1、 25第 3讲 函数的单调性教学内容一、知识梳理单调性定义设函数 的定义域为 A，区间 .y)(xf M如果取区间 上的任意两个值 1 , 2，改变量 0，则Mx12x当 0 时，就称函数 在区间 上是增函数；)(12fxfy)(xf当 0 时，就称函数 在区间 上是增函数如果一个函数在某个区间 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间 上具有单调性（区间 称为单调区间） MM课时数量 2 课时（120 分钟）适用的学生水平 优秀 中等 基础较差教学目标（考试要求）理解函数的单调性定义，会根据函数图象写出单调区间并判断函数单调性根据定义证明给定函数在指定区间上的单调性能讨论简单复合函数的单
2、调性渗透数形结合的数学思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力教学重点、难点重点：函数的单调性定义，证明给定函数在指定区间上的单调性难点：复合函数的单调性分析建议教学方法 数形结合，讲练结合资 料， 同号，xy平均变化率0，增函数；y， 异号，x平均变化率0，减函数y26二、方法归纳在同一单调区间上，两个增（减）函数的和仍为增（减）函数，但单调性相同的两个函数的积未必是增函数设 ，若有bax,21（1） 0，则有 上是增函数21)(ffbaxf,)(在（2） 0，则有 上是减函数21)(xff f,)(在在函数 、 公共定义域内，)(fg增函数 增函数 是增函数；x)(x减函数 减函数
3、 是减函数；)(f增函数 减函数 是增函数；x)(xg减函数 增函数 是减函数)(f函数的单调性常应用于如下三类问题：（1）利用函数的单调性比较函数值的大小（2）利用函数的单调性解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两个函数的大小，求含于自变量中的某个特定的系数，这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣” ，以实现不等式间的转化（3）利用函数的单调性确定函数的值域，求函数的最大值和最小值 若函数 在定义域 上递增，则函数值域为( ， )；)(xfyba, (afbf若函数 在定义域 上递减,则函数值域为( ， )；)若函数 在定义域 上递增，则函数值域为 ， ；)(xfy(ff
4、若函数 在定义域 上递减，则函数值域为 ， ；ba, )ba若函数 在定义域 上递增，则函数的最大值为 ，最小值)(xfy(f为 ；af 提 示函数 、)(xf公共定义域指g的定义域与)(xf的定义域的交集 提 示这一连串的看似相同的结论，结合单调函数的图象不难理解27若函数 在定义域 上递减，则函数的最大值为 ，最小值)(xfyba, )(af为 ；bf三、典型例题精讲例1若 与 在 上都是减函数，对函数 的单axyb,0bxay3调性描述正确的是( )A. 在 上是增函数 B. 在 上是增函数, ,C. 在 上是减函数 D. 在 上是增函数，在 上是减函0,0数解析: 由函数 在 上是减函
5、数，得 0，axy, a又函数 在 上是减函数，得 0，b0b于是，函数 ， 在 上都是减函数，3x, 函数 在 上是减函数，故选 Cbay【技巧提示】 熟悉函数 ， ， ， 的单调性与x3aybxy、 的符号的关系，就能正确的描述由它们组合而成的函数的单调性ab例 2求函数 的最大值1)(xf解析：由 ，343xf知函数 在其定义域 3，+ 上是减函数1)(xxf所以 的最大值是 32)(f【技巧提示】 显然由 使得问题简单化，3141xx当然函数定义域是必须考虑的又例 已知 ，则函数 的值域是 .1,0xxxy12解析： 在 上单调递增，y2,0 提 示 利用函数的单调性求函数的值域这是求
6、函数的值域的又一种方法28 函数 的值域是 xxy12)1(,0f即 3,12再例 求函数 的值域xy解析： 在定义域 上是增函数，x21,21 函数 的值域为 xy,例 3函数 在 R 上为增函数，求函数 单调递减区间)(xf )1(xfy解析：令 ，则 在(,1 上递减，uu又函数 在 R 上为增函数，)(xf 函数 单调递减区间为(,1 .)y【技巧提示】 这是一个求复合函数的单调性的例子，同时又含有抽象函数只要知道函数 的单调性， 与 的单调性和单调区间x)1(xfy相同如果变函数 在 R 上为减函数，那么函数 的单调性与函)(f )1(xfy数 的单调性相反，即函数 单调递增区间为(
7、,1 .1x )xfy又例 设函数 在 R 上为减函数，求函数 单调区间)(xf )(xfy再例 设函数 在 R 上为增函数，且 0 ，求证函数 在f )f )(1xfyR 上单调递减 例 4试判断函数 在 上的单调性xbaf)(),(,并给出证明. 提 示关于复合函数及复合函数的单调性问题，可由学生先初步了解，待学习基本初等函数时，逐步积累，再总结 提 示讨论给定函数在指定区间上的单调性，通常利用单调性的定义。作差，变形，判别符号是常规步骤。资 料 xbaf)(被称0,为对号函数对号函数是奇函数，其图象是双曲线， 轴和直y线 是其渐ax近线29解析：设 ， 由于120x12121axbfxf
8、故当 时 ，此时函数 在120x12,ba120fffx上增函数，同理可证函数 在 上为减函数.,bafx,ba【技巧提示】 是一种重要的函数模型，要引起足xbaf)()0,(够的重视事实上，函数 的增函数区间为,fb和 ，减函数区间为 和 但注意本题,ba,0,a,0中不能说 fx在 上为增函数，在 上为减函数,ba,0,ba0在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“”和“或”又例：求函数 的最小值452xy解析：由 , ,用单ugx1422 2调性的定义法易证 在 上是增函数，易求函数 的ug1, 452xy最小值为 为所求25再例：已知函数 . 若对于 ,12xaxf x1
9、0恒成立，试求 的取值范围.)(xfa解析：由 .)(f ,122xax当 0 时， 显然有 0 在 恒成立；af )(f.300 时，由 知其为增函数，只需a,xaxf 122的最小值 3 0,解之， 3.)(xf)1(a当 3 时， 0 在 上恒成立.f,1例5已知 是定义在R上的增函数，对x R 有 0，且)( )(xf1 ，)0(f设 = ，讨论 的单调性，并证明你的结论xF)(1xff)(xF解析：在 R 上任取 、 ，设 ， ，1212)(2xf1f,)(1)()()( 22 1xfxff ff 是 R 上的增函数，且 1 ，)f 0当 x10 时 0 1，而当 x10 时 1；)
10、(xf )(f 若 10 ，则 0 1， 12)(1f20 1，)(xf2 0，)(12f ；)(2xF1 10 ，则 1 ， )(2xff 1 ，)(1xf2 0，21f ；)(xF(综上， 在（，10）为减函数，在（10，）为增函数.【技巧提示】 该题属于判断抽象函数的单调性问题，用单调性定义解决是关键31例 6已知 ，若 在区间1，3 上的最大值为13a2()1fxa，最小值为 ，令 ()Ma()N()gMN（1）求函数 的表达式；（2）判断函数 在区间 ，1 上的单调性，并求 的最小值()a31()ga解析：（1） 函数 的图像为开口向上的抛物线，且对称3fx轴为 .,1ax 有最小值
11、 .f aN1)(当 2 3 时， 有最大值 ；,23xf1Maf当 1 2 时，a( 有最大值 M（a）f(3) 9a5；1)(1 ).12(69,3)(aag（2）设 则 12,312121212()()0,(),gaaga 上是减函数,3在设 则12,a12121212()()90,(),gaaga 上是增函数 当 时， 有最小值 ,()在g 【技巧提示】 当知道对称轴为 后，要求 在区3,ax2()1fxa间1，3上的最大值为 ，最小值为 ，就必须分类讨论本题对培养()M()N学生分类讨论的思想有很好的作用第（2）问讨论一个分段函数的单调性并求最值，也具有一定的典型性四、课后训练1、函
12、数 的单调性描述，正确的是（ ）1()(0)fx32A、在(，)上是增函数； B、在(，0)(0，) 上是增函数；C、在(，1)(1，)上是增函数； D、在(，1)和(1 ，)上是增函数2、证明函数 在0， ）上是增函数xf23、证明函数 在 上是增函数y14),4、对于任意 ，函数 表示 ， ， 中的Rxxf321x34x较大者，则 的最小值是_.f5、已知函数 、 在R上是增函数，求证： 在R上也是增函)(xg)(xgf数.6、已知函数 ，那么（ ）223fxA 在区间 上是增函数yx1,B 在区间 上是增函数 fC 在区间 上是减函数 yx,D 在区间 上是减函数f17、函数 是定义在
13、上的单调递减函数，则 的单调递增()x0,)2(1)fx区间是 8、函数 的递减区间是 ；函数236yx的递减区间是 y9、设 是 上的减函数，则 的单调递减区间为 fxR3yfx10、求函数 在区间 上的最值12)(ax2,011、若函数 当 时的最小值为 ，求函数xft()gt当 时的最值()gt,312、讨论函数 ，在1 1 上的单调性()fx)0(2ax33五、参考答案1 D 2略 3解析：设 ，1x则 （ ）)(2ff214x14x ，212)(4x21)( ， ， 00124xf)(f 函数 在 上是增函数xy),24 25证明：设 ，则 0， 0，12)(1f)2xf)(1xg2
14、即 )(xg于是 01f)(2xgf 在R 上也是增函数.)(x6 C 7 8 和 ,)2,(),(2,(9 ),310解析：函数 ，12)(axxf )1()(2a当 时， 在区间 上的最小值为 10a,0minxf0(f在区间 上的最大值为 ；)(xf )a2a43当 时， 在区间 上的最小值为 12,(minxf)在区间 上的最大值为 ；)(xf0)a当 时， 在区间 上的最小值为 2a,(minxf)12a在区间 上的最大值为 1；)(xf2)a0当 时， 在区间上的最小值为 (minxf2f4334在区间 上的最大值为 1；)(xf2,0)(maxf0f11解析：因为函数 x1(2当 0 时，最小值 ；t)(tg)ft当 0 1 时，最小值 1；(当 1 时，最小值 ；t)(tf22t ，1,20,)(2ttg当 时的最大值为 10；最小值为 5)(t,3)3(g)2(g12解析：函数 )(xf12ax作函数 ， 为奇函数且在 和 上都是增函数，xg)()(g)0,1(, 当 0 时， 在 和 上都是增函数；af0,1),当 0 时， 在 和 上都是减函数)(
