1、1第六讲 指数函数和对数函数指数函数和对数函数都是基本初等函数，是高中必须掌握的，在高考中，主要是考查基础知识。要求掌握扩充后指数的运算，对数的运算，指数函数和对数函数的图像和性质。一、指数的性质（一）整数指数幂1整数指数幂概念： an个 )(N01a10,2整数指数幂的运算性质：（1） （2）,mnZ ,nmaZ（3） ab其中 ， mnnaa 1n nnabb3 的 次方根的概念一般地，如果一个数的 次方等于 ，那么这个数叫做 的 次方根，N, a即： 若 ，则 叫做 的 次方根， xnnn1例如：27 的 3 次方根 ， 的 3 次方根 ，32727327332 的 5 次方根 ， 的
2、5 次方根 5 5说明：若 是奇数，则 的 次方根记作 ； 若 则 ，若 则 ；ana0nao0na若 是偶数，且 则 的正的 次方根记作 ， 的负的 次方根，记作： ；（例如：n0 8 的平方根 16 的 4 次方根 ）282164若 是偶数，且 则 没意义，即负数没有偶次方根；n ；Nn,100n式子 叫根式， 叫根指数， 叫被开方数。 aana4 的 次方根的性质一般地，若 是奇数，则 ；nn若 是偶数，则 0aa5例题分析：例计算： 407解： 40752)5()25( （二）分数指数幂1分数指数幂： 1051025aa12312430a即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成
3、分数指数幂的形式；2幂的运算性质 对分数指数幂也适用，nma例如：若 ，则 ， ， 0322a455a233a454a规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是 ；0,1mnnN（2）正数的负分数指数幂的意义是 1nmaan2分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用，即：10,rsrsaQ3,rrbabr说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2）0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没意义。3例题分析：【例 1】用分数指数幂的形式表示下列各式 ：ao， ， .2a32a解： = ；152= ；323= a113224a【例 2】计算下列各式的
4、值（式中字母都是正数） （1） ； （2） ；115133626bb8314mn解（1） （2） = = 211513362aa83148314n223mn= 236b= ；04b例 3计算下列各式：（1） （2） 45125230a解：（1） = = （2）313451314245= 23a52613a3= = ； 51245124【例 3】已知 ，求下列各式的值：（1） ；（2） .3x1x32x解：（1）12()1222()x，35 ，125x又由 得 ， ，30x120x所以 .12（2） （法一）32x113322)(x（1112222)()xx，1()(5（法二）322333222
5、)(3而 x1(x1()18 ，3220又由 得 ， ，1xx320x所以 .325二、指数函数1指数函数定义：一般地，函数 （ 且 ）叫做指数函数，其中 是自变量， 叫底数，函数定义域是 xya01xaR2指数函数 在底数 及 这两种情况下的图象和性质： a01图象（1）定义域： R性质 （2）值域： (0,)4（3）过定点 ，即 时(0,1)x1y（4）在 上是增函数R（4）在 上是减函数R【例 1】求下列函数的定义域、值域：（1） （2） （3） （4） 218xy1()2xyxy1(0,)xay解：（1） 原函数的定义域是 ，0,2R令 则21tx,tR 得 ，8(,)y,1y所以，原
6、函数的值域是 0（2） 原函数的定义域是 ，()0x0,令 则 ，12t)1t在 是增函数 ，y,0y所以，原函数的值域是 ,（3）原函数的定义域是 ，R令 则 ， tx0t在 是增函数， ，y,01y所以，原函数的值域是 ,1（4）原函数的定义域是 ，由 得 ，(0,)xay1xay ， ，x1y所以，原函数的值域是 ,说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。【例 2】当 时，证明函数 是奇函数。1a1xay证明：由 得， ，0x故函数定义域 关于原点对称。1()xaf()xa1x()f ()ff5所以，函数 是奇函数。1xay三、对数的性质1对数定义：一般地，如果 （ ）的
7、 次幂等于 N, 就是 ，那么数 b 叫做 a 为底 a10且 babN 的对数，记作 ， a 叫做对数的底数，N 叫做真数。即 ， 。blog logN指数式 ab底数 幂 指数对数式 log对数的底数 真数 对数说明：1 在指数式中幂 N 0，在对数式中，真数 N 0 （负数与零没有对数）2 对任意 且 , 都有 ，同样： 1a01alogalog1a3如果把 中的 写成 ， 则有 （对数恒等式） blog2对数式与指数式的互换例如： ， ； ， ；24164lo210l2， ； ， 。g1.og.【例 1】将下列指数式写成对数式：（1） ； （2） ； （3） ； （4） 456427a
8、15.37m解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） 5log21log63loga13log.m3介绍两种常见的对数：常用对数：以 10 作底 简写成 ；10lNl自然对数：以 作底为无理数， = 2.71828 ， 简写成 eeleNln【例 2】 （1）计算： ， 9og27345l62解：设 则 ， , ；xlx3x2令 ， , , 34563445x（2）求 x 的值： ； 3logx21log31x解： ；34127 220,2xx但必须： ， 舍去 ，从而 2013xx（3）求底数： ， log5x7log28x6解： ； 3535()x53x , 7788224对数的运算
9、性质：如果 a 0 ， a 1， M 0 ，N 0， 那么（1） ；log()llogaa（2） ；-a（3） ll()naR【例 3】计算：（1）lg14 21g ； （2） ； （3） 18lg79lg42.1lg0l387l解：（1）解法一： 187l342l()()l()；g2l2gl3g0解法二： 1l274l()l183= ；18)(lg2g0（2） ；53ll9l43g25（3） = .1lg0871133223(lg21)g()ll035换底公式： ( a 0 , a 1 ； )lolmaN,1m证明：设 ，则 ，ogxx两边取以 为底的对数得： ， ，lgloxNloglmx
10、aN从而得： ， amla说明：两个较为常用的推论：（1） ； （2） （ 、 且均不为 1） logl1abloglmnaab0b7证明：（1） ；1lglolgbaba（2） olmnam【例 4】计算：（1） ； （2） 0.21og35 4492lg3olg3解：（1）原式 = ；.5ll31（2） 原式 = 245log42llog22【例 5】已知 ， ，求 （用 a, b 表示） 189ab36解： ， ， l l18l8 ，18og2又 ， 5b ， l ab2log15936log4811836【例 6】设 ，求证： tzyx yxz证明： ，4 ，6lgl3lgtztt，
11、ytttxz 21461四、对数函数1对数函数的定义：函数 叫做对数函数。xyalog)10(且2对数函数的性质：（ 1） 定 义 域 、 值 域 ： 对 数 函 数 的 定 义 域 为 ， 值 域 为 al)(且 ),0(),(（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形，即可获得。xy同样：也分 与 两种情况归纳，以 （图 1）与 （图 2）为例。a10xy2logxy21log112xy2log（图 1）11()12logyx（图 2）8（3）对数函数性质列表： 1a01a图象（1）定义域： (0,)（2）值域： R（3）过点 ，
12、即当 时，1x0y性质（4）在（0，+）上是增函数 （4）在 上是减函数(,)【例 1】求下列函数的定义域：（1） ； （2） ； （3） logxya)(logya)9(log2xya分析：此题主要利用对数函数 的定义域 求解。x(0,)解：（1）由 0 得 ，20函数 的定义域是 ；2la（2）由 得 ，4x4函数 的定义域是 ；)(logy4x（3）由 9- 得-3 ，023x函数 的定义域是 9l2a 3【例 2】比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1） ， ， ； （2） ， ， 0.91.og0.7l85log6l7log3解： （1） ，.1.l，07070.7llog1 .
13、9.og81.9（2） ，333l5l6l 7【例 3】求下列函数的值域：（1） ；（2） 2log()yx2log()yx解：（1）令 ，则 ，3t2t ， ，即函数值域为 0RR（2）令 ，则 ，20 ， 即函数值域为 logy2(,log3【例 4】判断函数 的奇偶性。2()l1)fxx(,),xxlogayxlogayx9解： 恒成立，故 的定义域为 ，21x()fx(,)2()log(fx221l()，2og()xfx所以， 为奇函数。()f【例 5】求函数 的单调区间。13l(y解：令 在 上递增，在 上递减，22)4uxx3,)3(,2又 ， 或 ，01x故 在 上递增，在 上递
14、减， 又 为减函数，2(,(,13logyu所以，函数 在 上递增，在 上递减。213log)yx2,)(,1)10课堂练习题（1）1、填空：（3） ；（4） ；31mxA35()yA（5） ；（6） ；23()ab432()2、 （1）若 ，则 ；（2）若 ，则 ；m 26nan（3）若 ， ，用 表示 ， ；3n,ab3mn3m（2）（3） ；（ 4） ；2()ma3()x（5） ；（6） ；3ba（7） ；（8） ；()2()xy（9） ；（10） ；342x3b2、判断下列式子是否正确，若不对，请纠正：(1) ； （2） ；2()ma2()ma（3） ； （4） .n nA课后巩固提高1、下列计算正确的是（ ）A. B. C. D.36x43x510()x235()xy2、8127 可以记为（ ）A. B. C. D.39671233、 可以等于（ ）5aA. B. C. D. 23() 4()a23()a32()a4、计算 的结果是（ ）2)bA. B. C. D.818b15、在等式 中，括号内的代数式应当是（ ）230()aa
