1、1江西省南昌市第三次模拟测试卷文科数学一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 所以 于是 所以。故选 D2. 已知 ， 是虚数单位，若 ， ，则 为（ ）A. 或 B. C. D. 不存在的实数【答案】A详解：由题得 ，故 ，故选 A.点睛：考查共轭复数的定义和复数的四则运算，属于基础题.3. “ ”是“关于 的方程 有解”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分
2、析：先求出 得 ，而 s 有解可得 即可.详解：由题得 得 ，s 有解可得 ，故可得“ ”是“关于 的方程有解”的充分不必要条件，故选 A.点睛：考查逻辑关系，能正确求解前后的结论，然后根据定义判断是解题关键，属于基础题.4. 已知函数 ，那么函数 的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B2【解析】分析：先求出分段函数的每段所在范围的值域，然后两段值域求并集即可.详解： 的值域为 ，y= 的值域为： 故函数 的值域为 ，选 B点睛：考查分段函数的值域求法，明白先求出分段函数的每段所在范围的值域，然后两段值域求并集是关键，属于基础题.5. 在平面直角坐标系中，已知双曲线 与双曲线 有公共
3、的渐近线，且经过点 ，则双曲线的焦距为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：双曲线 C 与双曲线 x2 =1 有公共的渐近线，因此设本题中的双曲线 C 的方程 x2 =，再代入点 P 的坐标即可得到双曲线 C 的方程然后求解焦距即可详解：双曲线 C 与双曲线 x2 =1 有公共的渐近线，设本题中的双曲线 C 的方程 x2 =，因为经过点 ，所以 4-1=，解之得 =3，故双曲线方程为 故焦距为： ，选 D.点睛：本题给出与已知双曲线共渐近线的双曲线经过某个已知点，求该双曲线的方程，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质，属于基本知识的考查6. 执行如图所示的程序框图，若输出的
4、 ，则判断框内应填入的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A3【解析】S0，k 1，k 2，S2，否；k3， S7，否；k4，S18，否；k5，S41，否；k6，S88，是所以条件为 k5，故选 B.7. 已知 ，则 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：可以先比较同底的对数大小，再结合中间值 1,进行比较即可.详解： , 故 ，选 D.点睛：考查对数函数的基本性质和运算公式，比较大小通常先比较同底的然后借助中间值判断不同底的即可.属于基础题.8. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 ，则 外接圆的半径为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析
5、：求出线段 OP，OQ 的中垂线所在直线方程，联立方程求得圆心坐标，即可求得则POQ 外接圆的半径详解：k OP=3，kOQ=-1，线段 OP，OQ 的中点分别为 ，线段 OP，OQ 的中垂线所在直线方程分别为 联立方程可得圆心坐标 ，所以半径为 ，故选 A.点睛：本题考查了三角形外心的求解，属于中档题9. 将函数 的图象上所有点的横坐标压缩为原来的 ，纵坐标保持不变，得到 图象，若，且 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先得出变化后的表达式 然后若 ，且 ，则取到两次最大值即可得出结论.详解：由题得 ，若 ，且 ，则 取到两次最大值，令 ，要使 ， 最大，
6、故令 k=1，k=-2 即可，故 的最大值为 ，选 C4点睛：考查三角函数的伸缩变化和最值，明白 取到两次最大值，是解题关键.10. 某几何的三视图如图所示，其中主视图由矩形和等腰直角三角形组成，左视图由半个圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图知几何体的上半部分是半圆柱，圆柱底面半径为 1，高为 2，其表面积为： ，下半部分为正四棱锥，底面棱长为 2，斜高为 ，其表面积： ，所以该几何体的表面积为本题选择 A 选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三
7、视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和11. 为培养学生分组合作能力，现将某班分成 三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组，某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在 组中的那位的成绩与甲不一样，在 组中的那位的成绩比丙低，在 组中的那位成绩比乙低.若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是（ ）A. 甲、丙、乙 B. 乙、甲、丙 C. 乙、丙、甲 D. 丙、乙、甲【答案】C【解析】因为在
8、 组中的那位的成绩与甲不一样，在 组中的那位的成绩比乙低所以甲、乙都不在 B 组，5所以丙在 B 组. 假设甲在 A 组，乙在 C 组，由题得甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲.假设甲在 C 组，乙在 A 组，由题得矛盾，所以排序正确的是乙、丙、甲.故选 C.12. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，以 为圆心的圆与双曲线 在第一象限交于点 ，直线 恰与圆 相切于点 ，与双曲线左支交于点 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 ,在三角形 中，在直角三角形 中，故选 B.点睛：本题的关键是寻找关于离心率的方程，一个方程是 中的勾股定理
9、，另外一个是直角三角形中勾股定理，把两个方程结合起来就能得到离心率的方程.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 中国数学家刘徽在九章算术注中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.意思是“圆内接正多边形的边数无限增多的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”.如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的概率_【答案】【解析】分析：根据几何概型的概率公式分别求出正六边形的面积和圆的面积即可详解：设圆心为 O，圆的半径为 1，则正六边形的面积 S= 则对应的概率 P= ，6故答案为 .点睛：
10、本题主要考查几何概型的概率的计算，根据定义求出相应的面积是解决本题的关键14. 已知函数 的图象在点 处的切线过点 ，则 _【答案】1【解析】分析：求得函数 f（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得 a 的值详解：函数 f（x）=ex-x2的导数为 f（x）=ex-2x，函数 f（x）=ex-x2的图象在点（1，f（1） ）处的切线的斜率为 e-2，切点为（1，e-1） ，由切线过点（0， a） ，可得：e-2= 得 a=1，故答案为：1点睛：本题考查导数的几何意义，考查两点的斜率公式，以及方程思想和运算能力，属于基础题15. 已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为 _【答
11、案】【解析】分析：根据向量的投影和向量的坐标运算即可求出详解：因为向量 ， ， =（-1，-1）， 在 方向上的投影为 故答案为点睛：本题考查了向量的投影和向量的坐标运算，属于基础题请在此填写本题解析!16. 现某小型服装厂锁边车间有锁边工 名，杂工 名，有 台电脑机，每台电脑机每天可给 件衣服锁边；有 台普通机，每台普通机每天可给 件衣服锁边.如果一天至少有 件衣服需要锁边，用电脑机每台需配锁边工 名，杂工 名，用普通机每台需要配锁边工 名，杂工 名，用电脑机给一件衣服锁边可获利 元，用普通机给一件锁边可获利 元，则该服装厂锁边车间一天最多可获利_元【答案】780【解析】分析：设每天安排电脑
12、机和普通机各 x，y 台，则一天可获利 z=128x+106y=96x+60y，线性约束条件，画出可行域，利用目标函数的几何意义求解即可7学#科#网.学#科#网.学# 科# 网.学# 科#网.学#科#网.学#科#网.学#科#网.点睛：本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域以及目标函数的最值是解题的关键三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 的各项均为正数，且 .（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（1）由 得 ，解得 或 ，又数列an的各项均为正数，可
13、得 an（2）利用错位相减法求解即可.详解：（1）由 得 ，所以 或 ，又因为数列 的各项均为正数，负值舍去所以 .（2）由 ，8所以 由-得：所以 .点睛：考查数列通项的求法和利用错位相减法求和，能正确分解因式递推式求得通项是解题关键.18. 如图，多面体 中， 为正方形， ，,且 .（1）证明：平面 平面 ；（2）求三棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】分析：（1）证明面面垂直可通过证明线面垂直得到，证 A 平面 即可， （2）由已知，连接 交 于 ，作 于 ，由等体积法： ，进而可得出结论.（1）证明： ，由勾股定理得：又正方形 中 ，且 平面 ，又 面 ，平面 平面（2
14、）由已知 ，连接 交 于作 于 ，则又由（1）知平面 平面 ，平面 平面 ，面 ，得 面9由 ，知四边形 为平行四边形，即 ，而 ，进而又由 ，所以，三棱锥 的体积 .点睛：考查面面垂直、几何体体积，能正确分析线条关系，利用等体积法转化求体积是解题关键.19. 十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售.为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了 个蜜柚进行测重，其质量分布在区间 内（单位：克） ，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在 的蜜柚中
15、随机抽取 个，再从这 个蜜柚中随机抽个，求这 个蜜柚质量均小于 克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有 个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：所有蜜柚均以 元/千克收购；低于 克的蜜柚以 元/个收购，高于或等于 的以 元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】分析：（）由题得蜜柚质量在1750，2000）和2000，2250）的比例为 2：3，应分别在质量为1750，2000），2000，2250）的蜜柚中各抽取 2 个和 3 个记抽取质量在1750，2000）的蜜柚为 A1，A
16、2，质10量在2000，2250）的蜜柚为 B1，B2，B3，则从这 5 个蜜柚中随机抽取 2 个，利用列举法能求出这 2 个蜜柚质量均小于 2000 克的概率（）由频率分布直方图可知，蜜柚质量在1500，1750）的频率为 0.1，蜜柚质量在1750，2000），2000，2250），2500，2750），2750，3000）的频率依次为 0.1，0.15，0.4，0.2，0.05若按 A 方案收购：根据题意各段蜜柚个数依次为 500，500，750，2000，1000，250，求出总收益为 457500（元） ；若按 B 方案收购：收益为 175060+325080=2502073+134=365000 元方案 A 的收益比方案 B 的收益高，应该选择方案 A详解：（1）由题得蜜柚质量在 和 的比例为 ，应分别在质量为 的蜜柚中各抽取 个和 个.记抽取质量在 的蜜柚为 ，质量在 的蜜柚为 ，则从这个蜜柚中随机抽取个的情况共有以下 种：其中质量小于 克的仅有 这 种情况，故所求概率为 .（2）方案 好，理由如下：由频率分布直方图可知，蜜柚质量在 的频率为同理，蜜柚质量在 的频率依次为若按方案 收购：根据题意各段蜜柚个数依次为于是总收益为（元）若按方案 收购：蜜柚质量低于 克的个数为蜜柚质量低于 克的个数为收益为 元方案 的收益比方案 的收益高，应该选择方案 .
