1、1有理数培优题基础训练题一、填空：1、在数轴上表示2 的点到原点的距离等于（ ） 。2、若a=a,则 a（ ）0.3、任何有理数的绝对值都是（ ） 。4、如果 a+b=0,那么 a、b 一定是（ ） 。5、将 0.1 毫米的厚度的纸对折 20 次，列式表示厚度是（ ） 。6、已知 ，则 （ ）|3,|2,|ab7、 的最小值是（ ） 。|x8、在数轴上，点 A、B 分别表示 ，则线段 AB 的中点所表示的数是（ ） 。214，9、若 互为相反数， 互为倒数，P 的绝对值为 3，则 （ ） 。,ab,mn2012abmnpp10、若 abc0，则 的值是（ ） .|abc11、下列有规律排列的一
2、列数：1、 、 、 、 、，其中从左到右第 100 个数是（ 43285） 。二、解答问题：1、已知 x+3=0,|y+5|+4 的值是 4，z 对应的点到-2 对应的点的距离是 7，求 x 、y、 z 这三个数两两之积的和。3、若 的值恒为常数，求 满足的条件及此时常数的值。2|45|13|4xxx4、若 为整数，且 ，试求 的值。,abc201201|abca|cabc25、计算： 21652709314256716、应用拓展：将七只杯子放在桌上，使三只口朝上，四只口朝下。现要求每次翻转其中任意四只，使它们杯口朝向相反，问能否经有限次翻转后，让所有杯子杯口朝下？能力培训题知识点一：数轴例
3、1：已知有理数 在数轴上原点的右方，有理数 在原点的左方，那么（ ）abA B C Dbab0a0a拓广训练：1、如图 为数轴上的两点表示的有理数，在 中，负数的个数有（ ）, ab,2,（“祖冲之杯”邀请赛试题）A1 B2 C3 D43、把满足 中的整数 表示在数轴上，并用不等号连接。5aa2、利用数轴能直观地解释相反数；例 2：如果数轴上点 A 到原点的距离为 3，点 B 到原点的距离为 5，那么 A、B 两点的距离为 。拓广训练：1、在数轴上表示数 的点到原点的距离为 3，则a ._a2、已知数轴上有 A、B 两点，A、B 之间的距离为 1，点 A 与原点 O 的距离为 3，那么所有满足
4、条件的点 B与原点 O 的距离之和等于 。 （北京市“迎春杯”竞赛题）3、利用数轴比较有理数的大小；例 3：已知 且 ，那么有理数 的大小关系是 。 （用“0,baaba,”号连接） （北京市“迎春杯”竞赛题）拓广训练：1、 若 且 ，比较 的大小，并用“ ”号连接。0,nmnmnnm, Oa b3例 4：已知 比较 与 4 的大小 5a拓广训练：1、已知 ，试讨论 与 3 的大小 3aa2、已知两数 ，如果 比 大，试判断 与 的大小ba, ab4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。例 5： 有理数 在数轴上的位置如图所示，式子 化简结果为（ ）cba, cbaA B C D32ccb拓广训练
5、：1、有理数 在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为 cba, caba1。2、已知 ，在数轴上给出关于 的四种情况如图所示，则成立的是 。bab2ba, 3、已知有理数 在数轴上的对应的位置如下图：则 化简后的结果是（ ）cba, bac1（湖北省初中数学竞赛选拨赛试题）A B C D1b12bacba2bc1三、培优训练1、已知是有理数，且 ，那以 的值是（ ）022yxyxA B C 或 D 或2313132、 （07 乐山）如图，数轴上一动点 向左移动 2 个单位长度到达点 ，再向右移动 5 个单位长度到达点AB若点 表示的数为 1，则点 表示的数为（ ）C 733Oab 1c 0
6、a 0 ab 0 ab0 ab Oa b -1 1cOab -1c10A2B5C43、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 1 个单位，点 A、B、C、D 对应的数分别是整数且 ，那么数轴的原点应是（ ）dcba,102aAA 点 BB 点 CC 点 DD 点4、数 所对应的点 A，B，C，D 在数轴上的位置如图所示，那么 与 的大小关系是（ , cadb）A B C D不确定的dbcadbcadbca5、不相等的有理数 在数轴上对应点分别为 A，B，C，若 ，那么点 B（ , ca）A在 A、C 点右边 B在 A、C 点左边 C在 A、C 点之间 D以上均有可能6、设 ，则下面四个结论中
7、正确的是（ ） （全国初中数学联赛题）1xyA 没有最小值 B只一个 使 取最小值xyC有限个 （不止一个）使 取最小值 D有无穷多个 使 取最小值y7、在数轴上，点 A，B 分别表示 和 ，则线段 AB 的中点所表示的数是 。3518、若 ，则使 成立的 的取值范围是 。0,babaxx9、 是有理数，则 的最小值是 。x2191x10、已知 为有理数，在数轴上的位置如图所示：dcba,且 求 的值。,6436 cbada2311、 （南京市中考题）(1)阅读下面材料：点 A、B 在数轴上分别表示实数 ，A、B 两点这间的距离表示为 ，当 A、B 两点中有一点在原点时，ba,不妨设点 A 在
8、原点，如图 1， ；当 A、B 两点都不在原点时，baO如图 2，点 A、B 都在原点的右边 ；ba如图 3，点 A、B 都在原点的左边 ；AB Oabd c B(A)O ob BAO oba BAO obaDA BC 0DA5如图 4，点 A、B 在原点的两边 。babaOBA综上，数轴上 A、B 两点之间的距离 。（2）回答下列问题：数轴上表示 2 和 5 两点之间的距离是 ，数轴上表示-2 和-5 的两点之间的距离是 ，数轴上表示 1 和-3 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 和-1 的两点 A 和 B 之间的距离是 ，如果 ，那么 为 ；x 2ABx当代数式 取最小值时，相应的 的取值
9、范围是 ；2x求 的最小值。19731xxx聚焦绝对值一、阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。去绝对值符号法则： 0aa2、恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看 表示数 的点到原点的距离； 表示数 、数 的两点间的距离。bab3、灵活运用绝对值的基本性质 0a
10、22a0babaBAO abo6 ba二、知识点反馈1、去绝对值符号法则例 1：已知 且 那么 。3,5baabb拓广训练：1、已知 且 ，那么 。 （北京市“迎春杯”竞赛题）,32,cbacba2cba2、若 ，且 ，那么 的值是（ ）5,80A3 或 13 B13 或-13 C3 或-3 D-3 或-132、恰当地运用绝对值的几何意义例 2： 的最小值是（ ）1xA2 B0 C1 D-1解法 1、分类讨论当 时， ；x21xx当 时， ；1x当 时 。1xx比较可知， 的最小值是 2，故选 A。x解法 2、由绝对值的几何意义知 表示数 所对应的点与数 1 所对应的点之间的距离； 表示数1x
11、 1x所对应的点与数-1 所对应的点之间的距离； 的最小值是指 点到 1 与-1 两点距离和的最x x小值。如图易知当 时， 的值最小，最小值是 2 故选 A。11x拓广训练：1、 已知 的最小值是 ， 的最大值为 ，求 的值。23xa3xba x -1x1x7三、培优训练1、如图，有理数 在数轴上的位置如图所示：ba,则在 中，负数共有（ ） （湖北省荆州市竞赛题）4,22, baA3 个 B1 个 C4 个 D2 个2、若 是有理数，则 一定是（ ）mmA零 B非负数 C正数 D负数3、如果 ，那么 的取值范围是（ ）02xxA B C D2x4、 是有理数，如果 ，那么对于结论（1） 一
12、定不是负数；（2） 可能是负数，其中ba, baab（ ） （第 15 届江苏省竞赛题）A只有（1）正确 B只有（2）正确 C （1） （2）都正确 D （1） （2）都不正确5、已知 ，则化简 所得的结果为（ ）a21aA B C D36、已知 ，那么 的最大值等于（ ）40A1 B5 C8 D97、已知 都不等于零，且 ，根据 的不同取值， 有（ ）cba, abcaxc,xA唯一确定的值 B3 种不同的值 C4 种不同的值 D8 种不同的值8、满足 成立的条件是（ ） （湖北省黄冈市竞赛题）A B C D0ab1ab01ab9、若 ，则代数式 的值为 。52xxx2510、若 ，则 的值
13、等于 。0abab11、已知 是非零有理数，且 ，求 的值。c, 0,abcabc-10 a-2 b1812、已知 是有理数， ，且 ，求 的值。dcba, 16,9dcba 25dcbacdab13、阅读下列材料并解决有关问题：我们知道 ，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式0xx时，可令 和 ，分别求得 （称 分别为 与21102x2,1x,11x的零点值） 。在有理数范围内，零点值 和 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下x3 种情况：（1）当 时，原式= ;121xx（2）当 时，原式= ；2x3（3）当 时，原式= 。x综上讨论，原式=2123xx通过以上
14、阅读，请你解决以下问题：（1） 分别求出 和 的零点值；（2）化简代数式4 42x14、 （1）当 取何值时， 有最小值？这个最小值是多少？（2）当 取何值时， 有最大值？x3x x25x这个最大值是多少？（3）求 的最小值。 （4）求 的最小值。54 987915、某公共汽车运营线路 AB 段上有 A、D、C、B 四个汽车站，如图，现在要在 AB 段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求 A，B，C，D 四个汽车站到加油站 M 的路程总和最小，试分析加油站 M在何处选址最好？16、先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的 台机床在工作，我们要设置一个零件供应站 P，使
15、这 台机床到供应1n n站 P 的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图，如果直线上有 2 台机床（甲、乙）时,很明显 P 设在 和 之间的任何地方都行,因为甲和乙分1A2别到 P 的距离之和等于 到 的距离.1A如图,如果直线上有 3 台机床(甲、乙、丙)时，不难判断，P 设在中间一台机床 处最合适，因为如果2AP 放在 处，甲和丙分别到 P 的距离之和恰好为 到 的距离；而如果 P 放在别处，例如 D 处，那么2 1A3甲和丙分别到 P 的距离之和仍是 到 的距离，可是乙还得走从 到 D 近段距离，这是多出来的，因13 2此 P 放在 处是最佳选择。不难知道，如果直
16、线上有 4 台机床，P 应设在第 2 台与第 3 台之间的任何地2A方；有 5 台机床，P 应设在第 3 台位置。问题（1）：有 机床时，P 应设在何处？n问题（2）根据问题（1）的结论，求 的最小值。617321xxxCBA1 A2 丙丙P A3（PA12 丙D丙10有理数的运算一、阅读与思考在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数” ，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的 符号演算 。数学竞
17、赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。二、知识点反馈1、利用运算律：加法运算律 乘法运算律cba加 法 结 合 律加 法 交 换 律 acb乘 法 分 配 律乘 法 结 合 律乘 法 交 换 律例 1：计算： 3275.23452解：原式= 15.7.645.647.6. 拓广训练：1、计算（1） （2）129.015208. 476413594例 2：计算： 50249解：原式= 498250211 拓广训练：1、 计算： 5143254322、裂项相消
