1、合工大数字信号处理习题答案第 2 章习 题2.1 用单位脉冲序列 及其加权和表示题 1 图所示的序列。)(n2.1 )1()(24)( nnnx 6245.0)3)(22.2 请画出下列离散信号的波形。（1） )(2nu（2） （3） )1(nu（4） 5答案略2.3 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。（1） ， 是常数；)873cos()(nAnxA（2） 。)81(je2.3 （1） ，所以周期为 14。340（2） ，是无理数，所以 是非周期的。60)(nx2.4 设系统分别用下面的差分方程描述， 与 分别表示系统输入和输出，判断系统)(y是否是线性非时变的。（1） )
2、()0nxy（2） 2（3） )si()(xy（4） )(ne2.4 （1）由于 )0xT)()()(0mnynxmxT所以是时不变系统。 )()()()()()( 21020121 nbyabxaba 所以是线性系统。（2） ，所以是时不变系统。)()()(2mnyxmnxT，所以是非线性系统。)()( 212121 nbyabxaba （3） ，所以不是时不变系统。()si()( yxx，所以是线性系)()()sin( 212121 yxnnT 统。（4） ，所以是非线性)()()()( 21)()()(21 2121 nbaeebxa nbxanbxa 系统。，所以是时不变系统。)()(
3、)(mymnTnx2.5 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（1） )1()(y（2） 0nx（3） )(ey（4） 0)()(nkx2.5 （1）该系统是非因果系统，因为 时刻的输出还和 时刻以后（ 时间）的输入有关。nn)1(n如果 ，则 ，因此系统是稳定系统。Mnx|)(| Mxy2|)1(|)|(| （2）当 时，系统是非因果系统，因为 时刻的输出还和 时刻以后的输入有关。0当 时，系统是因果系统。如果 ，则 ，因此系统是稳定系统。0nx|)(| ny|)(|（3）系统是因果系统，因为 时刻的输出不取决于 的未来值。如果 ，则)(xMnx|)(|，因此系
4、统是稳定系统。Mnxxeeny)|()(|（4）系统是非因果系统，因为 时刻的输出还和 的未来值有关。如果 ，n)(nxMnx|)(|则， 因此系统是稳定系统。Mkxnynk|12|)(|)(| 002.6 以下序列是系统的单位冲激响应 ，试说明该系统是否是因果、稳定的。)(nh（1） )(2)(uhn（2） （3） )()n（4） 12uh2.6 （1）当 时， ，所以系统是因果的。0)(h由于210|)(|n所以系统不稳定。（2）当 时， ，所以系统是非因果的。)(h由于22|)(| 210 n所以系统稳定。（3）当 时， ，所以系统是非因果的。0)(h由于1|)(|n所以系统稳定。（4）
5、当 时， ，所以系统是因果的。0)(h由于 221|)(|n所以系统不稳定。2.7 设线性时不变系统的单位脉冲响应 和输入序列 如题 2.7 图所示，试求输出 )(nh)(nx。)(ny2.7)(2(5.0)1()2)()( nxnxh )5()4(2)3(5.4)()().)()(2501 nn 2.8 设线性时不变系统的单位冲激响应 和输入 分别有以下三种情况，分别求出nhx输出 。)(y（1） ，)(3nRh)(3x（2） ，4 )2n（3） ，)(5.0)(un(5Rx2.8（1） )()()( 3nhxy )4()3(2)(3)1(2) )4()3()2(32133 3 nnn nn
6、RR （2） ( 4hxy )5()()1() )5()4()3()2(3244 nn nnR （3） 5.0( 5uhxny )4(5.0)3(.0)2(.)1(.)(5.0 4 nunununn2.9 确定下列信号的最低采样率与奈奎斯特采样间隔。（1） )(tSa（2） 02（3） )50()1(tStaa2.9 若要确定奈奎斯特采样间隔，必须先求出信号频谱的最高频率。（1）抽样函数对应于门函数： ，其中 为门函数的宽度。)2/()(aSEtG由傅立叶变换的对称性知： )()/(ta由题可知， 。因此，此信号的最高频率是 100 弧度/秒。20因此， 1sf即， ，ssT（2）信号为两个抽
7、样函数的乘积，因此频谱应为两个抽样函数频谱的卷积。由卷积积分的结果来确定信号频谱的范围。通过上一题目可知， 信号的最高频率为 100 弧度/秒，因此相卷积后的最高频率)10(tSa是 200 弧度/秒。，20sfsT（3）由傅立叶变换的线性，总信号的频谱为两个信号频谱的叠加，然后确定最高频率。，1sfs2.10 设系统由下面差分方程描述： )1(2)1(2)( nxny设系统是因果的， （1）求该系统的单位脉冲响应。（2）利用卷积和求输入 的响应。)()(uexnj2.10 （1）x(n)=(n),因为 y(n)=h(n)=0,n0所以 h(0)=0.5y(-1)+x(0)+0.5x(-1)=
8、1h(1)=0.5y(0)+x(1)+0.5x(0)=1h(2)=0.5y(1)+x(2)+0.5x(1)=0.5.h(n)=0.5y(n-1)+x(n)+0.5x(n-1)=0.5n-1所以 h(n)= 0.5n-1u(n-1)+(n)（2）y(n)=x(n)*h(n)= 0.5 n-1u(n-1)+(n)* ejwnu(n)= 0.5n-1u(n-1)* ejwnu(n)+ ejwnu(n)= ejwn-0.5n/ (ejw-0.5)u(n-1)+ ejwnu(n)2.11 有一理想抽样系统，抽样频率为 ，经理想低通滤波器 还原，其中6s )(jHa3|,021)(jHa今有两个输入， ，
9、 。输出信号 、 有无ttxacos)(1 ttxa5cos)(2 )(1tya2ta失真？为什么？2.11 根据奈奎斯特定理：因为 ，而频谱中最高角频率 ，所以 无失真。ttxa2cos)(1 261a )(1tya因为 ，而频谱中最高角频率 ，所以 失真。52 5222.12 有一连续信号 ，式中 Hz，)2cos()fttxa 0f(1) 求出 的周期；(2) 用采样间隔 对 进行采样，试写出采样信号 的表达式。sT0.)(txa )(txa2.12 （1） fa5.（2） )()2cos()()()( nTtfnTtxtxtnaTa nt)()40cos(第 3 章习 题3.1 求下列
10、序列的 变换，并标明收敛域。z（1） )4()nx（2） 21u（3） )()(nnx（4） ，1（5） )(5.0)(nux（6） )(2.0)(nunx答案：3.1解（1）由 变换的定义可知，z，4)()(znXn0（2） ，10221)(21)( zzuz nnn |（3） nnnnzzX 1)()(，112zznn |（4）1)(nzX由于 ，121 1)()(nn zzdz |则 zXll)(而 的收敛域和 的收敛域相同，所以 的收敛域为 。z)(X)(zX1|z（5）由于 5.01(.15.0)( nunux所以 ，.50.1zz|z（6）利用 )()(11nxZTdX由于 2.0
11、)(1z所以 ，221 ).0().0()zzdX .0|z3.2 已知 ，分别求：21523)(z（1）收敛域为 对应的原序列 ；2|5.0z)(nx（2）收敛域 对应的原序列 。|3.2 21253253)(21 zzzzX（1） )1()()(nunxn（2） )(21)(n3.3 已知序列 的傅立叶变换为 ，试求下列序列的傅立叶变换。x()jXe（1） )()0n（2） x（3） )(（4） 2(nxnx（5） )(1)(3.3 （1） 0jnj jXee（2） 2()()jj（3） 3jje（4）由于 DTFT =)(nx)(jeXR2)(4jjjjweX（5）因为 ，所以()()j
12、 jnnxenjnjdeX)(即 deXjnxDTFj)()(同理 22)()(exj而 )()()(1)(225 nxnxn52j jj jdXedeeX3.4 设题 3.4 图所示的序列 的傅立叶变换用 表示，不直接求出 ，完成)(nx()je()jXe下列运算：（1） )(0jeX（2） dj（3） )(je（4） Xj2|题 3.4 图（西电，丁玉美，P64，题 5 图）3.4 （1） 6)()()(00 njnj xexe（2） 2dXj4)0()(xej（3） 2121)( nnnjj （4） 8|)(|2|)(| 2nj xdeX3.5 用留数定理法分别求以下 的 反变换：zX（1） ， ；214)(zX|（2） ， ，1)(z4|3.5 （1） 1214)(zzX，设 为 内的逆时针方向的闭合曲线。djnxnc1)(c2|当 时，0nnzz211在 内有 一个单极点，则cz)(21,21Re)( nusnxn又由于 是因果序列，故 时， 。所以)(0)(xnunx（2） ，设 为 内的逆时针方向的闭合曲线。dzXjc1)()(c41|z当 时， 在 外有一个单极点 ，则0n1nznsx)4(7,)(Re)(当 时， 在 内有一个单极点 ，则1nzXc0z80,)(e)(snx当 ， 在 内有没有极点，则01nzc)(x综上所述， )1()47(8)nun
