1、江苏省扬州中学 2016-2017 学年第一学期期中考试高二数学试卷 2016.11一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.1命题：“ 2,10xR”的否定是 2. 直线 y的倾斜角是_3.若方程215xa表示的曲线为焦点在 x轴上的椭圆，则实数 a的取值范围是 .4命题“若 b，则 2a”的逆命题是 .5.与椭圆2194xy有相同的焦点，且离心率为 5的椭圆标准方程为 6.如果对任何实数 k，直线 (3)(12)50kxyk都过一个定点 A，那么点 的坐标是_.7. 如果 :2px， :q，那么 p是 q的 条件.（从“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要”
2、、 “既不充分也不必要”中选出适当的一种填空）8.已知椭圆 1925yx上一点 M到左焦点 1F的距离是 8，则 M到右准线的距离为 9.在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 C：21xya（ 0a）的一条渐近线与直线 l：210xy垂直，则实数 a 10如果实数 ,满足等式 23，那么 x的最大值是 11圆心在抛物线 2yx上，并且和该抛物线的准线及 y轴都相切的圆的标准方程为 12. 已知 21,F为双曲线 )0,(12bay的左、右焦点，过 2F作双曲线渐近线的垂线，垂足为 ,P若 221| cF，则双曲线离心率的值为 .13. 已知直线 ),(Rbayx与圆 1:2yxO( 为坐标原
3、点) 相交于BA,两点 ,且 O是直角三角形,点 P是以点 ),0(M为圆心的圆 上的一点,则圆M的面积的最小值为 . 14. 已知直线 :34lyx，动圆 22:(1)xyr，菱形 ABCD的一个内角为06，顶点 ,AB在直线 l上，顶点 ,CD在圆 O上.当 变化时，菱形 的面积 S的取值范围是 .二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15. 已知命题 :p“关于 ,xy的方程 )(04522 Raayx表示圆” ，命题 :q“ xR,使得 2(1)0()aR恒成立”.（1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；（2
4、）若命题 pq为真命题，求实数 的取值范围.16已知直线 l过点 (2,1)P, （1）点 (,3)A和点 B到直线 l的距离相等，求直线 l的方程；（2）若直线 l与 x正半轴、 y正半轴分别交于 AB、 两点，且 AO的面积为 4，求直线.l的方程17如图， 12,F分别是椭圆2:1(0)xyCab的左、右焦点， A是椭圆 C的上顶点， B是直线 2A与椭圆 的另一个交点， 126FA.（1）求椭圆 的离心率；（2）若 a,求 1F的面积18.某城市在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成在如图所示的直角坐标系中，支架 ACB 是抛物线 2yx的一部分，灯柱 CD 经过该抛
5、物线的焦点 F 且与路面垂直，其中 C 在抛物线上， B 为抛物线的顶点，DH 表示道路路面，BF DH ，A 为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在 A 处的切线垂直安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是 1.5 m，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线(1) 求灯罩轴线所在的直线方程；(2) 若路宽为 10 m，求灯柱的高19已知圆 2:4Oxy与 x轴负半轴的交点为 A,点 P在直线 :30lxya上，过点 P作圆 的切线，切点为 T.（1）若 8a，切点 (3,1),求点 P的坐标；（2）若 2A，求实数 a的取值范围;(3) 若不过原点 O的直线与圆 交于 CB,两点,且满足直线 OCB,的斜
6、率依次成等比数列，求直线 l的斜率.20.如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆21xyab（ 0a）的离心率为 2 A为椭圆上异于顶点的一点，点 P满足 AO，（1）若点 P的坐标为 2,，求椭圆的方程；（2）设过点 的一条直线交椭圆于 ,BC两点，且 mBC，直线 ,B的斜率之积，求实数 m的值;（3）在（1）的条件下，是否存在定圆 M，使得过圆 上任意一点 T都能作出该椭圆的两条切线，且这两条切线互相垂直?若存在,求出定圆 ;若不存在,说明理由. yxCPOAB命题、校对:刘晓静 审核: 沈红、姜卫东江苏省扬州中学 2016-2017 学年第一学期期中高二数学答案 2016.11一、
7、 填空题1. 2,10xR 2.43. 7a 4. 充分不必要 5.5y6. (1,2) 7. 25 82 9. 3 10. 1)(yx11. 4 12.2 13. )3 14.30,632二、解答题15. 解：（1）若命题 p为真，则 22()45)aa-+整理得到 250得 4a（2）若命题 q为真，则 2(1)4a即 230得 3 若 pq为真，则 1a，得 所以，若 为真，则 的取值范围是 13a.16. 解：（1） 若直线斜率不存在，即 2x，此时，点 ,AB到直线 l的距离不相等.故直线 l的斜率一定存在,设直线 的方程为 ()1ykx即 10kxy由题意得: 22|3|3|解之得
8、: 2k或 1故所求直线方程为 40xy或 0xy(2)由题可知，直线 1l的横、纵截距 ab、 存在，且 0ab、 ，则 1:xylab，又 1l过点 (2,1)， ABO的面积为 4， 42ab，解得 2a，故 1l方程为 142xy，即 2x 17. 解:（1）由题意可知， 1AFB为等边三角形， 2ac，所以 12e.（2）由题意得： 2,ac,故 3b。即 (0,)(,F,所以直线 AC的方程为 yx联立直线 与椭圆 的方程得: 2314xy解得:853xy或03xy(舍)所以点 B的坐标为 83,5,所以112121212138|25AFBBF BSSAOFy18. 解：(1) 由
9、题意知，BF ，则 xA1.5 2，12 12代入 y22x 得 yA2，故 A(2，2)设点 A 处的切线方程为 y2 k(x 2)，代入抛物线方程 y22x 消去 x，得 ky22y44k0.则 44k(44k)0，解得 k .12故灯罩轴线的斜率为2，其方程为 y22(x2) ，即 y2x6.(2) 由于路宽为 10，则当 x 时，y5，从而 FD5.112又 CF 1，则 CD6.答：灯柱的高为 6 m.19. 解：（1）由题意，直线 PT 切于点 T，则 OTPT，又切点 (3,1)T，所以 3OTk，3PTOk，故直线 PT 的方程为 13()yx，即 340xy.联立直线 l 和
10、 PT，340,8xy解得 2,即 ,2P.（2）设 (,)Pxy，由 PA2PT，可得22()4()xyx，即2340，即满足 PA2PT 的点 P 的轨迹是一个圆 264(39xy，所以问题可转化为直线 30xya与圆 26()39xy有公共点，所以238()1ad，即 216|3 ，解得123a .(3)当直线 BC垂直与 x轴时，显然不成立，所以设直线 BC为 (0)ykxb，将它与圆方程联立并消去 y得 22(1)40kkbx，设 12(,),，则21124,bxxk，因为 21212121()()ykxbxkbx2 224kb ，故 124OBCy ，即 2(1)0bk，因为 ，所
11、以 21，即 k.20. 解：（1）因为 (2,)P,所以,A代入椭圆方程，得 21ab， 又椭圆的离心率为2，所以21ba，由，得 ,，故椭圆的方程为21xy （2）设 123,ABCxy，因为 OP，所以 1P因为 m，所以 212322, ,xymxy，即1232,xyy于是321,mxxyy代入椭圆方程，得222121mxyab，(3)存在定圆 M23xy在定圆 上任取一点 0(,)T,其中 02x设过点 0(,)xy的椭圆的切线方程为 0()ykx即 0ykxy,将其与椭圆方程21联立得: 2 200()4()kx22220 06()8)1kxyy整理得: 01k故过点 0(,)Txy的椭圆的两条切线斜率 12,k分别是 22000()1xky的两解.故220012 201(3)1yxkx,所以两条切线垂直.当 0时,显然存在两条互相垂直的切线.
