子空间直和的判定与证明(共2页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上子空间直和的判定与证明一、 直和的定义：设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量的分解式=1+2， 1V1，2V2，是惟一的，这个和就称为直和，记为V1V2.二、 判定定理：1. 定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式 1+2=0， iVi （i=1,2）只有在i全为零向量时才成立.证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。 必要性：显然成立； 充分性：设V1+V2，它有两个分解式 =1+2=1+2， i,iVi （i=1,2） 于是 （1-1）+（2-2）=0. 其中i-iVi （i=1,2）.由定理的条件，应有 1-1=0， i=i （i=1,2）. 这就是说，向量的分解式是唯一的。2