1、第一章教学内容：证明（二）重点： 直角三角形，线段垂直平分线与角平分线的证明难点：证明逆命题的真假，角平分线的证明及其对逆命题的理解易错点：线段的垂直平分线和角平分线的定理及逆定理的判别第二章教学内容：一元一次方程重点：用配方法，公式法，分解因式法解一元一次方程难点：黄金分割点的理解，用配方法解方程易错点：利用因式分解法和公式法解方程第三章教学内容：证明（三）重点：特殊的平行四边形的性质与判定，平行四边形的性质与判定难点：特殊的平行四边形的证明易错点：各定理之间的判别第四章教学内容：视图与投影重点：某物体的三视图与投影难点：理解平行投影与中心投影的区别易错点：三视图的理解，中心投影与平行投影的
2、区别第五章教学内容：反比例函数重点：反比例函数的表达式，反比例函数的图像的概念与性质难点：反比例函数的运用，猜想，证明与拓展易错点：主要区别反比例函数与 x 轴和与 y 轴无限靠近第六章教学内容：频率与概率定义和命题：频率与概率的概念难点：理解用频率去估计概率易错点：频率是样本中才出现的，概率是整体中出项的苏教版九年级数学上知识点汇总第一章 图形与证明（二） 1.1 等腰三角形的性质定理： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。 等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。 等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
3、（简称“等角对等边”）。 1.2 直角三角形全等的判定定理： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。 角平分线的性质： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 角平分线的判定： 角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 直角三角形中，30的角所对的直角边事斜边的一半。 1.3 平行四边形的性质与判定： 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 定理 1：平行四边形的对边相等。 定理 2：平行四边形的对角相等。 定理 3：平行四边形的对角线互相平分。 判定从边：1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 3
4、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 从角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。矩形的性质与判定： 定义：有一个角的直角的平行四边形是矩形。 定理 1：矩形的 4 个角都是直角。 定理 2：矩形的对角线相等。 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：1 有三个角是直角的四边形是矩形。 2对角线相等的平行四边形是矩形。 菱形的性质与判定： 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 定理 1：菱形的 4 边都相等。 定理 2：菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 判定：1 四条边都相等的四边形是菱形。 2 对角线互相垂直
5、的平行四边形是菱形。 正方形的性质与判定： 正方形的 4 个角都是直角，4 条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。 判定：1 有一个角是直角的菱形是正方形。 2 有一组邻边相等的平行四边形是正方形。1.4 等腰梯形的性质与判定 定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 定理 1：等腰梯形同一底上的两底角相等。 定理 2：等腰梯形的两条对角线相等。 判定：1 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 2 对角线相等的梯形是等腰梯形。 1.5 中位线 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 梯形的中位
6、线平行于两底，并且等于两底的一半。 中点四边形：依次连接一个四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形（中点四边形一定是平行四边形）。 原四边形对角线 中点四边形 相等 菱形互相垂直 矩形 相等且互相垂直 正方形 第二章 数据的离散程度 2.1 极差： 一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。计算公式：极差=最大值-最小值。 极差是刻画数据离散程度的一个统计量，可以反映一组数据的变化范围。一般说，极差越小，则说明数据的波动幅度越小。 2.2 方差 各个数据与平均数的差的平均数叫做这组数据的方差，记作 S2。巧用方差公式：1、基本公式：S2=n1(X1-X)2+(X2-X)2+(Xn-X)2 2
7、、简化公式：S2=n1(X12+X22+Xn2)-nX2也可写成：S2=n1(X12+X22+Xn2)-X2 3、简化：S2=n1(X12+X22+Xn2)-nX2 也可写成: S2=n1(X12+X22+Xn2)-X2 标准差: 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差,记作 S。 意义： 1、极差、方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征，常用来比较两组数据的波动大小，我们通常研究的是这组数据的个数相等、平均数相等或比较接近的情况。 2、方差较大的波动较大，方差较小的波动较小。 3、方差大，标准差就大，方差小，标准差就小。因此标准差同样反映数据的波动大小。 注意：对两组数据来说，极差大的
8、那一组不一定方差大，反过来，方差大的极差也不一定大。第三章 二次根式 3.1 二次根式 定义：一般地，式子（a0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。 有意义条件：当 a0 时，有意义；当 a0 时，无意义。 性质：1、0（a0） 2、（）2=a（a0） 3、2=a= a（a0）a（a0） 3.2 二次根式的乘除法 法则：ab=ab(a0,b0) =（a0,b0） 化简：ab=ab(a0,b0) =（a0,b0） = （a0,b0） 第四章 一元二次方程 4.1 概念： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。 一般形式是 aX2+bX+c=0(a、b、c 是常数，
9、a0)，其中 aX2 称为二次项，a 称为二次项系数，bX 称为一次项，b 称为一次项系数，c 称为常数项。 4.2 解法：1、直接开平方 2、配方法：先把一元二次方程变形为（X+h）2=k 的形式（其中 h,k 都是常数），如果 k0，再通过直接开平方法求出方程的解 3、公式法（求根公式）：一元二次方程 aX2+bX+c=0 （a0），当 b2-4ac0 时，它的根是（0）4、因式分解法 根的判别式 一元二次方程 aX2+bX+c=0 （a0）的根的情况可由 b2-4ac 来判定，因此 b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式。 当 b2-4ac0 时，方程有两个不相等的实数根 当 b2-4
10、ac=0 时，方程有两个相等的实数根 X1=X2= 当 b2-4ac0 时，方程没有实数根。反之，也成立。一元二次方程应用题步骤：“设、找、列、解、验、答” 第五章 中心对称图形（二） 5.1 圆 定义：圆是定点的距离等于定长的点的集合。其中，定点叫做圆心，定长叫做半径。 与圆有关的概念：1、连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。 3、定点在圆上的角叫做圆心角。 4、圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。能够互相重合的两个圆叫做等圆。
11、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。点与圆的位置关系： 在平面内，点与圆有 3 中位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外。如果设O 的半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，那么“点 P 在圆内 dr;点 P 在圆上d=r；点 P 在圆外dr”5.2 圆的对称性 圆是中心对称图形，圆心是对称中心。 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 圆心角、弧、弦之间的关系（等对等定理）： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。5.3 圆周角 概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理：同弧或等弧所对的
12、圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。（圆心与圆周角的位置关系分为三种情况：圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部） 推论：1、直径（或半圆）所对的圆周角是直角。 2、90的圆周角对的弦是直径。5.4 确定圆的条件 条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 三角形的外接圆： 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。 外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，这个点叫做三角形的外心。这个三角形叫做圆的内接三角形5.5 直线与圆的位置关系 1、直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。（dr） 2、直线与圆有唯一的公共点，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这
13、个公共点叫做切点。（d=r） 3、直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。（dr） 直线与圆的位置关系可以用它们的交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来区分，它们的结果是一致的。切线的性质与判定： 判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线式圆的切线。 性质：（圆的切线垂直于过切点的半径）1、 经过圆心且垂直于切线的直接必经过切点。 2、 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 3、 切线与圆只有一个公共点；切线与圆心的距离等于半径；切线垂直于过切点的半径。内心： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形的三条角平分线的交点。
14、这个三角形叫做圆的外切三角形。5.6 圆与圆的位置关系 性质与判定： 如果两圆的半径分别为 R 和 r，圆心距为 d，那么 两圆外离dR+r 两圆外切d=R+r 两圆相交R-rdR+r（Rr） 两圆内切d=R-r(Rr) 两圆内含0dR-r（Rr） 连心线的性质： 圆是轴对称图形，从上表中可以看出它们都是轴对称图形。沿 O1、O2 所在直线（连心线）对折，发现：两圆相切，直线 O1O2 必过切点；两圆相交，连心线垂直平分它们的公共弦。5.7 正多边形与圆 正多边形概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 性质：正多边形都是对称图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，没条对称轴都通过正
15、 n 边形的中心。一个正多边形如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。 1、 边数相同的正多边形相似。 2、 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 友情提醒：（1）边数相同的正多边形相似，这是解与正多边形有关问题常用到的知识。 （2）任何三角形都有外接圆和内切圆，但只有正三角形的外接圆和内切圆才是同心圆。过正多边形任意三个顶点的圆就是这个正多边形的外接圆。 作正多边形：作半径为 R 的正 n 边形的关键是 n 等分圆。这就要学习两种方法： （1） 用量角器等分圆，可以作任意正多边形，这是近似作法。具
16、体地说先计算出顶点在圆心的角的度数，即正 n 边形的圆心角为，然后依次用量角器将圆等分，顺次连接各分点，就作出正 n 边形。 （2） 用尺规等分圆，作正方形和正六边形。具体地说：先作出两条互相垂直的直径，将圆四等分，顺次连接各分点，就做出正方形；用圆规从圆上一点顺次截取等与半径的弦，将圆六等分，顺次连接各等分点，就作出正六边形。 友情提醒：在作正多边形时，要从圆周上某一点开始连续截取等弧，否则，易产生误差。 5.8 弧长及扇形的面积 圆的周长公式 C=2R，其中 是圆的周长与直径的比值， 称为圆周率。 弧长公式：l=，其中，表示 1的圆心角的倍数，它不带单位，R 为圆的半径，l 为 n的圆心角
17、所对的弧长。 扇形面积公式： 1 条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。圆心角为 n的扇形面积的计算公式为 S 扇形=。 弧长为 l 的扇形面积的计算公式为 S扇形=lR。 公式中的 n 应理解为 1的圆心角的倍数，不带单位，同时要注意与弧长：l=公式进行比较，避免混淆。公式与三角形面积公式相类似，在 S=lR 中，把扇形看成一个曲边三角形，把弧长 l 看作底，R 看作高，这样对比，有助于理解与记忆公式。 5.9 圆锥侧面积和全面积 圆锥的侧面展开： 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长 l=2r。 这个扇形的半径等于圆锥的母线长 l 母线= 这个扇形的圆
18、心角 =360 这个扇形的面积等于圆锥的侧面积 S 侧面积=S 扇形=2rl=rl 圆锥与圆柱的比较 圆柱：由一个矩形旋转得到，如矩形 ADDG 绕直线 AB 旋转一周S 侧=2rh S 全= S 侧+2S 底=2rh+2r2V=r2h圆锥 ：由一个直角三角形旋转得到，如 RtSOA 绕直线 SO 旋转一周S 侧=r S 全= S 侧+S 底=r +r2V=r2h2.直角三角形全等的判定： HL4.等腰梯形的性质和判定5.中位线三角形的中位线梯形的中位线。1.等腰三角形等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定线段的垂直平分线的性质和判定角的平分线的性质和判定3.平行四边形平行四边形的性质和
19、判定：4 个判定定理矩形的性质和判定：3 个判定定理菱形的性质和判定：3 个判定定理正方形的性质和判定：2 个判定定理注意：（1）解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。即需要掌握常作的辅助线。（2）梯形的面积公式： （ -中位线长）lhbaS21九年级数学全册知识点总结 上册 第一章、图形与证明（二）（一）、知识框架(二)知识详解21、等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）22、等边三角形的性质
20、及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60 度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴。判定定理：有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角23、线段的垂直平分线形。（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点 A、B 为
21、圆心，以大于 AB 的一半长为半径作弧，两弧交于点 M、N；作直线 MN，则直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线。24、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。（2）三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（3）如何用尺规作图法作出角平分线25、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）直角三角形全
22、等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）2.6、几种特殊四边形的性质 边 角 对 角 线 平 行 四 边 形 对 边 平 行 且 相 等 对 角 相 等 对 角 线 互 相 平 分 矩 形 对 边 平 行 且 相 等 四 个 角 都 是 直 角 对 角 线 互 相 平 分 且 相 等 菱 形 对 边 平 行 ， 四 条 边都 相 等 对 角 相 等 对 角 线 互 相 垂 直 平 分 ， 每 一 条 对 角线 平 分 一 组 对 角 正 方 形 对 边 平 行 ， 四 条 边都 相 等 四 个 角 都 是 直 角 对 角 线 互 相 垂 直 平 分 且 相 等 ，
23、 每 一条 对 角 线 平 分 一 组 对 角 等 腰 梯 形 两 条 底 边 平 行 ， 两腰 相 等 同 一 底 上 的 两 个角 相 等 对 角 线 相 等 FEDCBA2.7. 几种特殊四边形的判定方法平 行 四 边 形 （ 1） 两 组 对 边 分 别 平 行 （ 2） 两 组 对 边 分 别 相 等 （ 3） 一 组 对 边 平 行 且 相等 （ 4） 两 条 对 角 线 互 相 平 分 （ 5） 两 组 对 角 分 别 相 等矩 形 （ 1） 有 三 个 角 是 直 角 （ 2） 是 平 行 四 边 形 ， 并 且 有 一 个 角 是 直 角 （ 3） 是平 行 四 边 形 ，
24、并 且 两 条 对 角 线 相 等菱 形 （ 1） 四 条 边 都 相 等 （ 2） 是 平 行 四 边 形 ， 并 且 有 一 组 邻 边 相 等 （ 3） 是 平行 四 边 形 ， 并 且 两 条 对 角 线 互 相 垂 直正 方 形 （ 1） 是 矩 形 ， 并 且 有 一 组 邻 边 相 等 （ 2） 是 菱 形 ， 并 且 有 一 个 角 是 直 角等 腰 梯 形 （ ） 是 梯 形 ， 并 且 两 条 腰 相 等 （ ） 是 梯 形 ， 并 且 同 一 底 上 的 两 个 角 相 等（ 3） 是 梯 形 ， 并 且 对 角 线 相 等2.8、三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段
25、叫做三角形的中位线区别三角形的中位线与三角形的中线。三角形中位线的性质三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半2.9、梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。注意：中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。梯形中位线的性质梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。第二章、数据的离散程度（一）知识点复习1、极差：一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。计算公式：极差=最大值-最小值。极差是刻画数据离散程度的一个统计量，可以反映一组数据的变化范围。一般说，极差越小，则说明数据的波动幅度越小。2、 方差各个数据与平均数的差的平均数叫做这组数据的方差，记作 S2。巧用方差公式：
26、1、基本公式：S 2= (X1-Error!)2+(X2-Error!)2+(Xn-Error!)2n2、简化公式：S 2= (X12+X22+Xn2)-nError!2也可写成：S 2= (X12+X22+Xn2)-Error!23、简化：S 2= (X12+X22+Xn2)-nError!2n也可写成: S 2= (X12+X22+Xn2)-Error!2n3、标准差:方差的算术平方根叫做这组数据的标准差,记作 S。S= 221.xxnn意义：1、极差、方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征，常用来比较两组数据的波动大小，我们通常研究的是这组数据的个数相等、平均数相等或比较接近的情况。2、方差较大的波动较大，方差较小的波动较小。3、方差大，标准差就大，方差小，标准差就小。因此标准差同样反映数据的波动大小。注意： 对两组数据来说，极差大的那一组不一定方差大，反过来，方差大的极差也不一定大。第三章、二次根式（一）、知识框架运算概念性质定义：形如： (0)a最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2 ）被开方数中不含能开尽方的因数或因式。 2()(0)(,)0abbaA为 实 数 ）加减法：先将二次根式化成最简的二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。乘法： (0,)abbA除法： ,a混合运算二次根式
