1、台州市 2017 学年第一学期高三年级期末质量评估试题数学 2018.01参考公式：柱体的体积公式： 其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高VShSh锥体的体积公式： 其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高13台体的体积公式： 其中 、 分别表示台体的上、下底面积，1212表示台体的高h球的表面积公式： 球的体积公式： ，其中 表示球24SR 243VR的半径选择题部分（共 40 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ， ，则 =（ ）|1Mx|12xNMNA. B. C. D.|0|0x|12x|1
2、2x2.若复数 （ 为虚数单位） ，则 =（ ）()iz|zA. B. C. D.211223.已知 为锐角，且 ，则 =（ ）3tan4sin2A. B. C. D.3551252454.已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）aR1|aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知数列 满足 ， ，则（ ）na1*12()naNA. B. C. D.2n 2nS12nS6.有 位男生， 位女生和 位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不31能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（ ）A. B. C. D.1426284327.已知实数 ， 满
3、足不等式组 则 的取值范围是（ xy30,xy2(1)()xy）A. B. C. D.1,55,5,2268.已知函数 若函数 在 恰有两个不同21,0()3,xf()(1)gxfkx(,的零点，则实数 的取值范围是（ ）kA. B. C. D.1,3)(1,2,3)(9.已知 ， 是两个非零向量，且 ， ，则 的最大值为（ mnmnmn）A. B. C. D.5104510.当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ 1,4x3224axbxab）A. B. C. D.,8,80,6412非选择题部分（共 110 分）二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分
4、，共 36分.11.双曲线 的离心率为_，渐近线方程为_.2143xy12.已知随机变量 的分布列为：XX23P1213m则 =_， =_.m()DX13.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为_；表面为_.14.若 的展开式中所有项的系数之和为 256，则 =_，含 项的系2(3)nx n2x数是_（用数字作答）.15.当 时， 的最小值为 3，则实数 的值为_.0(0)1axa16.在 中，内角 ， ， 所对的边为 ， ， ，点 是其外接圆 上的任意一ABCBCbcPO点，若 ， ，则 的最大值为_.23a7bc22PA17.如图，在棱长为 2 的正四面体 中，动点 在侧面 内， 底
5、面 ，SSABQABC垂足为 ，若 ，则 长度的最小值为_.Q4PSC三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知函数 （ ， ， 为常数） ，22()sinco(sin)fxaxbxRab且 ， .3()24f124f（1）求 的单调递增区间；fx（2）当 时，求函数 的最大值与最小值.,4()fx19.如图，正方形 的边长为 4，点 ， 分别为 ， 的中点，将 ，ABCDEFBACADE，分别沿 ， 折起，使 ， 两点重合于点 ，连接 .DFEFAC（1）求证： 平面 ；（2）求 与平面 所成角的正弦值.20.已知函数 .2()1)xfx
6、e（1）求函数 的单调区间；（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.0,2x2()fxxm21.已知椭圆 : 的左右焦点分别为 ， ，左顶点为 ，点C21(0)xyab1F2A在椭圆 上，且 的面积为 .(,3)P12PF3（1）求椭圆 的方程；（2）过原点 且与 轴不重合的直线交椭圆 于 ， 两点，直线 分别与 轴OxCEF,AEFy交于点 ， ，.求证：以 为直径的圆恒过交点 ， ，并求出 面积的取MN121MN值范围.22.数列 ， 中， 为数列 的前 项和，且满足 ，nabnSna1ab，3(2)S.*1,)nbNa（1 ）求 ， 的通项公式；nb（2）求证： ；248211naa（3
7、）令 ， ，求证： .lncb123nTcc 2*()1)nTnN台州市 2017 学年第一学期高三年级期末质量评估试题数学参考答案及评分标准 2018.01一、选择题1-5:BCDBC 6-10:DDABA二、填空题11. ， 12. ， 13. ， 14.723yx16593216，410815. 16. 17.142三、解答题.18.解：（1）由题得： ，()sin2cosfxaxb由 ， ，得 故 ，3()24f1()24f3,41,2ab3,24ab ，131()sincosin()43fxx当 ， 时， 的单调递增，22kkZ(fx可得 ， ，511x 的单调递增区间为 ；()fx
8、5,()12kkZ（2）由（1）得 ，()sin()3fx由 得： . ，45661sin(2)3x故 在 上的最大值为 ，最小值为 .()fx,1419.解：（1） ， 平面 ，,ADEAFDAEF又 平面 ， ，EF由已知可得 ， 平面 ；BB（2）由（1）知平面 平面 ，则 为 与平面 所成角，设 BD， 交于点 ，连 ，则 ， ，BDMA2M32又 平面 ， 平面 ， ，AEFEFAD在 中， ，Rt1sin 32BD 与平面 所成角的正弦值为 .D20.解：（1）函数 的定义域为 ， ，()fx|xR()2)(1xfxe ， ，解得 或 ， 为减函数，0xe012，解得 ， 为增函数
9、，()f12x()f 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；x,(1,2)（2） 在 恒成立，2()fxm0,2 ，(1)xmxe令 ，则 ，22()1)xge()2)(12()xge当 时， ，0,x() 0xxe当 ， ，(1,2)(1)2) xgxe 在 上单调递减，在 上单调递增，x0,(,) ， .min1()()gxe1me21.解：（1） ， ，1232PFScc又点 在椭圆 上， ， ，(,3)C14a42980a解得 ，或 （舍去） ，又 ， ，28a22b所以椭圆 的方程为 ；214xy（2） ， ， ，(,0)A1(,)F2(,0)方法一：当直线 的斜率不存在时， ， 为
10、短轴的两个端点，则 ，EEF0,2M，(0,)N， ，则以 为直径的圆恒过焦点 ， ，1FM2FNM1F2当 的斜率存在且不为零时，设直线 的方程为 ，EE(0)ykx设点 （不妨设 ） ，则点 ，0(,)xy0x0(,)x由 ，消去 得 ，所以 ， ，2184ky2281xk021k021ky所以直线 的方程为 ，AE2x因为直线 与 轴交于点 ，令 得 ，yM0x21ky即点 ，同理可得点 ，2(0,)1k2(,)Nk， ， ，12(,)FMk12(,)F10FMN，同理 ，1NN则以 为直径的圆恒过焦点 ， ，12当 的斜率存在且不为零时，EF，2211kkMN21k214k面积为 ，F
11、4OFMN又当直线 的斜率不存在时， ， 面积为 ，E1FN142OFMN面积的取值范围是 .1N4,)方法二：当 ， 不为短轴的两个端点时，设 ，F00(,),2)Exyx则 ，由点 在椭圆 上， ，0(,)xyEC28所以直线 的方程为 ，令 得 ，A0()yx0x02yx即点 ，同理可得点 ，02(,)yMx02(,)yNx以 为直径的圆可化为 ，N2200288xy代入 ，化简得 ，22008xy04xy令 解得2,4xy,xy以 为直径的圆恒过焦点 ， ，MN1(2,0)F2(,) ，又 ， ，02| |yx20068|yx02y|4MN面积为 ，1F1|4OFN当 ， 不为短轴的两
12、个端点时， ， 面积为 ，E|M1FN1|42OF 面积的取值范围是 .1MN,)22.解：（1） ，当 时， ，3(2nnSa2113()nnSa ， ，1()nnna1n ，31212nna 341()22nn ，*()nN,1;nb（2） ，121()(2)nnna12n ，24821na 2138n，11()()3644nn6 ；2482naa（3）当 时，左边 右边，11l0Tb当 时， ，n31lnl45n ，2()2l l3451() ，2 2ln()()(1)n nT，令 ，21l()2xx则 ，2()ln()n1l ln0易知 在 上单调递增，1()lfxx,所以 ， ，0f2()1nTn由可知对于任意的 ， .*N2()n
