1、1一次函数综合题选讲及练习例 1如图所示，直线 L：y=mx+5m 与 x 轴负半轴，y 轴正半轴分别交于 A、B 两点（1）当 OA=OB 时，求点 A 坐标及直线 L 的解析式；（2）在（1）的条件下，如图所示，设 Q 为 AB 延长线上一点，作直线 OQ，过 A、B两点分别作 AMOQ 于 M， BNOQ 于 N，若 AM= ，求 BN 的长；（3）当 m 取不同的值时，点 B 在 y 轴正半轴上运动，分别以 OB、AB 为边，点 B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF 和等腰直角ABE，连 EF 交 y 轴于 P 点，如图问：当点 B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想 PB 的
2、长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由变式练习：1已知：如图 1，一次函数 y=mx+5m 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B ，与函数 y=x 的图象交于点 C，点 C 的横坐标为 3（1）求点 B 的坐标；（2）若点 Q 为直线 OC 上一点，且 SQAC=3SAOC，求点 Q 的坐标；（3）如图 2，点 D 为线段 OA 上一点， ACD=AOC点 P 为 x 轴负半轴上一点，且点P 到直线 CD 和直线 CO 的距离相等在图 2 中，只利用圆规作图找到点 P 的位置；（保留作图痕迹，不得在图 2 中作无关元素 ）求点 P 的坐标2例 2如图 1，已知一次函数 y= x
3、+6 分别与 x、y 轴交于 A、B 两点，过点 B 的直线 BC交 x 轴负半轴与点 C，且 OC= OB（1）求直线 BC 的函数表达式；（2）如图 2，若ABC 中，ACB 的平分线 CF 与BAE 的平分线 AF 相交于点 F，求证：AFC= ABC ；（3）在 x 轴上是否存在点 P，使ABP 为等腰三角形？若存在，请直接写出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由变式练习：2如图，直线 l：y= x+6 交 x、y 轴分别为 A、B 两点， C 点与 A 点关于 y 轴对称动点P、Q 分别在线段 AC、AB 上（点 P 不与点 A、C 重合） ，满足BPQ=BAO（1）点 A 坐标是
4、， BC= （2）当点 P 在什么位置时，APQ CBP，说明理由（3）当PQB 为等腰三角形时，求点 P 的坐标3课后作业：1已知，如图直线 y=2x+3 与直线 y=2x1 相交于 C 点，并且与两坐标轴分别交于 A、B两点（1）求两直线与 y 轴交点 A，B 的坐标及交点 C 的坐标；（2）求ABC 的面积2如图，直线 y= x+1 分别与坐标轴交于 A，B 两点，在 y 轴的负半轴上截取OC=OB（1）求直线 AC 的解析式；（2）如图，在 x 轴上取一点 D（1，0） ，过 D 作 DEAB 交 y 轴于 E，求 E 点坐标3如图，直线 L：y= x+2 与 x 轴、y 轴分别交于
5、A、B 两点，在 y 轴上有一点 C（0，4） ，动点 M 从 A 点以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左移动（1）求 A、B 两点的坐标；（2）当 M 在 x 轴正半轴移动并靠近 0 点时，求COM 的面积 S 与 M 的移动时间 t 之间的函数关系式；当 M 在 O 点时， COM 的面积如何？当 M 在 x 轴负半轴上移动时，求COM 的面积 S 与 M 的移动时间 t 之间的函数关系式；请写出每个关系式中 t 的取值范围；（3）当 t 为何值时COMAOB，并求此时 M 点的坐标45参考答案：例 1【考点】一次函数综合题 【分析】 （1）当 y=0 时，x= 5；当 x=0 时，y=
6、5m，得出A（5， 0） ，B（0，5m） ，由 OA=OB，解得：m=1，即可得出直线 L 的解析式；（2）由勾股定理得出 OM 的长，由 AAS 证明AMOONB，得出 BN=OM，即可求出 BN 的长；（3）作 EKy 轴于 K 点，由 AAS 证得ABO BEK，得出对应边相等OA=BK，EK=OB，得出 EK=BF，再由 AAS 证明PBF PKE，得出 PK=PB，即可得出结果【解答】解：（1）对于直线 L：y=mx+5m ，当 y=0 时，x=5，当 x=0 时，y=5m ，A（5 ，0） ，B （0，5m） ， OA=OB，5m=5，解得：m=1，直线 L 的解析式为：y=x+
7、5；（2）OA=5 ， AM= ，由勾股定理得：OM= =，AOM+AOB+BON=180，AOB=90，AOM+BON=90，AOM+OAM=90， BON=OAM，在AMO 和OBN 中，AMOONB（AAS ）BN=OM= ；（3）PB 的长是定值，定值为 ；理由如下：作 EKy 轴于 K 点，如图所示：点 B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF和等腰直角ABE，AB=BE，ABE=90，BO=BF， OBF=90，ABO+EBK=90，ABO+OAB=90， EBK=OAB ，在ABO 和BEK 中，ABOBEK（AAS ） ， OA=BK，EK=OB，EK=BF，在PBF 和
8、PKE 中， ，PBFPKE（AAS） ，PK=PB，PB= BK= OA= 5= 6【点评】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结果变式练习：1 【考点】一次函数综合题【分析】 （1）把点 C 的横坐标代入正比例函数解析式，求得点 C 的纵坐标，然后把点 C的坐标代入一次函数解析式即可求得 m 的值，则易求点 B 的坐标；（2）由 SQAC =3SAOC 得到点 Q 到 x 轴的距离是点 C 到 x 轴距离的 3 倍或点 Q 到 x
9、轴的距离是点 C 到 x 轴距离的 2 倍；（3）如图 2，以点 A 为圆心， AC 长为半径画弧，该弧与 x 轴的交点即为 P；如图 3，作 P1FCD 于 F，P 1EOC 于 E，作 P2HCD 于 H，P 2GOC 于 G利用CAODAC，求出 AD 的长，进而求出 D 点坐标，再用待定系数法求出 CD 解析式，利用点到直线的距离公式求出公式， = ，解出 a 的值即可【解答】解：（1）把 x=3 代入 y= x 得到：y=2则 C（ 3，2） 将其代入 y=mx+5m，得：2= 3m+5m，解得 m=1则该直线方程为：y=x+5 令 x=0，则 y=5，即 B（0，5） ；（2）由（
10、1）知，C（ 3，2） 如图 1，设 Q（a， a） S QAC =3SAOC ，S QAO =4SAOC ，或 SQAO =2SAOC ，当 SQAO =4SAOC 时， OAyQ=4 OAyC，y Q=4yC，即| a|=42=8，解得 a=12（正值舍去） ， Q（12，8） ；当 SQAO =2SAOC 时， OAyQ=2 OAyC，y Q=2yC，即| a|=22=4，解得 a=6（舍去负值） ，Q （6，4） ；综上所述，Q （ 12，8）或（6，4） （3）如图 2，以点 A 为圆心， AC 长为半径画弧，该弧与 x 轴的交点即为 P；如图 3，作 P1FCD 于 F，P 1EO
11、C 于 E，作 P2HCD 于 H，P 2GOC 于 GC（3，2） ， A（5，0） ， AC= =2 ，7ACD=AOC，CAO=DAC，CAO DAC， = ，AD= ，OD=5 = ，则 D（ ，0） 设 CD 解析式为 y=kx+b，把 C（ 3，2） ，D（ ，0）分别代入解析式得 ，解得 ，函数解析式为 y=5x+17，设 P 点坐标为（a，0） ，根据点到直线的距离公式， = ，两边平方得， （5a+17） 2=24a2，解得 a=52 ，P 1（5 2 ，0） ，P 2（5+2 ，0） 【点评】本题考查了一次函数综合题，涉及坐标与图象的关系、待定系数法求函数解析式、角平分线的
12、性质、点到直线的距离、三角形的面积公式等知识，综合性较强，值得关注法二：8例 2 【考点】一次函数综合题 【分析】 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C 点的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据角平分线的性质，可得FCA= BCA，FAE= BAE，根据三角形外角的关系，可得BAE=ABC+BCA ， FAE=F+FCA，根据等式的性质，可得答案；（ 3）根据等腰三角形的定义，分类讨论：AB=AP=10，AB=BP=10 ，BP=AP，根据线段的和差，可得AB=AP=10 时 P 点坐标，根据线段垂直平分线的性质，可得 AB=BP=10 时 P 点坐标；根据两点间的距
13、离公式，可得 BP=AP 时 P 点坐标【解答】解：（1）当 x=0 时，y=6，即 B（0，6） ，当 y=0 时， x+6=0，解得 x8，即A（8，0） ；由 OC= OB，得 OC=3，即 C（ 3，0） ；设 BC 的函数解析式为，y=kx+b，图象过点 B、C，得 ，解得 ，直线 BC 的函数表达式 y=2x+6；（2）证明：ACB 的平分线 CF 与BAE 的平分线 AF 相交于点 F，FCA= BCA，FAE= BAEBAE 是ABC 的外角，FAE 是FAC 的外角，9BAE=ABC+BCA ， FAE= F+FCA ABC+ BCA= F+ BCA， ABC=F；（3）当
14、AB=AP=10 时，8 10=2，P 1（2，0） ，8+10=18，P 2（18，0） ；当 AB=BP=10 时，AO=PO=8，即 P3（8，0） ；设 P（a，0） ，当 BP=AP 时，平方，得 BP2=AP2，即（8 a） 2=a2+62化简，得 16a=28，解得 a= ，P 4（ ，0） ，综上所述：P 1（ 2，0） ，P 2（18，0） ，P 3（8，0） ；P 4（ ，0） 【点评】本题考查了一次函数综合题， （1）利用了函数值与自变量的关系求出 A、B、C的值又利用了待定系数法求函数解析式；（2）利用了角平分线的性质，三角形外角的性质， （3）利用了等腰三角形的定义，
15、分类讨论是解题关键变式练习：2 【考点】一次函数综合题。 【分析】 （1）把 x=0 和 y=0 分别代入一次函数的解析式，求出 A、B 的坐标，根据勾股定理求出 BC 即可 （2）求出 PAQ=BCP，AQP=BPC ，根据点的坐标求出 AP=BC，根据全等三角形的判定推出即可 （3）分为三种情况：PQ=BP， BQ=QP，BQ=BP，根据（2）即可推出 ，根据三角形外角性质即可判断，根据勾股定理得出方程，即可求出 【解答】解：（1）y= x+6，当 x=0 时，y=6，当 y=0 时，x=8，即 A 的坐标是（8 ，0 ） ，B 的坐标是（ 0，6 ） ，C 点与 A 点关于 y 轴对称，
16、 C 的坐标是（8，0） ，OA=8，OC=8，OB=6 ，由勾股定理得：BC= =10，故答案为：（8，0） ，10（2）当 P 的坐标是（2，0）时，APQ CBP，理由是： OA=8，P（2，0） ，AP=8+2=10=BC，BPQ=BAO， BAO+AQP+APQ=180，APQ+BPQ+BPC=180 ，AQP=BPC，A 和 C 关于 y 轴对称，BAO=BCP，在APQ 和CBP 中， ，APQ CBP（AAS） ， 当 P 的坐标是（2，0）时，APQCBP（3）分为三种情况：当 PB=PQ 时，由（2）知， APQCBP，PB=PQ ，即此时 P 的坐标是（2，0） ；当 B
17、Q=BP 时，则 BPQ=BQP， BAO=BPQ，BAO=BQP，而根据三角形的外角性质得：BQP BAO，此种情况不存在；当 QB=QP 时，则BPQ= QBP=BAO，即 BP=AP，设此时 P 的坐标是（x，0） ，10在 RtOBP 中，由勾股定理得：BP 2=OP2+OB2，（x+8） 2=x2+62，解得：x= ，即此时 P 的坐标是（ ，0） 当PQB 为等腰三角形时，点 P 的坐标是（2，0）或（ ，0） 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，题目综合性比较强，难度偏大课后作业：1解：（1）当 x=0 时，y=
18、2x+3=3，则 A（0，3） ；当 x=0 时，y= 2x1=1，则 B（0，1） ；解方程组 得 ，则 C 点坐标为（ 1，1） ；（2）ABC 的面积= （3+1）1=22解：（1）y= x+1，当 x=0 时，y=1，当 y=0 时，x=2，则点 A 的坐标为（2，0） ，点B 的坐标为（0，1） ， 在 y 轴的负半轴上截取 OC=OB，点 C 的坐标为（0，1） ，设直线AC 的解析式为 y=kx+b，把点 A（2，0） ，C（0，1）代入得： 解得：y= x1（2）由直线 AB 的解析式为 y= x+1，DE AB，设直线 DE 的解析式为 y= x+b，把 D（1，0）代入得：
19、 b=0，解得：b= ，直线 DE 的解析式为 y= x ，当 x=0 时，y= ，点 E 的坐标为（0， ） 3解：（1）若 x=0，则 y=2，若 y=0，则 x+2=0，则 x=4，则 A 的坐标是（4，0） ，B的坐标是（0，2） ；（2）M 在 x 轴的正半轴，则 S= OMOC= （4 t）4，即 S=2t+8（0t4） ；若 M 在 O 时，则 S=0，此时 t=4；若 M 在 x 轴的负半轴，S= （t4）4，即S=2t8（t4） ；（3）OC=OA， AOB=COM=90，只需 OB=OM，则COM AOB，即 OM=2，此时，若 M 在 x 轴的正半轴时，t=2，M 在 x 轴的负半轴，则 t=6
