1、第 18 章 相似形比例线段及相似知识点讲解【知识点讲解】 一、比例线段 1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段 a，b 的长度分别是 m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成 ,其中 a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。 nmb2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 3.比例的项：已知四条线段，如果 ，那么，叫做组成比例的项，线段dcba，d 叫做比例外项，线段，叫做比例内项，线段还叫做，的第四比例项 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即 a:b=b:c 或 ，那么线段叫做线
2、段和的cba比例中项 2、 比例的性质： (1)比例的基本性质： bcadbacb2(2)反比性质： ca(3)更比性质: 或 或dab(4)合比性质: ccb(5)等比性质: 且 nmfeda. banfdbmecanf .0.比例线段练习、判断下列四条线段是否成比例 a=2，b= ,c= ，d=2 ； 513 a= ，b=3, c=2，d= ； 2 a=4，b=6, c=5，d=10； a=12，b=8, c=15，d=10 2、已知：ad=bc （1 ） 将其改写成比例式； （2 ） 写出所有以 a，d 为内项的比例式； （3 ） 写出使 b 作为第四项比例项的比例式； （4 ）若 ；写
3、出以 c 作第四比例项的比例式； c3 、计算. (1)已知：xy=54，yz=37.求 xy z. (2)已知：a ，b，c 为三角形三边长，(a-c) (c+b) (c-b)=27(-1) ，周长为 24.求三边长. 4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为 50m，同时，高为 1.5m 的测竿的影长为 2.5m，那么，古塔的高是多么米? 5、 ，AB=10cm ，AD=2cm，BC=7.2cm，E 为 BC 中点.求 EF，BF 的长. EFBCDA6.(1)已知： x：(x+1)=(1x) ：3 ，求 x。 (2)若 ，求213yxxy(3) 若 ，求 ， (4)若
4、 x2-3xy+2y2=0,求56baab7将比例式中的 移到第四比例项，使比例式仍成立。 x（ 1）a:b= :c （2） :a=b:c （3 ） a: =b:c8：若 ，求 5fedcbafdabec4,练习：已知: , 求 的值41:325:zyxzyx59： 若 ABC 三边 a:b:c=6:4:3,三边上的高分别为 h1、h 2、h 3，求 h1:h2:h3 的值。 10：已知两地的实际距离是 250 米，画在地图上的距离（图距）是 5 厘米，在这样的地图上,图距 a=8 厘米的两地A,B 的实际距离是多少呢? 比例尺是多少？ 12：操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比例
5、是 3:2,后来又有 6 名女同学参加进来，此时女生与女生人数的比为 5:4,求原来各有多少男生和女生？ 比例线段拓展 1、比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。设 a、b 、c、d 为线段，如果 a:b=c:d，b、c 叫比例内项，a、d 叫比例外项，d 叫做 a、b、c 的第四比例项；如果a:b=b:c，或 b2=ac，那么 b 叫 a、c 的比例中项。 2、 黄金分割 如图，把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（ACBC)，且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项，叫做把线段 AB 黄金分割, 点 C 叫做线
6、段 AB 的黄金分割点， 叫作黄金分割数（简称黄金数215ABC或黄金比） 注意：（1） ； ABC618.0（2 ）一条线段有两个黄金分割点。 3、平行线分三角形两边成比例 （1 ）基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 如图，则有 BCDEACEABD,【思考】画图说明平行于三角形一边的其他情况。 （2 ）三角形的重心 定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点 与重心有关的
7、比例线段：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。 （3 ）三角形一边平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 （三角形一边平行线的判定定理） （4 ）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图 1-图 5）： 推论 1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰. 在梯形 ACFD 中，AD/CF，A
8、B=BC，那么 DE=EF 推论 2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 在ACF 中，CFBE/，AB=BC ，那么 AE=EF （5 ）三角形和梯形的中位线定理 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边 的一半。 如图，D、E 分别为 AB、AC 的中点，那么 BC/DE，DE= BC21梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。 梯形 ABCD 中，AD/BC，E、 F 分别是 AB、CD 的中点，那么 EF/
9、AD/BC，EF= (AD+BC) 21练习 1、 如图，已知ABC 中，DEBC，则下列等式中不成立的是（ ）（A）AD：ABAE：AC （B）AD：DB AE ：EC （C ）AD ：DBDE：BC （D）AD：ABDE ：BC 2、 如图，DFAC,DEBC,下列各式中正确的是（ ） (A) (B) (C) (D) FBCEADBABCAE3、如图，已知 ABC 中，DEBC,AD 2=ABAF，求证1= 2 4、已知 ABC 中,AD 为BAC 的外角EAC 的平分线，D 为平分线与 BC 延长线交点，求证: DCBA5、设点 F 在平行四边形 ABCD 的边 CB 的延长线上，DF 交 AB 于点 E，求证 AE:AD=AB:CF 【课后练习】 1、 已知: a:b:c=3:5:7 且 2a+3b-c=28, 求 3a-2b+c 的值。 2、 若 , 求 的值。 543zyxzyx233、 已 知 ,求 的值。 42cbaba4、 已知 a=4,c=9 若 b 是 a,c 的比例中项, 求 b 的值。 5、 已知线段 MN 是 AB,CD 的比例中项 ,AB=4cm,CD=5cm，求 MN 的长 6. ,求 k 的值zyxxzy
