1、第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律3-1 设有一群粒子按速率分布如下：粒子数 Ni 2 4 6 8 2速率 Vi（m/s） 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00试求(1)平均速率 V；（2）方均根速率 （3）最可几速率 Vp2V解：（1）平均速率：(m/s)18.328640.5.40.0.1 (2) 方均根速率(m/s)37.22iNV3-2 计算 300K 时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。解： smRTP /3951032.82V/464.83smRT/8102.8332 3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为 100K、1000K 和 10
2、000K。解： 代入数据则分别为：RTVP2T=100K 时 sm/108.2T=1000K 时 P7T=10000K 时 sV/2.33-4 某种气体分子在温度 T1时的方均根速率等于温度 T2时的平均速率，求T2/T1。解：因 RV3228RV由题意得：RT328T 2/T1=3-5 求 0时 1.0cm3氮气中速率在 500m/s 到 501m/s 之间的分子数（在计算中可将 dv 近似地取为v=1m/s）解：设 1.0cm3氮气中分子数为 N，速率在 500501m/s 之间内的分子数为N，由麦氏速率分布律： N= VeKTmVKTm223)(4 V p2= ，代入上式2KTmN=Vp
3、peN214因 500 到 501 相差很小，故在该速率区间取分子速率 V =500m/s，又 V=1m/ssmVP /40212873.（ =1.24）代入计算得：N=1.8610 3 N 个vvp3-6 设氮气的温度为 300，求速率在 3000m/s 到 3010m/s 之间的分子数N 1与速率在 1500m/s 到 1510m/s 之间的分子数N 2之比。解： 取分子速率为 V1=3000m/sV2=1500m/s, V 1=V 2=10m/s由 5 题计算过程可得：V 1= 1214VppeNN 2= 221VppV N/N 2= 2121)(1)(21()pppVpe其中 VP=
4、m/s33108.210257.8=1.375， =0.687v1vp v2vp 96.0687.0352687.0235121 eN解法 2：若考虑V 1=V 2=10m/s 比较大，可不用近似法，用积分法求N1，N 2dN=dVpPe234N 1= 122 00VNN 2= 3443 VVVddN令 Xi= i=1、2、3、4 利用 16 题结果:vivp 2)(0 ii xiV exerfNd N 1= （1）2)(2)( 2121xxi erfNf N 2= （）2)(2)( 232434 xx exerfNexerfN 其中 VP= smRT/108.3375.11Px 79.2PV
5、x68.03PV6.04P查误差函数表得：erf(x1)=0.9482 erf(x2)=0.9489erf(x3)=0.6687 erf(x4)=0.6722将数字代入（） 、 （）计算，再求得：70.21N3-7 试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率：（1） 速率在区间 vp1.0v p1 内（2） 速度分量 vx在区间 vp1.0v p1 内（3） 速度分量 vp、v p、v p同时在区间 vp1.0v p1 内解：设气体分子总数为 N，在三种情况下的分子数分别为N 1、N 2、N 3（1） 由麦氏速率分布律： N= 1221 00VVVdd令 v2=1.01vp，v i=vp，
6、 ，则 ， ，利用 16piivx11pvx01.2pvx题结果可得； 212121 )()( xx eerfxerfN 查误差函数表：erf（x 1）=0.8427 erf（x 2）=0.8468 08.1（2） 由麦氏速率分布律： xvpxdeNd21 xvpxvp deNpxpx 2122 )(0)(012 )()()()(e 2020 12 pxpxvpxpxv vvdNpp令 ， ，pxv11pv.2p dxedxeNxx 212002 利用误差函数： dxpexerfx)(2)(20%21.0847.6.021)()(22rfrfN（3）令 ，由麦氏速度分布律得：pxvzyxvpd
7、veNdpzyx23318332 3001.)2.()( 212edx3-8 根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以 dN/dv 为纵坐标，v 为横坐标，作 1 摩尔氧气在 100K 和 400K 时的分子速率分布曲线。解：由麦氏速率分布律得：223)(4veKTmNdvKTm将 =3.14，N=N A=6.021023T=100Km=3210-3代入上式得到常数：A= eKTmNA23)(4KTmB （1）2VdvB为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论：由麦氏速率分布律我们知道，单位速率区间分布的分子数随速率的变化，必然在最可几速率处取极大值，极大值为：令 则2VAedvN
8、yB 0)(22 BVeV得 BP1又在 V=0 时，y=0，V时，y0又 mKTVP1112mKTBVP2221T 1=100KT 2=400K 由此作出草图P3-9 根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值 。v1解： VKTmeVKTmdKTVemdvfvTmVKm42)()( )2(4)2(102230230 3-10 一容器的器壁上开有一直径为 0.20mm 的小圆孔，容器贮有 100的水银，容器外被抽成真空，已知水银在此温度下的蒸汽压为 0.28mmHg。（1） 求容器内水银蒸汽分子的平均速率。（2） 每小时有多少克水银从小孔逸出？解：（1） )/(1098. 1024.3378
9、2smRTV（2）逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸出的分子数为： tsVnN4其中 是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数， 是小KTPVn14 2)(ds孔面积，t=3600s，故 ，代入数据得：tsT41N=4.051019（个） )(1035. 105.4102.6293gNmMA 3-11 如图 3-11，一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强，分子数密度分别为 p1、n 1、p 2、n 2。两部分气体的温度相同，都等于 T。摩尔质量也相同，均为 。试证明：如隔板上有一面积为 A 的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为：)(221PARTM证明：设 p1p 2，通过小孔
10、的分子数相当于和面积为 A 的器壁碰撞的分子数。从 1 跑到 2 的分子数： tVnN114从 2 跑到 1 的分子数： 22实际通过小孔的分子数：（从 1 转移到 2）)21(4nAtN因 t=1 秒， ，KTPnRTV8T1=T2=T )(284)(41212121PARTKTPmnM若 P2P 1，则 M0，表示分子实际是从 2 向 1 转移。3-12 有 N 个粒子，其速率分布函数为 )()(0vCdvf)0(1)作速率分布曲线。(2)由 N 和 v0求常数 C。(3)求粒子的平均速率。解：（1） )0()(vfv得速率分布曲线如图示（2） 1)(0dvf 0c即 10cv0v（3）
11、020 1)(vcdf3-13 N 个假想的气体分子，其速率分布如图 3-13 所示（当 vv 0时，粒子数为零） 。 （1）由 N 和 V0求 a。（2）求速率在 1.5V0到 2.0V0之间的分子数。（3） 求分子的平均速率。解：由图得分子的速率分布函数：( )Va0 0V( )N002f(v)= ( )(1) dvVfd) aVaVadvdNV0020 2231( 0003a(2) 速率在 1.5V0到 2.0V0之间的分子数3321)5.(025.12. 00NVaadVdfNV3-14 证明：麦克斯韦速率分布函数可以写作：)(2xFdN其中 pvmKTp224)(xexF证明： dxeNvdevKTmNdvfdpvvpKTp2232223224)()(4 )(22xFxdx3-15 设气体分子的总数为 N，试证明速度的 x 分量大于某一给定值 vx的分子数为： )(12xerfNxv（提示：速度的 x 分量在 0 到 之间的分子数为 ）2N证明：由于速度的 x 分量在区间 vxv x +dvx内的分子数为：xvpxdedNv21故在 vx 范围内的分子数为：
