1、有理数全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1理解正负数的意义，掌握有理数的概念.2理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算. 3学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用；5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念 1有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用 举例表示数的性质 0 是自然数、是有理数表示没有 3 个苹果用+3 表示，没有苹果用 0 表示表示某种状态
2、表示冰点0C表示正数与负数的界点 0 非正非负，是一个中性数2数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如 （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大3相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0 的相反数是 0 要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“ ”号即可（3）多重符号的化简：数字前面“ ”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负4绝对值：（1)代数意义：一
3、个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0 数 a 的绝对值记作 a（2)几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离要点二、有理数的运算 1 法则：（1）加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值一个数同 0 相加，仍得这个数（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数即 a-b=a+(-b) （3）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘任何数同 0 相乘，都得 0（4）除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数
4、即 ab=a (b0) 1b（5）乘方运算的符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数，0 的任何非零次幂都是 0(6)有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“”号的个数，例如：（3）=3，+（3）=3（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（3）（2）（6）=36，而（3）（2）6=36（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为
5、奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， 2(3)93()272运算律： （1）交换律: 加法交换律:a+b=b+a； 乘法交换律:ab=ba；（2）结合律: 加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； 乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于 0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法 （4）作商比较法；（5)倒数比较法要点四、科学记数法、近似数及精确度 1.科学记数法：把一个大于 10 的数表示成 的形式（其中 ， 是正整
6、数） ，10na10an此种记法叫做科学记数法例如：200 000= 522.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为 6300，这里的 6300就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：精确到哪一位保留几个有效数字这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到 米，说明结果0.1与实际数相差
7、不超过 米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.05【典型例题】类型一、有理数相关概念1已知 x 与 y 互为相反数，m 与 n 互为倒数，|x+y |+（a-1） 20，求 a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010 的值【思路点拨】(1)若有理数 x 与 y 互为相反数，则 x+y0，反过来也成立(2)若有理数 m 与 n 互为倒数，则 mn1，反过来也成立【答案与解析】解：因为 x 与 y 互为相反数，m 与 n 互为倒数， （a-1） 20，所以 x+y0，mn1，a1，所以 a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010a 2-(0+
8、1)a+02009+(-1)2010a 2-a+1a1，原式1 2-1+11【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.举一反三：【高清课堂：有理数的复习与提高 357129 复习例题 2】【变式 1】选择题（1）已知四种说法： |a|=a 时，a0；|a|=-a 时， a0，则（ ） Aab0 Ca0 且 b0 Da0 且 b0 （4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（ ） A120 B-15 C0 D-120 （5）下列各对算式中，结果相等的是（ ） A-a 6 与(-a) 6 B-a 3 与|-a| 3 C(-a) 23 与(-
9、a 3)2 D(ab) 3 与 ab3 【答案】 （1）C；（2）C；（3）A；（4）D；(5)C【变式 2】 （2015 呼伦贝尔）中国的陆地面积约为 9 600 000km2，把 9 600 000 用科学记数法表示为 【答案】9.610 62. 在下列两数之间填上适当的不等号：_ 91010【思路点拨】在 a、b 均为正数的条件下，根据“ ， ， 分别得到1ab1abab，ab，ab”来比较两数的大小【答案】 【解析】法一：作差法： （ ）9101= ，9010 法二：作商法：由于 ，所以 191000910再根据两个负数，绝对值大的反而小，得到：910【总结升华】比较大小常用的有五种方
10、法，要根据数的特征选择使用举一反三：【变式】在下列两数之间填上适当的不等号_ 11【答案】 （提示：倒数法较简便）类型二、有理数的运算【高清课堂：有理数专题复习 357133 有理数的混合运算】3(1) 21143624(2) 5(.5)(4)235 413421751.826 (5)10322【答案与解析】解：（1）原式1143624（2）原式59（3）原式3132(4)2(516)0（4）原式()()23（5）1125()49原 .9【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)a
11、b+ac；逆向应用分配律：ab+aca(b+c)等.举一反三：【变式】（1） 2 251783()0.2519()48（2） 5()9【答案】解：（1） 2 251783()0.2519()484()493()1(290231（2） 2 3515()()(2)994851()92744. 先观察下列各式： ； ；1431473； ，根据以上观察，计算：1703()nn 的值147012508【答案与解析】解：原式 134733205811013208769208【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成 的形式，然后再进行计13n算举一反三：【高清课堂：有理数的复习与提高 例 2】【变式】
12、用简单方法计算： 12084218【答案】解：原式= 1115(.)680246024类型三、数学思想在本章中的应用5 （2014 香洲区校级二模） （1）阅读下面材料：点 A，B 在数轴上分别表示实数 a，b，A ，B 两点之间的距离表示为|AB|当 A，B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图（1） ，|AB|=|OB|=|b|=|a b|；当 A，B 两点都不在原点时，如图（2） ，点 A，B 都在原点的右边，|AB|=|OB| |OA|=|b|a|=ba=|ab|；如图（3） ，点 A，B 都在原点的左边，|AB|=|OB| |OA|=|b|a|=b（ a）=|ab| ；如
13、图（4） ，点 A，B 在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（ b）=|ab| ；综上，数轴上 A，B 两点之间的距离|AB|=|ab|（2）回答下列问题：数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是 ，数轴上表示2 和5 的两点之间的距离是 ，数轴上表示 1 和3 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 x 和1 的两点 A 和 B 之间的距离是 ，如果|AB|=2，那么 x 为 ；当代数式|x+1|+|x 2|取最小值时，相应的 x 的取值范围是 解方程|x+1|+|x 2|=5【答案与解析】解：数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是|2 5|=3；数轴上表示2 和
14、 5 的两点之间的距离是 |2（5）|=3；数轴上表示 1 和3 的两点之间的距离是 |1（3）|=4数轴上表示 x 和1 的两点 A 和 B 之间的距离是|x（ 1）|=|x+1| ，如果|AB|=2 ，那么 x 为1 或3当代数式|x+1|十|x 2|取最小值时，x+10，x 20，1 x2当 x1 时，x 1x+2=5，解得 x=2；当1 x 2 时，35，不成立；当 x2 时，x+1+x2=5 ，解得 x=3故答案为：3，3，4 ，|x+1|， 1 或3 ，1x2【总结升华】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，体现了数形结合的优点类型四、规律探索6.下面两个
15、多位数 1248624，6248624都是按照如下方法得到的：将第 1 位数字乘以 2，若积为一位数，将其写在第 2 位；若积为两位数，则将其个位数字写在第 2位对第 2 位数字再进行如上操作得到第 3 位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的当第 1 位数字是 3 时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前 100 位的所有数字之和是( )A495 B497 C501 D503【思路点拨】多位数 1248624是怎么来的？当第 1 个数字是 1 时，将第 1 位数字乘以 2得 2，将 2 写在第 2 位上，再将第 2 位数字 2 乘以 2 得 4，将其写在第 3 位上，
16、将第 3 位数字 4 乘以 2 的 8，将 8 写在第 4 位上，将第 4 位数字 8 乘以 2 得 16，将 16 的个位数字 6 写在第 5 位上，将第 5 位数字 6 乘以 2 得 12，将 12 的个位数字 2 写在第 6 位上，再将第 6位数字 2 乘以 2 得 4，将其写在第 7 位上，以此类推根据此方法可得到第一位是 3 的多位数后再求和【答案】A【解析】按照法则可以看出此数为 362 486 248，后面 6248 循环，所以前 100 位的所有数字之和是 3+(6+2+4+8)24+6+2+4495，所以选 A【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并表示出来举一反三：【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第 10 行从左边数第 3 个位置上的数是（ ） A B C D13260149560【答案】B 提示：观察发现：分子总是 1，第 n 行的第一个数的分母就是 n，第二个数的分母是第一个数的（n-1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的 倍根据图表的(1)2规律，则第 10 行从左边数第 3 个位置上的数是 09436
