1、- 1 -勾股定理的逆定理 测试试题一、基础加巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的 是（ ）A.三内角之比为 123 B.三边长的平方之比为 123C.三边长之比为 345 D.三内角之比为 3452.如图 1824 所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD，ADBC，斜腰 DC 的长为 10 cm，D=120，则该零件另一腰 AB 的长是_ cm（结果不取近似值）.图 1824 图 1825 图 18263.如图 1825，以 RtABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 S1、S 2、S 3，且 S1=4，S 2=8，则 AB 的长为_.4.如图 1826，已知正方形 A
2、BCD 的边长为 4，E 为 AB 中点，F 为 AD 上的一点，且 AF= AD，试判断 EFC 的4形状.5.一个零件的形状如图 1827，按规定这个零件中A 与BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4， AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13 ，这个零件符合要求吗？图 18276.已知ABC 的三边分别为 k21，2k，k 2+1（k1） ，求证： ABC 是直角三角形.二、综合应用7.已知 a、b、c 是 RtABC 的三 边长，A 1B1C1 的三边长分别是 2a、2b、2c ，那么 A1B1C1 是直角三角形吗？为什么？- 2 -8.已知：如图 1828，在A
3、BC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD2=ADBD.求证：ABC 是直角三角形. 图 18289.如图 1829 所示，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为 A（3，1） ，B（2，4） ，OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图 182910.阅读下列解题过程：已知 a、b、c 为 ABC 的三边，且满足 a2c2b 2c2=a4b 4，试判断ABC 的形状.解： a2c2b 2c2=a4b 4，(A)c 2(a2b 2)=(a2+b2)(a2b 2)，(B)c 2=a2+b2， （C) ABC 是直角三角形.问： 上述解题 过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步
4、的代号_；错误的原因是 _ ；本题的正确结论是_ _.11.已知：在ABC 中， A、B 、 C 的对边分别是 a、b 、c ，满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断ABC 的形状 .12.已知：如图 18210，四边形 ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3. 求：四边形 ABCD 的面积. 图 18210 - 3 -参考答案一、基础巩固1.思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：有一个角是直角或两锐角互余；两边的平方和等于第三边的平方；一边的中线等于这条边的一半.由 A 得有一个角是直角；B、C 满足勾股定理的逆定理，所以 应选 D.
5、2.解：过 D 点作 DEAB 交 BC 于 E,则 DEC 是直角三角形.四边形 ABED 是矩形，AB=DE. D=120，CDE=30.又在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半，CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，DE= cm.AB= cm.35102351023.思路分析：因为ABC 是 Rt，所以 BC2+AC2=AB2,即 S1+S2=S3，所以 S3=12，因为 S3=AB2,所以 AB=.3213S4.思路分析：分别计算 EF、CE、CF 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解：E 为 AB 中点，BE=2.CE 2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得
6、,EF 2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.CE 2+EF2=CF2,EFC 是以CEF 为直角的直角三角形.5.思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断 ADB 和DBC 是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在ABD 中，AB 2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以 ABD 为直角三角形，A =90.在BDC 中,BD 2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.所以BDC 是直角三角形，CDB =90.因此这个零件符合要求.6.思路分析：根据题 意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理
7、的逆定理即可.证明：k 2+1k21,k 2+12k=(k1) 20,即 k2+12k，k 2+1 是最长边.(k 21) 2+(2k )2=k42k 2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,ABC 是直角三角形.二、综合应用7.思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例 2 已证）.8.思路分析：根据题意，只要判断三边符 合勾股定理的逆定理即可.证明：AC 2=AD2+CD2，BC 2=CD2+BD2，AC 2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2ADBD+BD2=（AD+BD） 2=AB2.ABC 是直角三角形.9.思路分析
8、：借助于网格，利用勾股定理分别计算 OA、 AB、OB 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断OAB 是否是直角三角形即可.- 4 -解： OA 2=OA12+A1A2=32+12=10, OB2=OB12+B1B2=22+42=20,AB2=AC2+BC2=12+32=10, OA 2+AB2=O B2.OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形 .10.思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了 a 有可能等于 b 这一条件，从而得出的结论不全面.答案：(B) 没有考虑 a=b 这种可能，当 a=b 时ABC 是等腰三角形；ABC 是等腰三角形或直角三角
9、形.11.思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为 0，则都为 0；(3) 已知 a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.解：由已知可得 a210a+25+b 224b+144+c 226c+169=0,配方并化简得,(a5) 2+(b12) 2+(c13) 2=0.(a5) 20,(b 12)20,(c13) 20.a5=0,b12=0,c13=0.解得 a=5,b=12,c=13.又a 2+b2=169=c2,ABC 是直角三角形.12.思路分析：（1）作 DEAB，连结 BD，则可以证明ABDEDB（ASA） ；(2)DE=AB=4，BE=AD
10、=3，EC=EB =3；(3)在 DEC 中，3、4、5 为勾股数，DEC 为直角三角形，DEBC；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.解：作 DEAB，连结 BD，则可以证明 ABDEDB（ASA）,DE=AB=4，BE=AD=3.BC=6, EC=EB=3.DE2+CE2=32+42=25=CD2,DEC 为直角三角形.又 EC=EB=3,DBC 为等腰三角形 ，DB=DC=5. 在BDA 中 AD2+AB2=32+42=25=BD2,BDA 是直角三角形 .它们的面积分别为 SBDA= 34=6;SDBC= 64=12.11S 四边形 ABCD=SBDA+SDBC=6+12=18.
