1、30第三章 多维随机变量及其分布1.一 在一箱子里装有 12 只开关，其中 2 只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样， （2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y 如下： 若 第 一 次 取 出 的 是 次 品若 第 一 次 取 出 的 是 正 品,1,0X若 第 二 次 取 出 的 是 次 品若 第 二 次 取 出 的 是 正 品, ,Y试分别就（1） （2）两种情况，写出 X 和 Y 的联合分布律。解：（1）放回抽样情况由于每次取物是独立的。由独立性定义知。P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j)P (X=0, Y=0 )= 36251P (X
2、=0, Y=1 )= P (X=1, Y=0 )= 3652P (X=1, Y=1 )= 1或写成XY 0 10 36253651（2）不放回抽样的情况P X=0, Y=0 = 645192P X=0, Y=1 = 031P X=1, Y=0 = 6102P X=1, Y=1 = 或写成XY 0 10 645601 13.二 盒子里装有 3 只黑球，2 只红球，2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到白球的只数，求 X，Y 的联合分布律。XY 0 1 2 30 0 0 51 0 3632 550解：（X，Y）的可能取值为( i, j)，i =0，1，2，3
3、， j=0，12，i + j2，联合分布律为P X=0, Y=2 = 35472CP X=1, Y=1 = 64721P X=1, Y=2 = 3547123CP X=2, Y=0 = 4723P X=2, Y=1 = 3514723C32P X=2, Y=2 = 35472CP X=3, Y=0 = 4712P X=3, Y=1 = 354712CP X=3, Y=2 =05.三 设随机变量（X ，Y）概率密度为 其 它,042,)6(),( yxykyxf（1）确定常数 k。 （2）求 P X0 时，由和的概率公式知 zyzzxz edeyfff 6)()(30)( 0,6)(3zzf（2
4、）设 z 表示前两周需要量，其概率密度为 0,6)(3zezfz设 表示第三周需要量，其概率密度为： 0,)(xexfz 与 相互独立37= z + 表示前三周需要量则：0， 当 u0 时 uyuedeyfff120)(6()(5)3所以 的概率密度为 0)(5ueuf22.二十二 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，20 ）分布。随机地选取 4 只求其中没有一只寿命小于 180 小时的概率。2解：设 X1，X 2，X 3，X 4 为 4 只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为： 20)16(2)(tTetf8413.0)20618(26)0()8(10121
5、82查 表令 dueut dttFXfX设 N=minX1，X 2，X 3，X 4P N180=P X1180, X2180, X3180, X4180=P X1804=1pX180 4= (0.1587)4=0.0006327.二十八 设随机变量（X，Y）的分布律为38XY 0 1 2 3 4 5012300.010.010.010.010.020.030.020.030.040.050.040.050.050.050.060.070.060.050.060.090.080.060.05（1）求 P X=2|Y=2，P Y=3| X=0（2）求 V=max (X, Y )的分布律（3）求 U
6、 = min (X, Y )的分布律解：（1）由条件概率公式P X=2|Y=2= 2,P= 08.5.0.5.03.1= 25.同理 P Y=3|X=0=（2）变量 V=maxX, Y 显然 V 是一随机变量，其取值为 V：0 1 2 3 4 5P V=0=P X=0 Y=0=0P V=1=P X=1，Y=0+ P X=1，Y=1+ P X=0，Y=1=0.01+0.02+0.01=0.04P V=2=P X=2，Y=0+ P X=2，Y=1+ P X=2，Y=2+P Y=2, X=0+ P Y=2, X=1=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16P V=3=P X=3，Y
7、=0+ P X=3，Y=1+ P X=3，Y=2+ P X=3，Y=3+P Y=3, X=0+ P Y=3, X=1+ P Y=3, X=2=0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28P V=4=P X=4，Y=0+ P X=4，Y=1+ P X=4，Y=2+ P X=4，Y=3=0.07+0.06+0.05+0.06=0.24P V=5=P X=5，Y=0+ + P X=5，Y= 339=0.09+0.08+0.06+0.05=0.28（3）显然 U 的取值为 0，1， 2，3P U=0=P X=0，Y= 0+ P X=0，Y=3+ P Y= 0，X=1+
8、 + P Y=0，X=5=0.28同理 P U=1=0.30 P U=2=0.25 P U=3=0.17或缩写成表格形式（2） V 0 1 2 3 4 5Pk 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28（3） U 0 1 2 3Pk 0.28 0.30 0.25 0.17（4）W= V+U 显然 W 的取值为 0，1，8PW=0=PV=0 U=0=0PW=1=PV=0, U=1+PV=1U=0 V=maxX，Y=0 又 U=minX，Y=1 不可能上式中的 PV=0，U=1=0，又 PV=1 U=0=PX=1 Y=0+PX=0 Y=1=0.2故 PW=1=PV=0, U=1+PV=1
9、，U =0=0.2PW=2=PV+U=2= PV=2, U=0+ PV=1，U=1= PX=2 Y=0+ PX=0 Y=2+PX=1 Y=1=0.03+0.01+0.02=0.06PW=3=PV+U=3= PV=3, U=0+ PV=2，U=1= PX=3 Y=0+ PX=0，Y=3+PX= 2，Y= 1+ PX=1，Y=2 =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13PW=4= PV=4, U=0+ PV=3，U =1+PV=2，U=2=PX=4 Y=0+ PX=3，Y=1+PX= 1，Y= 3+ PX=2，Y=2 =0.19PW=5= PV+U=5=PV=5, U=0+ PV=5，U=1+PV=3，U =2 =PX=5 Y=0+ PX=5，Y=1+PX=3，Y=2+ P X=2，Y= 3 =0.24
