1、1FEA DCB初二数学奥数及答案 1、如图，梯形 ABCD中，ADBC，DEEC，EFAB 交 BC于点 F，EFEC，连结 DF。(1)试说明梯形 ABCD是等腰梯形；(2)若 AD1，BC3，DC ，试判断DCF 的形状；2(3)在条件(2)下，射线 BC上是否存在一点 P，使PCD 是等腰三角形，若存在，请直接写出 PB的长；若不存在，请说明理由。2、在 边 长 为 6 的 菱 形 ABCD 中 ， 动 点 M 从 点 A 出 发 ， 沿 A B C 向 终 点 C 运 动 ， 连 接DM 交 AC 于点 N.（1）如 图 25 1，当点 M 在 AB 边上时，连接 BN.求证：ABN
2、 ADN；若ABC = 60，AM = 4，求点 M 到 AD 的距离；（2）如图 25 2，若ABC = 90，记点 M 运动所经过的路程为 x（6x12）试问：x 为何值时，ADN 为等腰三角形.3、对于点 O、 M，点 M沿 MO的方向运动到 O左转弯继续运动到 N，使 OM ON，且 OM ON，这一过程称为 M点关于 O点完成一次“左转弯运动” 正方形 ABCD和点 P， P点关于 A左转弯运动到 P1， P1关于 B左转弯运动到 P2， P2关于 C左转弯运动到 P3， P3关于 D左转弯运动到 P4， P4关于 A左转弯运动到 P5，（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点 P1
3、的位置；（2）连接 P1A、P 1B，判断 ABP 1与ADP 之间有怎样的关系？并说明理由。(3)以 D为原点、直线 AD为 轴建立直角坐标系，并且已知点 B在第二象限， A、 P两点的y坐标为（0，4） 、 （1，1） ，请你推断： P4、 P2009、 P2010三点的坐标4、 如 图 1和 2， 在 2020的 等 距 网格 （ 每 格 的 宽 和 高 均 是 1个 单 位 长 ）中 ， Rt ABC从 点 A与点 M重合的位置开始，以每秒 1个单位长的速度先向下平移，当 BC边与网的底部重PDCB AON M图 1 图 22合时，继续同样的速度向右平 移 ， 当 点 C 与 点 P
4、重 合 时 ， Rt ABC 停 止 移 动 .设 运 动 时间 为 x秒， QAC的面积为 y.（1）如图 1，当 Rt ABC向下平移到 Rt A1B1C1的位置时，请你在网格中画出 Rt A1B1C1关于直线 QN成轴对称的图形；（2）如图 2，在 Rt ABC向下平移的过程中，请你求出 y与 x的函数关系式，并说明当 x分别取何值时， y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在 Rt ABC向右平移的过程中，请你说明当 x取何值时， y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？5、 如图，ABC 中，AB=AC，B、C 的平分线交于 O 点，过 O 点作 EFB
5、C 交AB、AC 于 E、F (1)图中有几个等腰三角形?猜想： EF 与 BE、CF 之间有怎样的关系，并说明理由(2)如图，若 ABAC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们在第(1)问中 EF 与 BE、 CF 间的关系还存在吗?(3)如图，若ABC 中B 的平分线 BO 与三角形外角平分线 CO 交于 O，过 O 点作OEBC 交 AB 于 E，交 AC 于 F这时图中还有等腰三角形吗?EF 与 BE、CF 关系又如何?说明你的理由。6、 已知，如图，ABC 中，BAC=90，AB=AC,D 为 AC 上一点，且BDC=124，延长 BA 到点 E，使 AE=AD,
6、BD 的延长线交CE 于点 F，求 E 的度数。7、如图，正方形 ABCD的对角线 AC,BD交于点 O，将一三角尺的直角顶点放在点 O处，让其绕点 O旋转，三角尺的直角边与正方形 ABCD的两边交于点 E和 F。通过观察或测量OE,OF的长度，你发现了什么？试说明理由。31、解：（1）证明：EF=EC， EFC=ECF， EFAB， B=EFC，B=ECF，梯形 ABCD 是等腰梯形；（2）DCF 是等腰直角三角形， 证明：DE=EC ，EF=EC，EF= CD，21CDF 是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形） ，梯形 ABCD 是等腰梯形，
7、 CF= （BC-AD）=1， DC= ， 由勾股定理得：212DF=1，DCF 是等腰直角三角形；（3）共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3- ，PB=3+22、证明：（1）四边形 ABCD 是菱形， AB=AD，1=2 又AN=AN， ABNADN解：作 MHDA 交 DA 的延长线于点 H 由 ADBC，得MAH=ABC=60 在 Rt AMH 中， MH=AMsin60=4sin60=2 点 M 到 AD 的距离为 2 33AH=2 DH=6+2=8（2）解：ABC=90， 菱形 ABCD 是正方形 CAD=45 下面分三种情形： （）若 ND=NA，则ADN=NAD=45 此时，
8、点 M 恰好与点 B 重合，得 x=6；（）若 DN=DA，则DNA=DAN=45 此时，点 M 恰好与点 C 重合，得 x=12；（）若 AN=AD=6，则1= 2 ADBC， 1=4，又2=3，3=4 CM=CN AC=6 2 CM=CN=AC-AN=6 2-6故 x=12-CM=12-（6 2-6 ）=18-6 2综上所述：当 x=6 或 12 或 18-6 2 时，ADN 是等腰三角形。3、解：（1）用直尺和圆规作图，作图痕迹清晰；（2）ABP1 ADP，且ABP 1可看成是由ADP 绕点 A 顺时针旋转 90而得理由如下：在ABP1 和ADP 中，由题意：AB=AD ，AP=AP 1
9、，PAD=P 1AB，ABP1 ADP，又ABP 1和 ADP 有公共顶点 A，且PAP 1=90，4ABP 1可看成是由 ADP 绕点 A 顺时针旋转 90而得；（3）点 P（1，1）关于点 A（0，4）左转弯运动到 P1（-3，3） ，点 P1（-3 ，3）关于点 B（-4 ，4）左转弯运动到点 P2（-5，3） ，点 P2（-5 ，3）关于点 C（-4 ，0）左转弯运动到点 P3（-1，1） ，点 P3（-1 ，1）关于点 D（0，0）左转弯运动到点 P4（1，1） ，点 P4（1，1）关于点 A（0，4）左转弯运动到点 P5（-3，3） ，点 P5与点 P1重合，点 P6与点 P2重合
10、， ，点 P2009的坐标为（-3 ，3）点 P2010的坐标为（-5，3） 4、解：（1）如图 1，A 2B2C2是A 1B1C1关于直线 QN 成轴对称的图形；（2）当ABC 以每秒 1 个单位长的速度向下平移 x 秒时（如图 2） ，则有：MA=x，MB=x+4，MQ=20，y=S 梯形 QMBC-SAMQ -SABC= 4+20） （x+4）- 20x- 442121=2x+40（0x16） 由一次函数的性质可知：当 x=0 时，y 取得最小值，且 y 最小=40，当 x=16 时，y 取得最大值，且 y 最大=216+40=72；（3）解法一：当ABC 继续以每秒 1 个单位长的速度
11、向右平移时，此时 16x32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x，y=S 梯形 BAQP-SCPQ -SABC = （4+20） （36-x ）- 20（32-x）- 4422121=-2x+104（16x32） 由一次函数的性质可知：当 x=32 时，y 取得最小值，且 y 最小=-232+104=40；5当 x=16 时，y 取得最大值，且 y 最大=-216+104=72解法二：在ABC 自左向右平移的过程中，QAC 在每一时刻的位置都对应着（2）中QAC 某一时刻的位置，使得这样的两个三角形关于直线 QN 成轴对称因此，根据轴对称的性质，只需考查ABC 在自上
12、至下平移过程中QAC 面积的变化情况，便可以知道ABC 在自左向右平移过程中QAC 面积的变化情况当 x=16 时，y 取得最大值，且 y 最大=72，当 x=32 时，y 取得最小值，且 y 最小=405、解：（1）图中有 5 个等腰三角形，EF=BE+CF， BEOCFO，且这两个三角形均为等腰三角形，可得 EF=EO+FO=BE+CF；（2）还有两个等腰三角形，为BEO、CFO，如下图所示：EFBC ， 2=3，又1=2，1= 3，BEO 为等腰三角形，在CFO 中，同理可证EF=BE+CF 存在（3）有等腰三角形：BEO、CFO，此时 EF=BE-CF，如下图所示：OEBC，5=6，又4=5，4= 6，BEO 是等腰三角形，在CFO 中，同理可证 CFO 是等腰三角形，此时 EF=BE-CF，66、解：在ABD 和ACE 中，AB=AC，DAB=CAE=90AD=AE，ABDACE（SAS） ，E=ADBADB=180- BDC=180-124=56 ，E=567、解：OE=OF证明：正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，OA=OB， OAB=OBE=45，ACBDAOF+ FOB=EOB+FOB=90，AOF= EOB在AOF 和 BOE 中OAB=OBE，OA=OB ，AOF= EOB，AOF BOE （ASA ） OE=OF
