1、函数与极限测试题（二）一. 选择题1.设 是连续函数 的一个原函数， 表示“M 的充分必要条件是 N”，则F()x()fx“NM必有( ).（A） 是偶函数 )是奇函数. （B） 是奇函数 是偶函数.)(f F()x()fx（C） 是周期函数 是周期函数. （D） 是单调函数 是单调函数 F(xx2设函数 则( ),1)xef（A） ， 都是 的第一类间断点.0()f（B） ， 都是 的第二类间断点xx（C） 是 的第一类间断点， 是 的第二类间断点.()f 1()fx（D） 是 的第二类间断点， 是 的第一类间断点.0x3设 ， ，则 ( )1fx、 ， fxA） B） C） D） 1xX1
2、x4下列各式正确的是 ( )A） B） 0lim1+ xx0lim(+)xxeC） D）li()xxeli1xx5已知 ，则 ( )。9lixxaA.1； B. ； C. ； D. 。3ln3ln26极限： ( )xx)1(limA.1； B. ； C. ； D. 。2e2e7极限： =（ ） xli32A.1； B. ； C.0； D.28极限： =（ ）x1lim0A.0； B. ； C ； D.2219. 极限： =（ ）)(li2xA.0； B. ； C.2； D. 2110极限: =（ ）xx2sintalm30A.0； B. ； C. ； D.16 16二. 填空题11极限 = ；
3、 12. = ；12sinlxx 0arctnlimx13. 若 在点 连续，则 = ；)(fy0 )(lifx14. ； 15. ；0sin5lmx nn)21li16. 若函数 ，则它的间断点是 2312xy17. 绝对值函数 ,0;().xf x其定义域是 ，值域是 。 18.符号函数 其定义域是 ，值域是三个点的集合 。1,0;()sgn,.xfx19 无穷小量是 。20. 函数 在点 连续，要求函数 满足的三个条件是 。 ()yf0()yfx三. 计算题21.求 ； 22.设 求 (其中 )；).1(lim0xex1()32,xfe)fx023.求 ； 24.求 ；5223x lim
4、xx25.求 ； 26. 已知 ，求 的值；20sinlita()xx9)(lixxa27. 计算极限 ；28.求 它的定义域。nn1)32(lim2lg51xf x29. 判断下列函数是否为同一函数： 与 ； 与 ；22()sicofxx= g1=1)(2xf 1)(xg 与 ； 与 ；21)(f)(2f)( 与 。2yax2st30. 已知函数 ， 求 ；()1f1()32fxfxf、 、31. 求 ； 32. 求 ；74653lim2nn 21limnn33. 求 ； 34. 求 。)1(lin nn3li35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限 ， ； ， 。2,xy2x0,31si
5、xy36.求 ； 37. 求 ；31limx 9lim2x38.求 ； 39.求当 x时，下列函数的极限xli0。123y40. 求当 时，函数 的极限。x123xy41.求 ； 42.求 ；x3sinlm0 20coslimx43.求 ； 44.求 ；1lin nn1li45.求 ； 46.求 ；xxk)1(limxx1lim47.求 。xx0li48. 研究函数 在点 处的连续性。0,1sin)(xf 0x=49. 指出函数 在点 处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。)(f50. 指出函数 在点 处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。0,)(xf =51. 指出函数 在点 处是否间断
6、，如果间断，指出是哪类间断点。,1)(2f52.求 ；xxlnim053.求 ；xl1li254. 试证方程 在区间1，2至少有一根。320x 55. 求 。xsintalm056. 试证正弦函数 在区间 (-， +) 内连续。iyx57. 函数 ；在点 处是否连续？0fx，lx58. 函数 ；是否在点 连续？1sin()0xfx， ， 0x59. 求极限 .xa1lim0函数与极限测试题答案（二）一.选择题1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为 ，且xCdtfF0)()( ).(xfF当为偶函数时，有 ，于是 ，即
7、，)(xF)(1()xFx )(xff也即 ，可见为奇函数；反过来，若为奇函数，则 为偶函数，从)(xff dt0而 为偶函数，可见(A)为正确选项.CdtxF0【评注】 函数与其原函数的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考与其原函数的有界性之间有何关系? 2. D【分析】 显然 ， 为间断点，其分类主要考虑左右极限.x1【详解】 由于函数在 ， 点处无定义，因此是间断点.且 0x1x，所以 为第二类间断点；)(lim0xf0， ，所以 为第一类间断点，故应选(D).1x 1)(li1xf【评注】 应特别注意： ， 从而 ，lim1x .1lix1limxe.0li1xe3 - 8
8、 CACCAC8. x时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”：原式 = . （ 有理化法） 21lim)1(lim00 xxx9 -10 DC10.解：原式 . 168li)2(costanli 32030xxx注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例中若对分子的每项作等价替换，则原式 .0)2(lim30x二.填空题11. 2； 12. 1； 13.0； 14.5； 15. ； 16. ；17. ；2e1、 ),(),018. ；),(,019.在某一极限过程中，以 0 为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量 20.函数
9、在点 处有定义； 时极限 存在；极限值与函数值=yfx0 x0lim()xf相等，即 。00lim()x三. 计算题21.【分析】 型未定式，一般先通分，再用洛比达法则.“【详解】 =)1(lim)1(li 200 xxxx ee 201limxexx= =x2li0.23li0x22. ； 23. ； 24. ； 25. ； 26. ；27. 33ln1,f3ee61ln28. 解：由 解得 ；由 解得 ；由 解得 ； 1x520x2.5所以函数的定义域为 或表示为 。2.5x 且 ,1,.29. 、是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。不是同一函数，因为它们的定义
10、域不相同。不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。30.解： ；2211fxx；242f 。309ff 31.解： 222n2 746153lim746153lim74615lim nnn nn ；210631li71li46li532nnn n32. 解： ；21lim)(li2lim22 nnnn33 .解： ；nn 1)(li)1(li01limlili1lim1lim nnnn34.解： 10li)32(li1)32(li32li nnnnn35.解：因为 ， ；所以函数在指定点lim,li22yyxx yxx22limli的极限不存在。 因为 ，031li,0sin
11、li0 xx；所以函数在指定点的极限 。yxx00lilimliyx36. ；33li11lim6xx 37. ；2333lilili9xxx38. ；21lim)1(li)1(li1li 0000 xxxxxx39. 3232lim1limxxxx 01lili132xx40. 32321limlimxxx 0lili132 xx41. snm3sil00x42. 21sinlm21)(4sinlcos1lim20020 xxxx43. 原式= 44. 原式enn1)(li3 221lim1li ennnn 45. 原式 kkxxkxx e1limli 46. 原式 11lili xxx47
12、. 原式 kkxxe10li48.解 0 00sinlim()l()1xxfff而x函 数 在 处 连 续 。49. 间断，函数在 处无定义且左右极限不存在，第二类间断点 150. 间断，函数在 处左右极限不存在，第二类间断点x51. 间断， 但 ，两者不相等，第一类间断点0)(li0ff52. 解：11000n1limlin()lnim()lnxxxxxe53. 解： 211lillil2x x 54. 证明：设 ，则在1，2上连续，3()fxx 2050ff -， 根据零点定理，必存在一点 使 ，则 就是方程的根。(12)， (0f x55. 原式 68lim)(costanli 3030
13、 xxx56. 证明： ，任给 一个增量 ，对应的有函数 的增量()， xxy. sin()si2ncos()2xyx ，由夹逼准则知， ，再由 的任意性知0 0yxA（ ） x正弦函数 在其定义域 上处处连续，即它是连续函数。 siyx()，57. 解：注意 f (x)是分段函数，且点 两侧 f 表达式不一致。0x解法 1： ， lim()0 ， . lixf0fx又 ， 函数 在点 处连续（图 119） 。 0 fl解法 2 ， 函数在点 左连续；)()(li)(li00fxx0x又 ， 函数在点 右连续，所以函数在点 连续。m)(li0ffx0x0x58 证 虽然 是分段函数，但点 两侧函数表达式一致。()f ， 在点 处连续。)0(1sinlli00 fxxM)(xf059. 解：令 ，则 ，当 时， ， at logatt 原式 . aettatt lnlo1)(lim)1(logi00 特别地， ，这表明 时， .li0xexx
