1、理科数学试题 第 1 页 （共 15 页）惠州市 2017 届高三第二次调研考试数学（理科）试题一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。（1）若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则在复平面上复数 对应的点的坐标为（ ）zii21i z（A） （B ） （C ） （D）),2(),()1,2()1,2(（2）已知全集 UR，集合 021xA， 3log0Bx，则 （ ）C（A） 0x （B） x （C ） 01x （D） 1x（3）如图，在正方形 中，点 是 的中点，点 是 的一个三等分点，ADEFBC那么 （ ）EF（A） （B ） B312142A（C） （D） 3（4）已知 为等比数
2、列， ， ，则 （ ）na472a568a10a（A） （B） （C） （D）75（5）已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ）(1,)N(3).97P(13)P（A） （B） （C） （D ）0.6830.8530.540.（6）已知双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为 （ 为双曲线的半焦21(,)xyab 23c距） ，则双曲线的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D ）37273737（7）设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）nSna6591a19S（A） （B） （C） （D ）1122理科数学试题 第 2 页 （共 15 页）311正视图 侧视图俯视图（8）如图给
3、出了计算 的值的程序框图，112460 其中分别是（ ）（A） ， （B） ， 30in3i2n（C） ， （D） ，201（9）已知函数 的最小正周期是 ，将函数 图象向左平移()si)(,)fx()fx个单位长度后所得的函数图象过点 ，则函数 （ ）3(0,1P()sinfx（A）在区间 上单调递减 （B）在区间 上单调递增,6,63（C）在区间 上单调递减 （D ）在区间 上单调递增,3,（10）若 的展开式中含有常数项，则 的最小值等于（ ）61nx n（A） （B） （C） （D）3456（11）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（ ）（A）外接球的
4、半径为 （B ）表面积为 3731（C）体积为 （D ）外接球的表面积为 4（12）已知定义在 上的函数 满足：函数 的图R)(xfy()yfx象关于直线 对称，且当 成立1x,0)0f( 是函数 的导函数), 若 ，)f()f 1(sini2a， , 2blnf12)4cflog则 的大小关系是（ ） ,a（A） （B） （C） （D） bcbaccabacb二填空题：本大题共4小题，每小题5分。理科数学试题 第 3 页 （共 15 页）（13）若直线 （ ， ）经过圆 的圆心，则 的最20axbya0b2410xy1ab小值为_（14）已知直线 与曲线 相切，则 的值为_1yxlnyxa（
5、15）已知 、 满足不等式组 ，则 的最大值是 2301y2zxy（16）在正四棱锥 中， ，直线 与平面 所成角为 ， 为 的中点，ABCDP2PABCD60EPC则异面直线 与 所成角的大小为 _E1、选择题：二、填空题：13. ；14. ；15. ； 16. ； 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，已知 CAabc22cab（）求角 的大小；（）如果 ， ，求 的面积3sin2bCA题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案理科数学试题 第 4 页 （共 15 页）GFEDC
6、BA（18） （本小题满分 12 分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取个作为样本，称出它们的重量（单位：克） ，重量分组区间为 ， ， ， ，由50 5,1,25,3,4此得到样本的重量频率分布直方图（如图）.（）求 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数a与平均值；（）从盒子中随机抽取 个小球，其中重量在 内的小球个35,1数为 ，求 的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作X为概率).（19） （本小题满分 12 分） 如图，四边形 是矩形， ， 是 的中点，ACD1,2ADEA与 交于点 ， 平面 .BEACFGB（）求证： 面 ；E（）若 ，
7、求直线 与平面 所成角的正弦AG值. 5O频 率组 距 重 量 克123450.8.3a理科数学试题 第 5 页 （共 15 页）（20） （本小题满分 12 分）已知点 ，点 是圆 上的任意一点，线段 的垂1,0AC:218xyA直平分线与直线 交于点 C（）求点 的轨迹方程；（）若直线 与点 的轨迹有两个不同的交点 和 ，且原点 总在以 为直径的圆的内ykxmQQ部，求实数 的取值范围（21） （本小题满分 12 分）已知函数 ， .()lnfx()()hxaR（）函数 的图象与 的图象无公共点，求实数 的取值范围；()fxh（）是否存在实数 ，使得对任意的 ，都有函数 的图象在m1(,)
8、2x()myfx的图象的下方？若存在，请求出整数 的最大值；若不存在，请说理由.()xeg理科数学试题 第 6 页 （共 15 页）（参考数据： ， , ）.ln20.6931ln.098631.487,956ee请考生在第 22、23 题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。（22） （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知过点 的直线 的参数方程是 （ 为参数） 以平面直角坐标系的原点为(,0)Pml321xtmyt极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程式为 .x C2cos（）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；l（
9、）若直线 与曲线 交于两点 ，且 ，求实数 的值C,AB|1Pm(23)（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数 ()|23|1|.fxx（）解不等式 ；4f（）若存在 使不等式 成立，求实数 的取值范围3,12x1()afxa理科数学试题 第 7 页 （共 15 页）惠州市 2017 届高三第二次调研考试数 学（理科）答案与评分标准一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D A D B C D A C B C B A（1）解析：z= 2(1)iii，故选 D.（2 ） 【解析】 20|0xAx , 3log
10、1|1xBx|UCB所以 UCB ，故选 A （3） 【解析】解析：在CEF 中， .因为点 E 为 DC 的中点，所以 .因为点 F 为 BC 的一EF EC CF EC 12DC 个三等分点，所以 .所以 ，故选 D.CF 23CB EF 12DC 23CB 12AB 23DA 12AB 23AD (4)【解析】由 475648a得 4477a或 ，所以11382aq或，所以11008a或，所以 10，故选 B.(5)【解析】因为已知随机变量 服从正态分布 (1,)N，所以正态曲线关于直线 1x对称，又(3).97P，所以 (3)10.97.23P， 3)P所以 1()0.46.95，故选
11、 C(6)【解析】任取一焦点 )0,(cF到一条渐近线 xaby的距离为 ，则 cb32，有 cb229cb 7972)(9222 eca，故选 D(7)【解析】因为 651，由等差数列前 n项和公式得，161995()21aS，故选 A (8)【解析】因为 2,4,6,8，60 构成等差数列，首项为 2，公差为 2，所以 22( n1)60，解得n30，所以该程序循环了 30 次，即 i30， n n2，故选 C理科数学试题 第 8 页 （共 15 页）(9)【解析】依题 2, ()sin2)fx，平移后得到的函数是2sin()3yx，其图象过（0，1） ，sin=13，因为 0， 6，()
12、i)6f，故选 B(10)【解析】由展开式的通项公式156211(),(0,)rnrnrrrTCxCxnA，得 15602nr即 54n有符合条件 0,Z 的解， 当 4r时， 的最小值等于 5，故选C(11)【解析】观察三视图可知，该几何体是一三棱锥底面等腰三角形底边长为 2，高为 1，有一侧面是正三角形且垂直于底面，该几何体高为 3， 根 据 图 中 数 据 ， 另 两 侧 面 为 腰 长 为 2，底边长为 2的等腰三角形，所以其 表 面 积 为 22112()37，故 选 B.(12)【解析】 函数 ()yfx的图象关于直线 x对称， ()yfx关于 y轴对称， 函数 ()yxf为奇函数
13、. 因为 ()(fff，当 ,0)时， )0xx，函数 ()yxf单调递减，当 (x时，函数 (yf单调递减.10sin2， 1ln2e， 12log4 120sinlog4， abc，故选A.二填空题：本大题共4小题，每小题 5分。（13 ）4， （14） 2， （15） 6， （16） 045或(13)圆心坐标为 1,， 21abab1ab224ba(14)【解析】根据题意 1yxa，求得 xa，从而求得切点为 (1,0)a，该点在切线上，从而求得 01a，即 .理科数学试题 第 9 页 （共 15 页）(15)【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用 z 的几何意义求最大值x, y 满足
14、不等式组2301xy表示的可行域如图：目标函数为 2zxy当 3,0xy时， 2zxy取得最大值是 6.（16） 【解析】如图，由题意易知 60PAC，因为 PAEO/，所以 BEO为异面直线 PA与BE所成角，又 2PA， BEORt中， 1， 1B，得 为等腰直角三角形，故异面直线 与 所成角为 45.三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17 ） （本小题满分 12 分）解： 1 22bcab221cosbcaA3 分 0,A4 分 35 分2由正弦定理得： sini6 分 sin3baA8 分 2bcab 20c9 分解得： 16c 0c 1610 分 CA的面积 132
15、sin2Sb12 分（18 ） （本小题满分 12 分）解（）由题意，得 0.230.8a，1 分解得 .3a； 2 分理科数学试题 第 10 页 （共 15 页）又由最高矩形中点的的横坐标为 20，可估计盒子中小球重量的众数约为 20（克）3 分而 50个样本小球重量的平均值为： 0.21.320.18402.6X（克） 5 分故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为 4.6克； （）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在 5,内的概率为 .， 6 分则 1(3,)5XB. 的可能取值为 0、 1、 2、 3， 7 分033465PC， 21348515PXC，2315X，032. 9 分的分布列为： 012P642585110 分 230115EX.（或者 135EX）12 分（19 ） （本小题满分 12 分）19. 证法 1：四边形 ABCD为矩形， AEF CB， 21BCAEF 1 分又矩形 中， 2,1D， 3,在 BEARt中， 62AEB 31A， 26E在 F中， 2222)()B 90AB，即 BEC 3 分 G平面 D， A平面 D GFAC 4 分又 FE， G,平面 平面 BE 5 分
