1、 概率论计算与证明题 46第二章 条件概率与统计独立性1、字母 M，A，X，A，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序 MAAM 的概率是多少？2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。3、若 M 件产品中包含 m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。4、袋中有 a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回） ，试分别求出三人各自取得白球的概率（ ） 。35、从0
2、，1，2，9中随机地取出两个数字，求其和大于 10 的概率。6、甲袋中有 a 只白球，b 只黑球，乙袋中有 吸白球， 吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？7、设的 N 个袋子，每个袋子中将有 a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？8、投硬币 n 回，第一回出正面的概率为 c，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为 p，求第 n 回时出正面的概率，并讨论当 时的情况。n9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入
3、另一袋中，这样进行了若干次。以 pn，qn，rn 分别记在第 n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出 pn+1，qn+1 ，rn+1 用 pn，qn，rn 表出的关系式，利用它们求 pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当n时的情况。10、设一个家庭中有 n 个小孩的概率为 ,0,1npan这里 。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭pap/)1(0,有 个男孩的概率为 。)1(k 1)2(kk11、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率；（2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。12、已知产品中 9
4、6%是合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为 0.05，求在简化方法检查下，合格品的一个产品确实是合格品的概率。概率论计算与证明题 4713、设 A，B，C 三事件相互独立，求证 皆与 C 独立。BA,14、若 A，B，C 相互独立，则 亦相互独立。CBA,15、证明：事件 相互独立的充要条件是下列 2n 个等式成立：n,21，)()()(2121 nnAPP 其中 取 或 。iAii16、若 A 与 B 独立，证明 中任何一个事件与 中任何一个事件是相互独立的。,A,B17、对同一目标进行三次独立射击，第一，二，三次射击的命中
5、概率分别为 0.4，0.5，0.7，试求（1）在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率；（2）至少有一次命中目标的概率。18、设 相互独立，而 ，试求：（1）所有事件全不发生的概率；（2）诸事件n,21 kpP)(中至少发生其一的概率；（3）恰好发生其一的概率。19、当元件 k 或元件 或 都发生故障时电路断开，元件 k 发生故障的概率等于 0.3，而元件 k1，k212k发生故障的概率各为.2，求电路断开的概率。20、说明“重复独立试验中，小概率事件必然发生”的确切意思。21、在第一台车床上制造一级品零件的概率等于 0.7，而在第二台车床上制造此种零件的概率等于 0.8，第一台车床制造了两个
6、零件，第二台制造了三个零件，求所有零件均为一级品的概率。22、掷硬币出现正面的概率为 p，掷了 n 次，求下列概率：（1）至少出现一次正面；（2）至少出现两次正面。23、甲，乙，丙三人进行某项比赛，设三个胜每局的概率相等，比赛规定先胜三局者为整场比赛的优胜者，若甲胜了第一，三局，乙胜了第二局，问丙成为整场比赛优胜者的概率是多少？24、甲，乙均有 n 个硬币，全部掷完后分别计算掷出的正面数相等的概率。25、在贝努里试验中，事件 A 出现的概率为 p，求在 n 次独立试验中事件 A 出现奇数次的概率。26、在贝努里试验中，若 A 出现的概率为 p，求在出现 m 次 A 之前出现 k 次 A 的概率
7、。27、甲袋中有 只白球和一只黑球，乙袋中有 N 只白球，每次从甲，乙两袋中分别取出一只球并交1N换放入另一袋中去，这样经过了 n 次，问黑球出现在甲袋中的概率是多少？并讨论 n时的情况。28、某交往式计算机有 20 个终端，这些终端被各单位独立操作，使用率各为 0.7，求有 10 个或更多个终端同时操作的概率。29、设每次射击打中目标的概率等于 0.001，如果射击 5000 次，试求打中两弹或两弹以上的概率。概率论计算与证明题 4830、假定人在一年 365 日中的任一日出生的概率是一样的，在 50 个人的单位中有两面三刀个以上的人生于元旦的概率是多少？31、一本 500 页的书，共有 5
8、00 个错字，每个字等可能地出现在每一页上，试求在给定的一页上至少有三个错字的概率。32、某疫苗中所含细菌数服从普阿松分布，每 1 毫升中平均含有一个细菌，把这种疫苗放入 5 只试管中，每试管放 2 毫升，试求：（1）5 只试管中都有细菌的概率；（2）至少有 3 只试管中有细菌的概率。33、通过某交叉路口的汽车可看作普阿松过程，若在一分钟内没有车的概率为 0.2，求在 2 分钟内有多于一车的概率。34、若每蚕产 n 个卵的概率服从普阿松分布，参数为 ，而每个卵变为成虫的概率为 p，且各卵是否变为成虫彼此间没有关系，求每蚕养出 k 只小蚕的概率。35、某车间宣称自己产品的合格率超过 99%，检验
9、售货员从该车间的 10000 件产品中抽查了 100 件，发现有两件次品，能否据此断定该车间谎报合格率？36、在人群中男人患色盲的占 5%，女人患色盲的占 0.25%，今任取一人后检查发现是一个色盲患者，问它是男人的概率有多大?37、四种种子混在一起，所占的比例是甲：乙：丙：丁=15：20：30：35，各种种子不同的发芽率是： 2%，3%，4%，5%，已从这批种子中任送一粒观察 ,结果未发芽，问它是甲类种子的概率是多少?38、对同一目标由 3 名射手独立射击的命中率是 0.4、0.5,和 0.7，求三人同时各射一以子弹而没有一发中靶的概率?39、有两个袋子，每个袋子装有 a 只黑球，b 只白球
10、，从第一个中任取一球放入第二个袋中，然后从第二个袋中取出一黑球的概率是多少？40、已知产品中 96%是合格的，现有一种简单的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为 0.05，求此简化法检查下为合格品的一个产品确实是合格品的概率。41、某射手用 三支枪各向靶射一发子弹，假设三支枪中靶的概率分别为 ，结果恰有,ABC 0.4,3.5两弹中靶，问 枪射中的概率为多少?42、已知产品中 96%是合格的，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为 0.05,求此简化法检查下为合格品的一个产品确实是合格品的概
11、率。43、设第一个盒子中有两个白球和一个黑球，第二个盒中有三个白球和一个黑球，第三个盒子中有两个白球和两个黑球。此三个盒子外形相同，某人任取一个盒子，再从中任取一个球，求他取得白球的概率。44、用血清蛋白的方法诊断肝癌，令 “被检查者患有肝癌” ， “判断被检查者患有肝癌”。设CA现有一个人诊断患有肝癌，求他确有肝癌的概率。()0.4, (/)0.95,(/)0.9,PCAP概率论计算与证明题 4945、一批零件共 100 个，次品有 10 个。每次从其中任取 1 个零件，菜取 3 次，取出后不放回。示第 3次才取得合格品的概率。46、10 个零件中有 3 个次品，7 个合格品，每次从其中任取
12、 1 个零件，共取 3 次，取后不放回。求：（1）这 3 次都抽不到合格品的概率；（2）这 3 次至少有 1 次抽到合格品的概率。47、一批产品中有 15%的次品。进行独立重复抽样检查，问取出的 20 个样品中最大可能的次品数是多少？并求其概率。48、一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布。求（1）每分钟恰有 6 次呼唤的概率；（2）每分钟呼唤次数不超过 10 的概率。49、有一汽车站有大量汽车通过，设每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为 0.0001。在某天该段时间内有 1000 辆汽车通过，求事故次数不少于的概率。50、某商店出售某种贵重物品，根据以往的经验，每月销售量 服
13、从参数 的泊松分布。问在月X4初进货时，要库存多少件才能以 99。2%的概率充分满足顾客的需要？51、从某厂产品中任取 200 件，检查结果发现其中有 4 件废品。我们能否认为该产品的废品率不超过0.005？52、若 是三个独立的事件，则 亦是独立的。,ABCABC.53、设 P(A)0，若 A 与 B 相互独立,则 P(B| =P(B)。)54、若 相互独立，则 和 及 与 亦独立。, -55、设 P(A)0, P(B)0， 证明 A 和 B 相互独立与 A 和 B 互不相容不能同时成立。56、求证：如果 ，则 。(|)(P(|)(P57、证明：若事件 与事件 相互独立，则事件 与事件 相互
14、独立。58、设 A，B，C 三事件相互独立，求证 皆与 C 独立。BA,59、若 A，B，C 相互独立，则 亦相互独立。CBA,60、若 A 与 B 独立，证明 中任何一个事件与 中任何一个事件是相互独立的。,第二章 解答概率论计算与证明题 501、解：自左往右数，排第 i 个字母的事件为 Ai，则，42)(,52)(11PA 21)(,31)(3423 APP。1234所以题中欲求的概率为 12345123412312154321)( APAAPAP 3012452、解：总场合数为 23=8。设 A=三个孩子中有一女，B=三个孩子中至少有一男 ，A 的有利场合数为7，AB 的有利场合为 6，
15、所以题中欲求的概率 P（B|A）为.768/)(AB3、解：（1）M 件产品中有 m 件废品， 件正品。设 A=两件有一件是废品，B=两件都是废品，M显然 ，则 ， BA21/)(mCAP2/)(MmCBP题中欲求的概率为.)(/)(/)|( AB12/)21 MmM（2）设 A=两件中有一件不是废品，B=两件中恰有一件废品 ，显然 ，则 AB.,/)( 212MmMCCAP 21/)(mCP题中欲求的概率为.)(/)(/)|( ABAPB 12/)212 mMmM（3）P 取出的两件中至少有一件废品= .)(/21Cm4、解：A=甲取出一球为白球，B=甲取出一球后，乙取出一球为白球 ，C=甲
16、，乙各取出一球后，丙取出一球为白球。则 甲取出的球可为白球或黑球，利用全概率公式得)()baAP概率论计算与证明题 51)|()|()( ABPAPB bababa111， 乙取球的情况共有四种，由全概率公式得 )|()|()|()|()( BACPBACPCC21)(2)1)( bababab )1)(1)( .baba)2)(1)(5、解：设 B=两数之和大于 10，A i=第一个数取到 i， 。则 ，9,10i 10)(iAP;5,32,/)(|(,0)|()|(10 iiBPABPi ,9/2|jBj。由全概率公式得欲求的概率为9,876j.90 356041)|()(i iiA6、解
17、：设 A1=从甲袋中取出 2 只白球，A 2=从甲袋中取出一只白球一只黑球，A 3=从甲袋中取出 2只黑球，B=从乙袋中取出 2 只白球。则由全概率公式得 )(|()|()|() 321 APBPBPBP.222 CcCccbabaBAa7、解：A 1=从第一袋中取出一球是黑球，A i=从第一袋中取一球放入第二袋中，再从第袋中取一球放入第 i 袋中，最后从第 i 袋中取一球是黑球 ， 。则i Ni,1.)(),)(11 baAPbaAP概率论计算与证明题 52一般设 ，则 ，得)()baAPk)()baAPk.)()|(|(111 baAPkkkkk 由数学归纳法得 .)()baAPN8、解：
18、设 Ai=第 i 回出正面，记 ，则由题意利用全概率公式得)(iip)(|()|)( 111 iiiiiii APAPAP。2(1ppp已知 ，依次令 可得递推关系式cpi,2,1ni),()2(1pPnn,)1()(21 ppPn.22 cp解得 ,)12()12()1()(1)( 2 nnn pcppP当 时利用等比数列求和公式得1p（*）11)2()(2)( nnn pcp .)12()12(nnpcp（1）若 ，则 ；Cnnlim,（2）若 ，则当 时， ；当 时， 。0p12kcpkn2cpn1若 ，则1cli,nn若 ，则 不存在。2npclim,（3）若 ，则由（*）式可得10p
19、概率论计算与证明题 53.21)2()12(limli nnnn pcpp9、解：令 分别表示第 i 次交换后，甲袋中有两只白球，一白一黑，两黑球的事件，则由全概iiCBA,率公式得 )|()|()|()( 11111 nnnnnnnn CAPBAPAPPp ，nnqrq4040 )|()|()|()( 11111 nnnnnnnn BPBPABPBPq ，,22nnnrqprqp )|()|()|()( 11111 nnnnnnnn CPBCPACPPr .nnqrqp4040这里有 ，又 ，所以 ，同理有 ，再由1nr11nn 112nnpnnpq21得 。所以可得递推关系式为nqp41
20、)2(4pp，112)(4nnnpqr初始条件是甲袋一白一黑，乙袋一白一黑，即 ，由递推关系式得1,00qrnnn ppr214)1(41 1148)24(nnpp 212)1()(2023nnp概率论计算与证明题 54，211 13)(62)(6 nnnn.1111)(3 nnnnpq.2lim,6lilimnnnqr10、解：设 An=家庭中有 n 个孩子，n=0,1,2,，B=家庭中有 k 个男孩 。注意到生男孩与生女孩是等可能的，由二项分布 得)21(p .2121)|( nknknCCABP由全概率公式得（其中 ） knnkn apBP21)|()( 0112ikkpakni012i
21、kCpa .)(11kp11、解：（1）设 A=至少有一男孩，B=至少有 2 个男孩 。 ，由 得 BA, 1)2(0p,)1(2)(12)()(11 papapAPkk ,22221 )1()(2)()( papapBPkk .APBA)()(|(概率论计算与证明题 55（2）C=家中无女孩= 家中无小孩，或家中有 n 个小孩且都是男孩，n 是任意正整数，则12)(anpCP )2(1321papapA1=家中正好有一个男孩=家中只有一个小孩且是男孩 ，则 ，且apAP21)(1，C1所以在家中没有女孩的条件下，正好有一个男孩的条件概率为.)()()|(111CPAAP )32(1)(322papa12、解：设 A=产品确为合格品，B=检查后判为合格品 。已知 ，98.0)|(ABP，求 。由贝叶斯公式得96.0)(5.)|(APBP一 )|(BAP)|()|(|)(| ABP.970428.05.498.0613、证：（1） )()(BCAPBAP)()()(ABCPP，)()()() 与 C 独立。BA（2） )()()( CPABPPAB 与 C 独立。
