1、奥林匹克数学竞赛试题（几何部分）Mathematics Olympic test(geometric part)1. 已知在梯形 ABCD中，ADBC，B=40，C=50，点 E,F,M,N分别为四条边的中点，求证：BC=EF+MN.【简单】2. 已知在平行四边形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O，P 为平行四边形 ABCD外一点，且APC=BPD=90，求证：平行四边形 ABCD为矩形.【简单】3.已知在三角形 ABC中，AB=AC，CDAB 于 D，P 为 BC上一点，PEAB 于 E，PFAC 于 F.求证：PE+PF=CD.【简单】4.已知在等腰三角形 ABC中，AB=AC
2、，CDAB，AHFH，EFAB，求证：EF=CD+FH.【简单】5.已知三角形 ABC和三角形 BDE都是等腰直角三角形，连结 AD，延长 CE交 AD与 F,求证：CFAD.【简单】6.已知三角形 ABC和三角形 BDE都是正三角形，连结 AD交 BE于F，连结 CE交 AB于 G，连结 FG，求证：FGCD.【简单】7.已知三角形 ABC为正三角形，内取一点 P，向三边作垂线，交 AB于 D，BC 于 E,AC于 F，求证：PD+PE+PF=三角形的高.【简单】8.已知三角形 ABC为正三角形，AD 为高，取三角形外一点 P，向三边（或边的延长线）作垂线，交 AB的延长线 AE于 M，交
3、AC的延长线 AF于 N，交 BC于 Q，求证：PM+PN-PQ=AD.【中等】9.已知在矩形 ABCD中，对角线 AC,BD相交于 O，DE 平分ADC 交 AC于 F，若BDE=15，求COE 的度数.【中等】10.已知三角形 ABC是直角三角形，BAC=90，ADBC，AE 平分CAD，BF 平分ABC，交 AD于 G，交 AE于 H，连结 EG,求证：EGAC.【中等】11.已知三角形 ABC和三角形 BDE都是正三角形，连结 AE,CD,取 AE的中点 N，取 CD的中点 M，连结 BM,BN,MN.求证：三角形 BMN是等边三角形.【中等】12.已知在正方形 ABCD中，作对角线
4、AC的平行线 EG，作 BC=CH，连结 BE，延长 HG交 BE于 F，连结 CF，求证：BC=CF.【中等】13.已知在直角梯形 ABCD中，ADBC，AD=3，BC=5，将腰 CD绕点 D逆时针旋转 90至 DE，连结 AE，求三角形 ADE的面积.【中等】14.已知在任意四边形 ABCD中，AB=CD，P,Q,R 分别为 AD,BC,BD的中点，ABD=25，BDC=65，求PQR 的度数.【中等】15.已知在梯形 ABCD中，ADBC，E 为 AB的中点，求证：S 三角形CDE=S 三角形 ADE+S 三角形 BCE.【较难】16.已知矩形 ABCD，在 CD的延长线上取一点 E，在
5、 BC的延长线上取一点 F，使得DAE=DAF,AF 和 CD交于 G,求证：S 矩形 ABCD=S三角形 AEF.【较难】17.已知在等腰直角三角形 ABC中，BAC=90，AD=AE，AFBE 交BC于 F，过 F作 FGCD 交 BE的延长线于 G， 求证：BG=AF+FG.【很难】【提示：过 C点作 AC的垂线，延长 AF，交垂线于 H.】18.已知在正九边形 ABCDEFGHI中，连结 AE，AE=1,求 AH+AI 的长.【很难】【提示：延长 AH使 HK=HG，连结 KG.】19.已知正方形 ABCD内有一点 P，且 PB：PC：PD=3：2：1，求证：CPD=135.【超难】【提示：过 C作 PC的垂线 CP，使 CP=CP.】20.已知在任意四边形 ABCD中，点 E,F分别将 AD,BC分成 m：n 两部分，AF 和 BE交于 P，CE 和 DF交于 Q，求证：S 四边形 EPFQ=S 三角形 CDQ+S 三角形 ABP.【超难】
