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2、(x, y) 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量元素分别为 dIx=y2(x, y)ds, dIy=x2(x, y)ds . 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为I x = y 2 ( x, y)ds , I y = x2 ( x, y)ds .L Lwww. kh dL L和 L2, 则2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧 L分为两段光滑曲线 L1L f (x, y)ds =Ln课x=M y L x ( x, y)ds M y (x, y)ds = , y= x = L . M M ( x, y)ds (x, y)ds后曲线 L 的重心坐标为1f ( x,
3、y)ds + f ( x, y)ds .L2证明 划分 L, 使得 L1和 L2的连接点永远作为一个分点, 则 f (i,i )si = f (i,i )si +i =1 i =1 n n1n1答dMx=y(x, y)ds, dMy=x(x, y)ds .令 =maxsi0, 上式两边同时取极限 0 0lim f (i ,i )si = lim f (i ,i )si + limi =1 i =1即得L f (x, y)ds =L1f ( x, y)ds + f ( x, y)ds .L23. 计算下列对弧长的曲线积分:awi = n1 +1曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的静矩元素分别为案
4、f (i,i )si . f (i,i )si ,nn1 0.c oi = n1 +1为小弧段 ds 上任一点.网m(1) ( x2 + y 2 )n ds , 其中 L 为圆周 x=acos t , y=asin t (0t2);L解L (x2 + y2)n ds = 02 0 22(a 2 cos2 t + a 2 sin 2 t)n (a sin t)2 + (a cos t)2 dt= (a 2 cos2 t + a 2 sin 2 t)n (a sin t)2 + (a cos t)2 dt0L解 L 的方程为 y=1x (0x1);1www. kh d1 10课= x 1+(x2
5、)2 dx + x 1+ ( x)2 dx01后L xdx = L xdx + Lxdx12= x 1+ 4x 2 dx + 2 xdx = 1 (5 5 + 6 2 1) . 0 0 12x2 + y2 L(4) eds , 其中 L为圆周 x2+y2=a2, 直线 y=x及 x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界;解 L=L1+L2+L3, 其中L1: x=x, y=0(0xa),L2: x=a cos t, y=a sin t (0 t ) , 4 L3: x=x, y=x (0 x 2 a) , 2因而L ea 0x2 + y2ds = eL1x2 + y 2ds + eL2= e 1
6、 + 0 dx + x 2 24 ea 0(a sin t) + (a cos t) dt + 2 2awx2 + y2答解 L1: y=x2(0x1), L2: y=x(0x1) .案(3) xdx , 其中 L为由直线 y=x及抛物线 y=x2所围成的区域的整个边界;L网L (x + y)ds = 0 (x +1 x)11+(1 x)2 dx = ( x +1 x) 2dx = 2 .0ds + eL3= ea (2 + a) 2 . 4.c o1 x2 + y2(2) (x + y)ds , 其中 L 为连接(1, 0)及(0, 1)两点的直线段;ds ,02a 2 e 2x12 +12
7、 dxm= a 2n+1dt = 2a 2n+1 .(5) 1 ds , 其中 为曲线 x=etcos t , y=etsin t , z=et上相应于 t从 0 变到 2 2 x + y +z22 的这段弧; dy 解 ds = ( dx )2 + ( )2 + ( dz )2 dt dt dt dt = (et cos t et sin t)2 + (et sin t + et cos t)2 + e2t dt = 3et dt ,2 1 1 ds = 2t x2 + y2 + z 2 0 e cos2 t + e2t sin 2 t + e2t 3et dt解 =AB+BC+CD, 其中
8、AB: x=0, y=0, z=t (0t1), CD: x=1, y=t, z=2(0t3),www. kh d故 = 0dt + 0dt + 2t 02 +12 + 02 dt = 9 .0 0 0 1 3 3 x2 yzds = AB x2 yzds + BC x2 yzds + CD x2 yzds(7) y 2ds , 其中 L 为摆线的一拱 x=a(tsin t), y=a(1cos t)(0t2);L解L y 2ds = 02= 2a3 (1 cos t)2 1 cos t dt = 256 a3 . 0 15L(8) ( x2 + y 2 )ds , 其中 L 为曲线 x=a(
9、cos t+t sin t), y=a(sin tt cos t)(0t2). dy 解 ds = ( dx )2 + ( )2 dt = (at cos t)2 + (at sin t)2 dt = atdt dt dt课BC: x=t, y=0, z=2(0t3),2a 2 (1 cos t)2 a(t sin t)2 +a(cos t)2 dtL( x2 + y 2 )ds = a 2 (cos t + t sin t)2 + a 2 (sin t t cos t)2 atdt0后2答(0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2);aw案(6) x2 yzds , 其中 为折
10、线 ABCD, 这里 A、B、C、D 依次为点(0, 0, 0)、网=203 et dt = 3 et 2 = 3 (1 e 2 ) . 0 2 2 2.c om= a3(1+ t 2 )tdt = 2 2a3(1+ 2 2 ) .024. 求半径为 a, 中心角为 2 的均匀圆弧(线密度 =1)的重心. 解 建立坐标系如图 104 所示, 由对称性可知 y = 0 , 又L答(1) I z = ( x2 + y 2 ) (x, y, z)ds = ( x2 + y 2 )(x2 + y 2 + z 2 )dsL2www. kh dL L0课= a 2 (a 2 + k 2t 2 ) a 2
11、+ k 2 dt = 2 a 2 a 2 + k 2 (3a 2 + 4 2k 2 ) . 0 3 (2) M = (x, y, z)ds = (x2 + y 2 + z 2 )ds = (a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt= 2 a 2 + k 2 (3a 2 + 4 2k 2 ) , 32x= 1 ML x(x2 + y 2 + z 2)ds = M 06ak 2 , 3a 2 + 4 2k 2 1 2 y = 1 y( x 2 + y 2 + z 2 )ds = a sin t(a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt M 0 M L 2 = 6ak2
12、2 , 3a 2 + 4 k 1 2 z = 1 z( x 2 + y 2 + z 2 )ds = kt(a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt M 0 M L 2 2 2 3k (a + 2 k ) , = 3a 2 + 4 2k 2 3k (a 2 + 2 2k 2 ) 6 2 6 2 故重心坐标为 ( 2 ak 2 2 , 2 ak 2 2 , ). 3a + 4 k 3a + 4 k 3a 2 + 4 2k 2 =aw12后案解 ds = x2 (t) + y2 (t) + z2 (t)dt = a 2 + k 2 dt .网5. 设螺旋形弹簧一圈的方程为 x=acos
13、 t, y=asin t, z=kt, 其中 012, 它的线密度 (x, y, z)=x2+y2+z2, 求: (1)它关于 z轴的转动惯量 Iz; (2)它的重心., 0)a cost(a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt.c o所以圆弧的重心为 (a sin mx=Mx a sin = 1 xds = 1 a cos ad = , M 2a L 2a ww课 后 答 案 网w. kh d aw .c o m习题 102 1. 设 L 为 xOy 面内直线 x=a 上的一段, 证明: 证明 设 L是直线x=a上由(a, b1)到(a, b2)的一段, 则 L: x=a, y=t, t从 b1变到 b2. 于是L P(x, y)dx = 0 .证明 P( x, y)dx = P( x, 0)dx .L ab证明 L: x=x, y=0, t 从 a 变到 b, 所以b bL解 L: y=x2, x 从 0 变到 2, 所以www. kh d56 L (x2 y2)dx = 0 (x2 x4)dx = 15 .2(2) xydx , 其中 L为圆周(xa)2+y2=a2(a0)及 x轴所围成的在第L
