1、第一章 函数与极限习题课一、主要内容 （一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念 一）函数1.函数的定义 函数的分类2.函数的性质 有界、单调、奇偶、周期3.反函数4.隐函数5.基本初等函数6.复合函数7.初等函数8.双曲函数与反双曲函数（二）极限1、极限的定义：单侧极限 极限存在的条件2、无穷小与无穷大无穷小； 无穷大； 无穷小与无穷大的关系 无穷小的运算性质 3、极限的性质 四则运算、复合函数的极限4、求极限的常用方法 a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限；f.利用等价无
2、穷小；g.利用重要极限5、判定极限存在的准则 夹逼定理、单调有界原理6、两个重要极限(1) 1sinlm0x;1sinl某 过 程(2) e)ex0)(.li某 过 程7、无穷小的比较8、等价无穷小的替换性质9、极限的唯一性、局部有界性、保号性（三）连续1、连续的定义 单侧连续 连续的充要条件 闭区间的连续性 定 义“N定 义“定 义“X2、间断点的定义 间断点的分类 第一类、第二类3、初等函数的连续性 连续性的运算性质 反函数、复合函数的连续性4、闭区间上连续函数的性质 最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理二、例题 例 解 将分子、分母同乘以因子(1-x ), 则例 解例解例 6 解).
3、1()(1)(lim, 242nxxn 求 时当 nn)(li 242原 式 xxnn 1)()(li 242nnmxnlim1.)0lim,1(12nxx时当.)si1ta(li310xx求 310)intlxx原 式 310sintalix30si1tanlimx30cos)i(slmx xx cos)in(1coslm202.2e原 式 ).(,1)(li ,2li,0 3xpx求 且是 多 项 式设 ,2m3),()( 为 待 定 系 数其 中可 设 bax,1li0xp又 )0(2)(3ba.,b从 而 得 xxp23故 .1,2cos)(的 连 续 性讨 论 xf改 写 成将 xf
4、1,cs,)(xxf.)(1,),()内 连 续在显 然 xf)(lim1xf例 证明讨论:例证即 xn 单调减，有下界故由单调有界原理得例 求解,1时当 x)(limf)(li1xx1fx.2)(lim1xfx2cosli1x.0.)(间 断在故 f,时当 2cosli1x)(f.0)(lim1xf)1(li.)(连 续在故 f .),()1,连 续在 x ).(21(,0,0,( fff 使 得证 明 必 有 一 点 且上 连 续在 闭 区 间设 ),21()xfxF令 .,上 连 续在则 F)(1(f,0)(若 ,则 ;02f21F若 则 )(f则若 ,)(,)()0(,011 axxn
5、n有 极 限证 明设 n显 然 )(2)(1nxa 02n存 在lim0liAn， 则设 两 边 取 极 限 得在 )(21nnxax )(21Aa（ 舍 去 ）解 得 a,)1ln(cos(il20xxxx)l(s(ilm0原 式 120例 求解例. 求极限例解一解二例 证明证由夹逼定理知例131)()(limnxxu令 u则 得由 )( 130 )1()(linnuuuI 102limnu !)0(,coscosli2xxnn nnn2siili原 式解nnnxxsiico4colim211 nn2sil nnx2silmsiccx， 求设 4limxxx 21lili ccx2121li
6、2ce24lnclnc得xxxxc1limli ce2lin1n首 先 nh记 22!)1(1)( nnnhh 2!)1(nhhn200limnlin1, )()(xxabfba， 有 可 去 间 断 点间 断 点 有 无 穷的 值 ， 使确 定解 因 f(x)在 x=0 处为无穷间断，即又 x=1 为可去间断，例解从而由等价无穷小的代换性质得例 利用介值定理证明，当 n 为奇数时，方程至少有一实根证故由函数极限的保号性质可知又 n 是奇数，所以 异 号与nXa)2(00故由零点定理知和差化积 积化和差sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2 sinsin = cos(+)-
7、cos(-) /2sin-sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2 coscos = cos(+)+cos(-)/2cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2 sincos = sin(+)+sin(-)/2cos-cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2 cossin = sin(+)-sin(-)/2)(lim0xfbxafx1)(li)(1lim00 bax0,存 在故 1f)(li1bx)()(lix )1(lim)(li11xaxf 0)(lim,2sinli 030 xfefxx求已 知 1)(mxx由 li30而 )1sin)(li0xfx2sn)(li330xxx eef 021i1f sin)(lim0xfx2sin)(lim230xxef fx32ili0xfx2sin)(li101s由 6)(li)(0ffx存 在 ， 且 )0(,11 axaann,0)( 110 nnxaxaxf令lim)(li0 时使 当0|,XxX同 号 ，与 0)(xfn 同 号与时 ，亦 即 ， 当 nxafx00)(|2X上 连 续在而 ,)(xf )(),2(0f， 使至 少 有 一 实 根即 110 nnxaa
