1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1设 ，为两个不同的平面，l，m 为两条不同的直线，且 l ，m ，有如下的两个命题： 若 ，则lm ；若 lm，则那么( )A是真命题， 是假命题 B是假命题，是真命题C都是真命题 D都是假命题2如图，ABCDA 1B1C1D1 为正方体，下面结论错误的是( )ABD平面 CB1D1BAC 1BDCAC 1平面 CB1D1D异面直线 AD 与 CB1 角为 603关于直线 m，n 与平面，有下列四个命题：m，n 且 ，则 mn； m，n且，则 mn ；m，n 且 ，则 mn； m，n且，则 mn 其中真命题的序号是( )A B CD(第 2 题)
2、4给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线 l1，l 2 与同一平面所成的角相等，则 l1，l 2 互相平行若直线 l1，l 2 是异面直线，则与 l1，l 2 都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是( )A1 B2 C3 D45下列命题中正确的个数是( )若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l 若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都平行 如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都没有公共点 A0 个 B1 个 C2 个D3 个 6
3、 两直线 l1 与 l2 异面，过 l1 作平面与 l2 平行，这样的平面( )A不存在 B有唯一的一个 C有无数个D只有两个7把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A，B，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( )A90 B60 C45D30 8下列说法中不正确的是( )A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B同一平面的两条垂线一定共面C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线在同一个平面内D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个
4、平面相交，那么这条直线和交线平行如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是( )A4 B3 C2 D110异面直线 a，b 所成的角 60，直线 ac，则直线 b 与c 所成的角的范围为( )A30 ， 90 B60，90 C30，60D30，120二、填空题11已知三棱锥 P ABC 的三条侧棱 PA，PB，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为 S1，S 2，S 3，则这个三棱锥的体积为 12P 是ABC 所在平面 外一点，过
5、P 作 PO平面，垂足是 O，连 PA，PB，PC(1)若 PAPB PC，则 O 为 ABC 的 心；(2)PAPB，PAPC，PC PB，则 O 是ABC 的 心；(3)若点 P 到三边 AB，BC ，CA 的距离相等 ，则 O 是 ABC 的 心；(4)若 PAPB PC，C90，则 O 是 AB 边的 点；(5)若 PAPB PC，ABAC，则点 O 在ABC 的 J(第 13 题)线上13如图，在正三角形 ABC 中，D ，E，F 分别为各边的中点，G，H，I，J 分别为 AF，AD ，BE，DE 的中点，将ABC 沿 DE，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度数
6、为 14直线 l 与平面 所成角为 30，lA，直线 m，则 m 与 l 所成角的取值范围是 15棱长为 1 的正四面体内有一点 P，由点 P 向各面引垂线，垂线段长度分别为 d1，d 2，d 3，d 4，则 d1d 2d 3d 4的值为 16直二面角l的棱上有一点 A，在平面 ， 内各有一条射线 AB，AC 与 l 成 45，AB ，AC ，则BAC 三、解答题17在四面体 ABCD 中，ABC 与DBC 都是边长为 4 的正三角形(1)求证：BCAD；(2)若点 D 到平面 ABC 的距离等于 3，求二面角A BCD 的正弦值；(3)设二面角 ABCD 的大小为 ，猜想 为何值时，四面体
7、ABCD 的体积最大(不要求证明)(第 17 题)18 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB 1BC1，E 为 D1C1 的中点，连结ED，EC， EB 和 DB(1)求证：平面 EDB平面 EBC；(2)求二面角 EDBC 的正切值.19*如图，在底面是直角梯形的四棱锥 ABCD中，ADBC，ABC 90，SA面 ABCD，SA ABBC ，AD 21(1)求四棱锥 SABCD 的体积；(2)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值(提示：延长 BA，CD 相交于点 E，则直线 SE 是所求二面角的棱. 20*斜三棱柱的一个侧面的面积为 10，这个侧面与它所对棱的
8、距离等于 6，求这个棱柱的体积(提示：在 AA1 上取一点 P，过 P 作棱柱的截面，使 AA1 垂直于这个截面.)(第 18 题)(第 20 题)答案：DDDDB BCDBA 11 12外，垂，内，中，BC 边的垂直平3132S分 1360 1430，90 15 1660 或 12036三、解答题17证明：(1)取 BC 中点 O，连结 AO，DOABC，BCD 都是边长为 4 的正三角形，AO BC，DOBC，且 AODOO ，BC平面 AOD又 AD 平面 AOD，BCAD (第 17 题)解：(2)由(1)知AOD 为二面角 ABCD 的平面角，设AOD，则过点 D 作 DEAD，垂足
9、为 EBC平面 ADO，且 BC 平面 ABC，平面 ADO平面 ABC又平面 ADO平面 ABCAO ，DE平面 ABC线段 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离，即 DE3 又 DO BD2 ，33在 RtDEO 中，sin ，OE23故二面角 ABC D 的正弦值为 (3)当 90时，四面体 ABCD 的体积最大18证明：(1)在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，AB2，BB 1BC1，E 为 D1C1 的中点DD 1E 为等腰直角三角形，D 1ED45同理C 1EC45 ，90C即 DEEC在长方体 ABCD 中，BC平面 ，又 DE 平面1BA1DC，1DCBCDE又 ，
10、DE平面 EBC平面 DEB 过CEDE，平面 DEB平面 EBC(2)解：如图，过 E 在平面 中作 EODC 于1DO在长方体 ABCD 中，面 ABCD面1CBA，EO 面 ABCD过 O 在平面 DBC 中作1DCOFDB 于 F，连结 EF，EFBDEFO 为二面角 ED BC 的平面角利用平面几何知识可得 OF ， 51(第 18 题)又 OE1，所以，tan EFO 519*解：(1)直角梯形 ABCD 的面积是 M 底面 ABDC)(21，4312四棱锥 SABCD 的体积是 V SAM 底面31 1 34(2)如图，延长 BA，CD 相交于点 E，连结 SE，则 SE 是所求
11、二面角的棱ADBC ，BC2AD，EA AB SA，SESBSA 面 ABCD，得面 SEB面 EBC，EB 是交线又 BCEB ，BC面 SEB，故 SB 是 SC 在面 SEB上的射影，CSSE，BSC 是所求二面角的平面角SB ，BC1，BCSB，2ABStanBSC ， (第 19 题)C即所求二面角的正切值为 220*解：如图，设斜三棱柱 ABCA1B1C1 的侧面 BB1C1C的面积为 10，A 1A 和面 BB1C1C 的距离为 6，在 AA1 上取一点 P 作截面 PQR，使 AA1截面 PQR，AA 1CC 1，截面PQR 侧面 BB1C1C，过 P 作 POQR 于 O，则 PO侧面BB1C1C，且 PO6 V 斜 S PQR AA1 QRPOAA12 POQRBB12 106130 (第 20 题 )
