 013f(0)De 2 013f(2 013)f(0)，f(2 013)f(x)，并且 ex0，所以 g(x)g(0) ，f（x）exg(2 013)f(0)， f(0)，f(2 013)0，函数单调递增，当 00，f(x) 在( ， 1)上是增函数；当 x(2 2 2 2 1， 1)时，f(x)2 2 2 2 20，f(x)在 ( 1，)上是增函数(2)由 f(2)0 得 a .当 a ，x(2，)时， f(x
15、)254 543(x 22ax1)3 3 (x2)0，所以 f(x)在(2 ， )上是增函数，于是当(x2 52x 1) (x 12)x2，) 时，f(x)f(2)0.综上，a 的取值范围是 . 54， )172013重庆卷 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度) 设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/ 平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000 元( 为圆周率)(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域；(2) 讨论函数V(r)的单调性，并确
16、定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh 元，底面的总成本为 160r2 元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r 2)元，又据 题意 200rh160r 212 000，所以h (3004r 2)，从而 V(r)r 2h (300r4r 3)因 为 r0，又由 h0 可得 r0 ，故 V(r)在(0，5)上为增函数；当 r(5，5 )时，V(r)1 时，f(2b)f(2b)4b 22b14b 2b 1b， f(0)11 时，曲线 yf(x)与直线 yb 有且仅有两个不同交点综上可知，如果曲线yf(x)与直 线 yb 有两个不同交
17、点，那么 b 的取值范围是(1 ， )202013新课标全国卷 已知函数 f(x)e xln(xm)(1)设 x0 是 f(x)的极值点，求m，并讨论 f(x)的单调性；(2)当 m2 时，证明 f(x)0.解：(1)f(x)e x .由 x0 是 f(x)的极值点得 f(0)0，所以 m1.于是 f(x)e xln(x1) ，1x m定义域为(1，)，f(x) e x .函数 f(x)e x 在(1，)单调递增，且 f(0)1x 1 1x 10，因此当 x(1，0)时，f(x)0.所以 f(x)在(1，0)单调递减，在(0，)单调递 增(2)证明：当 m2，x(m ，)时，ln(xm)ln(
18、x 2) ，故只需证明当m2 时，f(x)0. 当 m2 时，函数 f(x)e x 在(2，)单调递增又 f(1)1x 20，故 f(x)0 在 (2，) 有唯一实根 x0，且 x0(1，0)当 x(2，x 0)时，f(x)0，从而当 xx 0时，f(x) 取得最小值由 f(x0)0 得ex0 ，ln(x02)x 0，来源:Z+xx+k.Com故 f(x)f(x0) x 0 0.综上，当 m2 时，1x0 2 1x0 2 （x0 1）2x0 2f(x)0.212013新课标全国卷 设函数 f(x)x 2axb，g(x)e x(cxd)若曲线 yf(x)和曲线 yg(x)都过点 P(0，2) ，
19、且在点 P 处有相同的切线 y 4x2.(1)求 a，b，c，d 的值；(2)若 x2 时，f(x)kg(x)，求 k 的取值范围解：(1)由已知得 f(0)2，g(0)2， f(0)4，g(0) 4.而 f(x)2xa，g(x)e x(cxdc)，故b2，d2，a4，dc4.从而 a4， b2，c2， d2.(2)由(1) 知， f(x)x 24x2，g(x)2e x(x1)设函数 F(x)kg(x)f(x) 2ke x(x1)x 24x2， 则 F(x)2ke x(x2)2x42(x2)(ke x1)由题设可得 F(0)0，即 k1.令 F(x)0 得 x1ln k，x22.若 1k0，即
20、 F(x)在(2，x 1)上单调递 减，在(x 1，)上单调递增故 F(x)在 2，)上的最小值为 F(x1)而x (，0) 0 (0，)f(x) 0 f(x) 1 F(x1)2x 12x 4x 12 x1(x12)0.故当 x2 时， F(x)0，即 f(x)kg(x)恒成立21若 ke 2，则 F(x)2e 2(x2)(e xe 2 )从而当 x2 时，F(x)0，即 F(x)在(2，)上单调递增，而 F(2)0，故当 x2 时， F(x)0，即 f(x)kg(x)恒成立若 ke2，则 F(2)2ke 2 22e 2 (ke 2)0，从而当 x2 时，f(x)kg(x)不可能恒成立综上，k 的取值范围是1，e 2
