1、1【圆锥曲线板块】双曲线知识点总结及重点题型 班级_姓名_知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 （ 大于 0 且 ）的动点 的轨迹叫作双曲线.这两个定点 、 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数 应当满足的约束条件： ，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数 满足约束条件： （ ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支；若 （ ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支；知识点二：双曲线的标准方程1当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程： ，其中 ；2当焦点
2、在 轴上时，双曲线的标准方程： ，其中 .注意：1只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2在双曲线的两种标准方程中，都有 ；3双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当 的系数为正时，焦点在 轴上，双曲线的焦点坐标为 ， ；当 的系数为正时，焦点在 轴上，双曲线的焦点坐标为 ， .知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线 （a0，b0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程 （a0，b0），把 x 换成-x，或把 y 换成-y，或把 x、y 同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线 （a0，b0）是以 x 轴、y 轴为对称
3、轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线 x=a 和 x=a 的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x-a 或 xa。（3）顶点：双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。双曲线 （a0，b0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为 A1（a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。两个顶点间的线段 A1A2叫作双曲线的实轴；设 B1（0，b），B 2（0，b）为 y 轴上的两个点，则线段 B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A 1A2|=2a，|B 1
4、B2|=2b。a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。注意：双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。双曲线的焦点总在实轴上。实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。（4）离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用 e 表示，记作 。因为 ca0，所以双曲线的离心率 。由 c2=a2+b2，可得 ，所以 决定双2曲线的开口大小， 越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。等轴双曲线 ，所以离心率 。（5）渐近线：经过点 A2、A 1作 y 轴的平行线 x=a，经过点 B1、B 2作 x 轴的平行线
5、y=b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是 ，我们把直线 叫做双曲线的渐近线。注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。知识点四：双曲线 与 的区别和联系标准方程图形焦点 ， ，焦距范围 ， ，对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称性质顶点轴 实轴长= ，虚轴长= 离心率渐近线方程知识点五：双曲线的渐近线：（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为 ，则其渐近线方程为注意：（1）已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为 ，则可设双曲线方程为 ，根据已知条件，求出
6、即可。（3）与双曲线 有公共渐近线的双曲线方程可设为3（ ，焦点在 轴上， ，焦点在 y 轴上）（4）等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为一. 定义的应用1动点 与点 与点 满足 ，则点 的轨迹方程为_P1(05)F，2(5)，126PFP2已知点 和 ，曲线上的动点 P 到 、 的距离之差为 6，则 曲线方程为（ ）,4, 12A B C 或 D 1792yx )0(792yxy79yx1792x)0(1792xyx3.已知平面上两定点 及动点 M，命题甲： （ 为常数） ，命题乙：“点 M 轨迹是以 为焦12,F12Fa 12,F点的双曲线” ，则命题甲是命题乙的 （
7、）充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件: :4 双曲线 上一点 到它的一个焦点的距离等于 ，则点 到另一个焦点的距离等于 .2640xyP5.6P5设 是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 ， 分别是双曲线的左、右焦点，若P219a 320xy12F，则 的值为 13F26已知双曲线的中心在 原点，两个焦点 分别为 和 ，点 在双曲线上且 ，且 的面12F，(50)，()，P12PF12P积为 1，则双曲线的方程为_7.已知双曲线的两个焦点为 ， 是双曲线上的一点，且 ， ，则该双曲12(5,0)(,)P12F12线的方程是 （ ）:A23xy:B23xy:C2
8、14xy:D24yx8. 已知 为双曲线 的焦点，过 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P，且 ；21,F142b)0(2F 0213F则 _b9双曲线 的两个焦点为 ，点 在双曲线上，若 ，则点 到 轴的距离为 216xy12,FP12Px10.双曲线 16x2-9y2=144 上一点 P(x0,y0)(x00 )到左焦点距离为 4，则 x0= .11若椭圆 和双 曲线 有相同的焦点 ，点 是两条曲线的一个交点，则()xymn21()xyab12F，P的值为 12PF12动圆与两圆 和 都相切，则动圆圆心的轨迹为（ ）12yx0282xyA抛物线来源:学.科.网B圆 C双曲线的一支 D椭圆
9、413 是双曲线 左支上的一点， 为其左、右焦点，且焦距为 ，则 的内切圆圆P21(0)xyabb， 12F， 2c12PF心的横坐标为 二. 双曲线的几何性质1 “ab0”是“方程 表示双曲线”的（ ）cbyax2A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件2双曲线 的一个焦点是 ， 则 m 的值是 _ _。m2 )3,0(3如果双曲线的渐近线方程为 ，则离心率为_4yx4双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 （ ）21xy:A:B4:C:D145双曲线 的两条渐进线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( ）12bya:3:2:326双曲线 的实轴长、虚轴长、焦距成等
10、比数列，则其离心率为 ( )21xyab:A:B52:C512:D37 是双曲线 上一点，则 到两条渐近线的距离的积为 P21xyP_8双曲线 的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 2ab9已知双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为 21310已知双曲线 的离心率为 ，则 的范围为_24xyk2ek11若双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，其离心率为 来源:学科21ab0212.方程 表示双曲线，则 的取值范围 （ ）xymm:A2:B0:C0:D2m13.椭圆 和双曲线 有相同的焦点，则实数 的值是 （ ）2134xyn216xynn25 9:5:3:14曲线 与曲线 的 （
11、）22()106xym221(5)59xym5焦距相等 离心率相等 焦点相同 准线相同:A:B:C:D15已知椭圆 和双曲线 有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为_2135xymn213xymn16.已知方程 ，则此曲线是 （ ）2(0)aba焦点在 轴上的双曲线 焦点在 轴上的双曲线 焦点在 轴上的椭圆 焦点在 轴上的椭圆:Ax:By:x:Dy三. 求双曲线方程1.已知圆 与圆 ，圆 与圆 ，圆 均外切；则圆 的圆心 的轨迹方49)5(:21yC1)5(:22xCC12C程是 2若双曲线的两个焦点分别为 ，且经过点 ，则双曲线的标准方程为 (0)， (5)，3与曲线 共焦点，而与 共渐近线的
12、双曲线方程为 ( )1492yx 16432yx:A162:B962:C92x:D1692yx4已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 ,且焦距与虚轴长之比为 ，则双曲线的标准方程是(30)5:4_.5.已知双曲线通过 两点，求双曲线的标准方程 .(1,)2,5)MN6.（1）设 是双曲线 上的动点， 为坐标原点， 为线段 中点，求点 的轨迹方程.P4xy-=OMOPM四. 直线与双曲线1直线 与 的右支交于两点；求实数 的取值范围。 2kxy632k2过原点的直线 与双曲线 有两个交点，则直线 的斜率的取值范围为_l1yxl3双曲线 的左焦点为 F，点 P 为左支的下半支上任一点（非顶点）
13、，则直线 PF 的斜率的范围是（ ）12xA （-，0 1，+ ） B （- ，0）（1，+）C （-，-1）1，+） D （- ，-1）（1，+ ）4已知双曲线 的焦点为 ， ，离心率为 2.23yxa2（1）求此双曲线渐近线 , 方程；1L2（2）若 分别为 , 上的动点,且 ；求线段 中点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。BA, 215FABABM一.定义的应用1. 2D 3. 4 5.7 6. 7 8 9 21(3)69xy .3214xyC251610. 11. 12C 13. 5maa6二双曲线的几何性质1A 2-2来源:学科网 ZXXK3. 或 4 5 6 7 8. 9 10.
14、 11. 53BC2131020k1cos12 13 14 15. 16. A34xyB三.求双曲线方程1 2. 3 4 )3(1692xyx21xA1692yx5设双曲线 方程为C)0(2mny由题意得 双曲线的标准方程为718541n 1782yx6解：设 及 则 （1）),(0yxP),(yxM420为线段 中点 代入（1）得 ， 点 的轨迹方程为Oy,00142yxM142yx四.直线与双曲线1解 两不同根为82)13(6222 kxkyxk 21,3013)(70022121 kkx2. ()()， 3B 利用数形结合，结合渐近线可求得 .4解:（1）由已知得 ,所以 ,所以双曲线方程为 ,2a21a213xy所以双曲线的渐近线方程分别 ,3xy（2）由（1）知 , ,因为 ,所以 , 设 , , 中点1(02)F()122|5|ABF10AB13(,)Ax223()BxAB),(yxM则 , , ,12123xy10AB221213()()0xx消去 并整理得 :点 M 的轨迹方程为 ,所以点 轨迹是焦点在 轴上的椭圆.12,x2573xM7
