1、 空间向量复习第 1 页空间向量知识点归纳总结知识要点。1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示 奎 屯王 新 敞新 疆 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图） 。; ;OBAabBAOab()PaR运算律：加法交换律： 加法结合律： )()(cc数乘分配律：3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， 平行于 ，记作 。aba/
2、当我们说向量 、 共线（或 / ）时，表示 、 的有向线段所在的直线可能是ab同一直线，也可能是平行直线。（2）共线向量定理：空间任意两个向量 、 （ ） ， / 存在实数 ，使0 。ab4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量 不共线， 与向量 共面的条件是存在实,abp,ab数 使 。,xypayb5. 空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个,cp唯一的有序实数组 ，使 。,xzpxaybz若三向量 不共面，我们把 叫做空间的一个基底， 叫做基向量，空abc,
3、abc间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设 是不共面的四点，则对空间任一点 ，都存在唯一的三个有序实,OABCP数 ，使 。,xyzPxyzO6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标：空间向量复习第 2 页在空间直角坐标系 中，对空间任一点 ，存在唯一的有序实数组 ，OxyzA(,)xyz使 ，有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标，zkyixOA(,) O记作 ， 叫横坐标， 叫纵坐标， 叫竖坐标。(,) z （ 2） 若 空 间 的 一 个 基 底 的 三 个 基 向 量 互 相 垂 直 ， 且 长 为 ， 这 个 基 底 叫 单 位 正 交
4、 基 底 ，1用 表 示 。,ijk（3）空间向量的直角坐标运算律：若 ， ，则 ，123(,)a123(,)b123(,)abab， ， ba 23,)R，123， 123/,()R。20ab若 ， ，则 。1(,)Axyz2(,)Bxyz2121,)ABxyz一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（4）模长公式：若 ， ，123(,)a123(,)b则 ，2|a 213| b（5）夹角公式： 。2221313cos|a（6）两点间的距离公式：若 ， ，1(,)Axyz(,)Bxyz则 ，22221| ()AB或 ,2111()()dxz7. 空间
5、向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量 ，在空间任取一点 ，作,abO，则 叫做向量 与 的夹角，记作 ；且规定,OAaBbAOa,，显然有 ；若 ，则称 与 互相垂直，记作：0,b,2b。（2）向量的模：设 ，则有向线段 的长度叫做向量 的长度或模，记作：aOAa。|a（3）向量的数量积：已知向量 ，则 叫做 的数量积，记,b|cos,ab,空间向量复习第 3 页作 ，即 。ab|cos,ab（4）空间向量数量积的性质： 。 。 。|,ee 0ab2|a（5）空间向量数量积运算律： 。 （交换律） 。()()()ab （分配律） 。cc（6）：空间向量的坐标运算：1.向量
6、的直角坐标运算设 ， 则a123(,)b123(,)(1) ； (2) ；abab123(,)ab(3) (R)； (4) ；123, 2.设 A ，B ，则 = .1(,)xyz(,)xyzABO2121,xyz3、设 ， ，则1ar2br； .bP0abr0r121204.夹角公式 设 ， ，则a3(,)b3(,).123221cos,a5异面直线所成角= .s|,|abr1212| |xyzr6平面外一点 到平面 的距离p已知 为平面 的一条斜线， 为平面 的一个法ABn向量， 到平面 的距离为： |ABd【典型例题】例 1. 已知平行六面体 ABCD ，化简下列向量表达式，标出化简结果
7、的向DC量。 ； ； ABCAB ； 。12D()3A例 2. 对空间任一点 和不共线的三点 ，问满足向量式： O,BC（其中 ）的四点 是否共面？ PxAyBz1xyz,PABCAn G MCBA DDA BC 空间向量复习第 4 页例 3. 已知空间四边形 ，其对角线 ， 分别是对边 的中点，OABC,BAC,MN,OABC点 在线段 上，且 ，用基底向量 表示GMN2GNO向量 。例 4. 如图，在空间四边形 中， ， ， ， ，AB86AB45B， ，求 与 的夹角的余弦值。45OAC60BC说明：由图形知向量的夹角易出错，如 易错写成 ，,135OAC,45OAC切记！例 5. 长方
8、体 中， ， 为 与 的交点， 为1ABCD4BE1BDF与 的交点，又 ，求长方体的高 。1BCFE1空间向量与立体几何练习题一、选择题1.如图，棱长为 的正方体 在空间直角坐标21ABCD系中，若 分别是 中点，则 的坐标为（ ）,EF,EFA. B.(1)(,2)C. D.,212如图， ABCDA1B1C1D1是正方体， B1E1 D1F1 ，则 BE14A与 DF1所成角的余弦值是（ ）A B752C D833.在四棱锥 中，底面 是正方形， 为 中点，PACEPD若 ， ， ， 则 （ ）AaBbcB yx z F EC1D1 CD(O) B1A1A B图图O 空间向量复习第 5
9、页A. B.12abc12abcC. D.33二、填空题4.若点 , ,且 ,则点 的坐标为_.(123)A(7)B0ACB5在正方体 中，直线 与平面 夹角的余弦值为_.1CDD1AC三、解答题1、在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, AB 1与底面 ABCD 所成的角为 ，4（1）求证 （2）求二面角 的正切值1面 B2在三棱锥 中，PABC3, , , 是 中点,点 在 上,且 ,4面 90DPAEBC2E(1)求证： ；(2)求直线 与 夹角 的余弦值；(3)求点DEC到平面 的距离 的值.Ed3在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是一直角梯形， BAD=90，AD BC，
10、 AB=BC=a， AD=2a，且 PA底面 ABCD， PD 与底面成 30角（1）若 AE PD， E 为垂足，求证： BE PD；（2）求异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值4、已知棱长为 1 的正方体 AC1，E、F 分别是 B1C1、C 1D 的中点 （1）求证：E、F、D、 B 共面；（2）求点 A1到平面的 BDEF 的距离；（3）求直线 A1D 与平面 BDEF 所成的角DA CBPE空间向量复习第 6 页75、已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，点 E 为棱 AB 的中点，求：（） D1E 与平面 BC1D 所成角的大小；（）二面角 D BC1 C 的大小
11、；【模拟试题】1. 已知空间四边形 ，连结 ，设 分别是 的中点，化简下列ABCD,B,MG,BCD各表达式，并标出化简结果向量：（1） ； （2） ； A1()A（3） 。1()2G2. 已知平行四边形 ABCD，从平面 外一点 引向量。ACO。 （1）求证：四点 共面；,OEkAFBOGkHD,EFGH（2）平面 平面 。C/E3. 如图正方体 中， ，1ABD1114BFAB求 与 所成角的余弦。1EF4. 已知空间三点 A（0，2， 3） ，B（2，1，6） ，C（1，1，5） 。求以向量 为一组邻边的平行四边形的面积 S；,C若向量 分别与向量 垂直，且| | ，求向量 的坐标。a,
12、a3a5.已知平行六面体 中， ，ABCD4,3,5,90ABDABD，求 的长。608参考答案1. 解：如图， （1） ；ABCDA（2） 。1()2BCD；MG（3） 。()MG2. 解：（1）证明：四边形 是平行四边形， ，AABD ，EO()()(kCkkCBDOFEHFH 共面；,G（2）解： ，又 ，()EkBAkEGkAC 。/,/AC所以，平面 平面 。3. 解：不妨设正方体棱长为 ，建立空间直角坐标系 ，1Oxyz则 ， ， ， ，(1,0)B3(,)4E(0,)D1(0,)4F ， ，1F ，174。50()16BED9。1516cos, 74BEDF4. 分析： 1(2,3)(,2)cos2|ABCAACBAC60， |sin6073SB设 （x，y，z） ，则a ,axyz22320,|Cz解得 xyz1 或 xyz 1， （1，1，1）或 （1，1，1） 。a5. 解： 22|()ADA2|BBAD 243543cos9045cos60235cos6016918所以， 。|C
