1、集合与函数课时提升训练（13）1、已知集合 ，若集合 ，且对任意的 ，存在 ，使得 （其中），则称集合 为集合 的一个 元基底.（）分别判断下列集合 是否为集合 的一个二元基底，并说明理由； ， ； ， .（）若集合 是集合 的一个 元基底，证明： ；（）若集合 为集合 的一个 元基底，求出 的最小可能值，并写出当 取最小值时 的一个基底 .2、若集合 具有以下性质： ， ；若 ，则 ，且 时，.则称集合 是“好集”.（）分别判断集合 ，有理数集 是否是“好集”，并说明理由；（）设集合 是“好集”，求证：若 ，则 ；（）对任意的一个“好集” ， 分别判断下面命题的真假，并说明理由.命题 ：若
2、，则必有 ；命题 ：若 ，且 ，则必有 ；3、若 为集合 且 的子集，且满足两个条件： ；对任意的 ，至少存在一个 ，使或 . 则称集合组 具有性质 .如图，作 行 列数表，定义数表中的第 行第 列的数为 .（）当 时，判断下列两个集合组是否具有性质 ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组 1： ；集合组 2： .（）当 时，若集合组 具有性质 ，请先画出所对应的 行 3 列的一个数表，再依此表格分别写出集合 ；（）当 时，集合组 是具有性质且所含集合个数最小的集合组，求 的值及 的最小值.（其中 表示集合 所含元素的个数）4、已知函数 在区间 上为增函数，且 。（1）当 时，
3、求 的值；（2）当 最小时，求 的值； 若是 图象上的两点，且存在实数 使得，证明： 。 5、（本小题满分 14 分）对于函数 和 ，若存在常数 ，对于任意 ，不等式 都成立，则称直线 是函数 的分界线. 已知函数 为自然对数的底， 为常数）.()讨论函数 的单调性；()设 ，试探究函数 与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.6、设 a，b，c 为实数，f（x）=（x+a） 记集合S= 若 ， 分别为集合元素 S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是A =1 且 =0 B C =2 且 =2 D =2 且 =3 7、设 ，已知函数 的定义域是 ，值域是 ，若函
4、数g(x)=2x-1 +m+1 有唯一的零点，则 （ ）A2 B C1 D0 8、已知函数 ，在定义域 -2，2上表 示的曲线过原点，且在x1 处的切线斜率均为 有以下命题： 是奇函数；若 在 内递减，则 的最大值为 4； 的最大值为 ，最小值为 ，则 ； 若对， 恒成立，则 的最大值为 2其中正确命题的个数为 A .1 个 B. 2 个 C .3 个 D. 4 个 11、设函数 的最大值为 ，最小值为 ，那么 . 12、（本小题满 分 14 分）已知函数 （）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（）若 恒成立，求实数 的取值范围；（）当 时，试比较 与 的大小关系13、对于实数 ， 称
5、为取整函数或高斯函数，亦即 是不超过 的最大整数.例如：.直角坐标平面 内，若 满足 ，则 的取值范围1、解：（） 不是 的一个二元基底.理由是 ； 是 的一个二元基底. 理由是 ，. （）不妨设 ，则形如 的正整数共有 个；形如 的正整数共有 个；形如 的正整数至多有 个；形如 的正整数至多有 个.又集合 含 个不同的正整数， 为集合 的一个 元基底.故 ，即 .（）由（）可知 ，所以 .当 时， ，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *假设 为 的一个 4 元基底，不妨设 ，则 .当 时，有 ，这时 或 .如果 ，则由，与结 论*矛盾.如果 ，则 或 .易知 和 都不是 的 4 元基底
6、，矛盾.当时，有 ，这时 ， ，易知 不是的 4 元基底，矛盾.当 时，有 ，这时 ， ，易知 不是 的 4 元基底，矛盾.当 时，有 ， ，易知 不是 的 4 元基底，矛盾.当时，有 ， ， ，易知 不是 的4 元基底，矛盾.当 时，有 ， ， ，易知 不是的 4 元基底，矛 盾.当 时，有 ， ， ，易知不是 的 4 元基底，矛盾.当 时， 均不可能是的 4 元基底.当 时， 的一个基底 ；或3,7,8,9,10；或4,7,8,9,10等，只要写出一个即可.综上， 的最小可能值为 5. 2、解：（）集合 不是“好集”. 理由是：假设集合 是“好集”. 因为 ，所以 . 这与 矛盾. 有理数
7、集 是“好集”. 因为 ，,对任意的 ，有 ，且 时， .所以有理数集 是“好集”.（）因为集合 是“好集”，所以 .若 ，则 ，即 .所以，即 . （）命题 均为真命题. 理由如下： 对任意一个“好集” ，任取 ， 若 中有 0 或 1 时，显然 .下设 均不为 0，1 . 由定义可知： .所以 ，即 .所以 . 由（）可得：，即 . 同理可得 .若 或 ，则显然.若 且 ，则 .所以 .所以 由（）可得： .所以 .综上可知， ，即命题 为真命题.若 ，且 ，则 .所 以 ，即命题 为真命题. 3、（）解：集合组 1 具有性质 . 所对应的数表为：集合组 2 不具有性质 . 因为存在 ，有
8、，与对任意的 ，都至少存在一个 ，有 或 矛盾，所以集合组不具有性质 . （ 注：表格中的 7 行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）（）设 所对应的数表为数表 ，因为集合组 为具有性质 的集合组，所以集合组 满足条件和，由条件： ，可得对任意 ，都存在 有 ，所以 ，即第 行不全为 0，所以由条件可知数表 中任意一行不全为 0. 由条件知，对任意的 ，都至少存在一个 ，使 或 ，所以 一定是一个 1 一个 0，即第 行与第 行的第 列的两个数一定不同.所以由条件可得数表 中任意两行不完全相同. 因为由 所构成的 元有序数组共有个，去掉全是 的 元有序数组，共有 个，又因数表 中
9、任意两行都不完全相同，所以 ，所以 .又 时，由 所构成的 元有序数组共有 个，去掉全是 的数组，共 个，选择其中的 个数组构造 行 列数表，则数表对应的集合组满足条件，即具有性质 .所以 . 因为 等于表格中数字 1 的个数，所以，要使 取得最小值，只需使表中 1 的个数尽可能少，而 时，在数表 中，的个数为 的行最多 行； 的个数为 的行最多 行； 的个数为 的行最多行；的个数为 的行最多 行；因为上述共有 行，所以还有 行各有 个 ，所以此时表格中最少有 个 .所以的最小值为 . 4、解： 。（1）当 时，由 ，得 或 ，所以 在 上为增函数，在 ， 上为减函数，由题意知，且 。因为 ，
10、所以 ，可知 。 （2） 因为， 当且仅当 时等号成立。由 ，有 ，得 ；由 ，有 ，得 ；故 取得最小值时， ， 。此时， ， 由 知，欲证 ，先比较 与 的大小。因为 ，所以 ，有，于是 ，即 ，另一方面，因为 ，所以，从而 ，即 。14 分同理可证 ，因此。 5、（本小题满分 14 分）解：（1） ， 当 时，即 ，函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数；当 时，函数 是区间 上的增函数 当 时，即 ，函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数.（2）若存在，则 恒成立，令 ，则 ，所以， 因此： 恒成立，即 恒成立，由得到： ，现在只要判断 是否恒成立，设 ，因为：，当 时， ， ，当 时， ，所以 ，即 恒成立，所以函数 与函数存在“分界线”. 6、D 7、C 8、B 11、 4021 12、解：（）由 ，解得 或 ， 函数的定义域为 当 时， 在定义域上是奇函数。 （）由 时，恒成立， 在 成立 令， ，由二次函数的性质可知 时函数单调递增， 时函数单调递减， 时， （） =证法一：设函数 , 则 时，即 在 上递减，所以 ，故在 成立，则当 时, 成立.证法二：构造函数， 当 时， 在 单调递减，当 （ ）时， 13、（1,5）10,20）
