1、高等数学练习题 第二章 导数与微分第一节 导数概念一填空题 1.若 存在，则 = )(0xf xffx)(lim00 )(0xf2. 若 存在， = .)(0f hffh )()(li00)(20f= .003()lixfxf03()fx3.设 , 则 20)(f )(2(lim00ffx 414.已知物体的运动规律为 (米) ，则物体在 秒时的瞬时速度为 5（米/ 秒）ts2t5.曲线 上点（ ， ）处的切线方程为 ，法线方程为 xycos321031yx026.用箭头或表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 可导 连续 极限存在。|二、选择题1设 ,且 存在，则 =
2、B 0)(f)(fxf)(lim0（A） ( B) (C) (D) xf )0(f21)0(f2. 设 在 处可导， , 为常数，则 = B )(fabxbfax(li0（A） ( B) (C) (D) x )(f)(fa)(xf3. 函数在点 处连续是在该点 处可导的条件 B 00x（A）充分但不是必要 （ B）必要但不是充分 （C）充分必要 （D）即非充分也非必要4设曲线 在点 M 处的切线斜率为 3，则点 M 的坐标为 B 2xy（A）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)5.设函数 ，则 在 处 B |sin|)(xf)(f0x（A）不连续。 （B
3、）连续，但不可导。 (C)可导，但不连续。 （D）可导，且导数也连续。三、设函数 为了使函数 在 处连续且可导， ， 应取什1)(2xbaxf )(xf1ab么值。解：由于 在 处连续, 所以 )(f )1()()(fff即 1ba又 在 处可导，所以 )(xf121()limxf1()lixabf a有 ， 2故 求得 ， a四、如果 为偶函数，且 存在，证明 =0。)(xf )0(f)0(f解：由于 是偶函数, 所以有 x0()()limxfff0()li(0)xtfft令即 ， 故 )(2f五、 证明：双曲线 上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。 2axy解： 在任意 处的
4、切线方程为22, ),(0yx020ay则该切线与两坐标轴的交点为： 和),(02x),(0所以切线与两坐标轴构成的三角形的面积为， （ 是已知常数）2021axA故其值为定值.第二节 求导法则一、填空题1 , = ; , = .xysin)ec2(y 1cos2taxxeysinxesinco2 ， = ; y = ， =ox2si()xe2i23 ， = ; , =tanlcrlnlog2xrex22logl4. , = . ，)tl(sewwtseacs()yy21()5. ; ( = .)1(2x2x21)2x6. = ; ( = .tanl cln2)21二、选择题1已知 y= ，则
5、 = B xsiy（A） (B) (C) (D)2con2sincox2sinixxxsinco232. 已知 y= ，则 = C xs1iy（A） (B) (C) (D) co21cos2xxcos1xcos123. 已知 ，则 = A xeysy（A） (B) (C) (D)xtanxetansxetanxet4. 已知 ，则 = A )1l(2xyy（A） (B) (C) (D) 2x221x12x5. 已知 ，则 = D xycotln4|xy（A）1 （B）2 （C） (D) 2/126. 已知 ，则 = B x（A） (B) (C) (D) 2)1( 2)1(x2)1(x2)1(x
6、三、计算下列函数的导数： (1) (2) 3ln()lyx)tan(lxy解： 解：23311(ln)x 1sec223(l)yx)(ln2x(3) (4 ) veu1sin2 )(lsec3y解： 解：vi(si2 1(cos2v )sec(lnl2xx1)tan(lvevsin22 )tan(llsec3xx(5) (6) 2l(1)yx 1arty解： 解：22()x2()x 221()xx 21x221()四、设 可导，求下列函数 y 的导数)xf dx（1） (2)(xfey )(cos)(sin22xfxfy解： 解：)()(xfxefy xfycosin2)(si)(f co()
7、x )()( xxxf ee 22sin(i)csffx(3) (4)(arctnfy )xfy解： 解：)(12xf fycos)(incos(x )(2f )(sicox)(csxff第三节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、填空题1设 ，则 = .yxeye22. 设 ，则 = .)tan(rr)(csr3. 设 ,则 = 。xyyxtanl2y4设 ，则 = ， = 。teytcosidtcosi3|tdx2二、选择题1. 由方程 所确定的曲线 在（0，0）点处的切线斜率为 A 0inyx)(y（A） （B）1 （C） （D）121212. 设由方程 所确定的隐函数为 ，则 =
8、2xy)(xydA （A） （B） （C） （D）ddxydxy3. 设由方程 所确定的隐函数为 ，则 = A 0sin21x )(xy（A） （B） （C） （D）ycos2ysin2ycos2xcos24. 设由方程 所确定的函数为 ，则在 处的导数为 B )c1(itax )(xt（A） （B）1 （C）0 （D） 215.设由方程 所确定的函数为 ，则 B 2lnarctxy)(xyd（A） （B） （C） ； （D） .21t1t12t t三、求下列函数的导数 dyx1 ， 2. 2233xya 3cosinxaty解:方程两边同时对 求导,得 解: x2ta3cosita11332
9、0y3x3 4. 2310yexexy1sin解:方程两边同时对 求导,得 解: )ln(4sillnl xex320xyxyey )1(4sin2co1 xexy321xyye)1(4cot21(sin xx eey 四、求曲线 在 处的切线方程，法线方程0i3yx解: dd)2(cossinexex, 从而 i1xdcos)in1)(23(xedy当 , 0,0x0故 切线方程为 )1(2ey法线方程为 第四节 高阶导数一、填空题设 ，则 = , = .cosrrsincrcossin22设 ,则 ， )1ln(2xyy21xy2/3)1(x3 若 , 且 存在，则 ， =)(2tf)(t
10、fdt)tf2dt )(422tftf设 ，则 = , =yxe1ye232)(ye5设 ，且 ，则 = 。arctgyf)(tdx2xt4126. 设 ,则 =12xne)(ny1!ne7设 ，则 )20()xf )(f!201二、选择题1若 , 则 = D xyln2y（A） （B） （C） （D）l 1ln2x2lnx32.设 ， ,则 = B )(ufyxe2dy（A） （B） （C） （D）2fex )(uffu )(2ufe)(uu3设 则 A xy2sin)(ny（A） （B）11 2)1(cos21nxn（C） （D） 2)(si2xn i4. 设 ，则 A ey)(ny（A）
11、 （B） （C） （D）(x)(nxe)(2nxenxe三、设 存在，求下列函数 的二阶导数)f y2dy1 (xefy解： xd)xxefefxy)()(222 lnf解： )()(1xfxfdy222)(f四、求下列函数 的二阶导数y2dxy1. cosinxatyb解: cotsitba2 231(t)sinsidybxtt2. 2arctnl解:方程两边同时对 求导,得 yxy, 2(1)()1yxy 23()xyy五、设 ，求 1)(n解: 2(3)yx3()42()yx(4) 53()依此类推, 得 () 12!(3)nnyx第五节 函数的微分一 已知 ，计算在 处 xy22（1）
12、当 时， ， = 1.0y31.dy.0（2）当 时, = , = 。 x 3二（1）函数 在 处的一次近似式为21arcsinxy121()()3fxx（2）函数 在 处的一次近似式为)o(ex0cossinf（3）计算近似值 48354三填空（求函数的微分）1、 = )sin2(dd)cos2si(2、 = dlcoxtax3、 =)1(ln2d)1l(4、 =taseclxdxsecn25、 =)1(rtfdf)1(art26、 sin(co)xcotx7、 = 2idx3sin28、 369()3614x四将适当的函数填入下列括号内,使等号成立。(1). ( ); dxc23(2). ( );)3sin1os)xc(3). ( ); (4). ( );2(xd32dxe2cex21(5). ( ); a21caxrtn(6). ( );3dxl23)(7). ( ); )(2exec
