1、第七章 微分方程测试题 A 卷一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）1、 方程 的通解是 21ydxe2、 方程 的通解是 ()3、 以 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为 221,xxy4、 已知方程 的积分曲线在点 处与直线 相切，则该积分曲线的方0(0,)Oyx程为 5、 方程 的一个只含有 的积分因子为 xdyx二、选择题（每小题 4 分，共 20 分）1、若 是方程 的两个特解，要使 12, ()()yPQ012y也是解，则 与 应满足的关系是 （A） （B） （C） （D） .2122、下列方程中为全微分方程的是 （A） ； （B） ；2()()0xydxyd2()()0xy
2、dxyd（C） ； （D） .22(1)ee2()()3、设 为实常数，方程 的通解是 20yy（A） （B） 12xe 12cosinCx（C） （D） .2(cosin)Cx ()e4、方程 的特解 形式为 sxye*y（A） （B）csxae cosinxxaebe（C） （D） 22osinxbe25、已知 ，则函数 的表达式为 0()xyetd()yx（A） （B） x xe（C） （D） .xye(1)xye三、解答题（共 60 分）1、 （8 分）求方程 的通解.(1)(23)0dxd2、 （6 分）求方程 的通解.2yx3、 （8 分）求微分方程 的通解.2()()yxee4、
3、 （10 分）求解 .231,0,y 5、 （6 分）求方程 的通解.(4)6、 （10 分）求方程 的通解.23yx7、 （12 分）求满足条件 且具有二阶连续导数的函数 ，使方程(0)1,()ff ()fx是全微分方程.并求出全微分方程经过点 的3()sin2fxydxdy ,1一条积分曲线.第七章 微分方程测试题 B 卷一、填空题（每小题 5 分，共 25 分）1、微分方程 的通解是 .260dyx2、微分方程 的通解是 .3295dyx3、微分方程 的通解为 .1yx4、微分方程 得通解是 .230d5、微分方程 的待定系数法确定的特解形式（不必求出系数）21xye是 .二、选择题（每
4、小题 5 分，共 25 分）1、函数 （其中 是任意常数）是微分方程 的 21xcye12, 20dyx（A）通解； （B）特解； （C）不是解； （D）是解，但不是通解，也不是特解. 2、微分方程 （ 为整数） nyPxQy（A）当 或 1 时为伯努利方程； （B）当 或 1 时为伯努利方程；0n0n（C）当 或 1 时为线性方程； （D）为全微分方程.3、函数 的图形上点 的切线为 ，且 满足微分yx0,236xyx6yx则此函数为 （A） （B） 322（C） （D） .60yx3yx4、方程 的一个特解应具有形式为 1cos3xye（A） ； （B） ；cos3inxeabcos3si
5、nxxaebe（C） ； （D） .x5、 特解形式为 268xye（A） （B） xab2xxaeb（C） （D） .2xe三、解答题（共 50 分）1.（10 分）求微分方程 的通解.ln1lnyx2、 （10 分）验证 为全微分方程，并求其通解.2332(64)(6)0xdydx3、 （10 分）求微分方程 的通解.2yx4、 （10 分）求微分方程 的通解.05、 （10 分）求方程 的通解.(4)2yy综合测试题 A 卷答案一、填空题1. . 2. . 3. 2()yxeC(ln)yxC40y4. . 5. 1x21二、选择题1、B 2、C 3、D 4、B 5、D三、解答题1、 解：
6、令 ，则 ，代入原方程得 即 1yxudyux(1)(2)udxu，两边积分得 ，代回原方程，得通解(2)du 12ln()C.ln(2)yxC2、解： 方程改写为 ，则通解为231xy2ln()ln()2(1)3arctn)xxedxCx3、 解：设 有 ，则原方程为全2(,),()yyPQeyPQe微分方程，于是 222200111(,)()()xyy yuydxdx故原方程的通解为 2eC4、 解：此方程不含 ，令 ，则 ，原方程化为xyPyd2321,dPy此方程为伯努利方程，令 ，上述方程化为 2z 21dzy则 ，ln2ln1yyzedC即 ，由初始条件 得 ，于是，2431()y
7、 1(0),()2y0C方程化为 ，或 , 由初始条件应取 ，即 2314y321dyx321dyx，积分得 ，再由初始条件 得 ，所以原方程32ydx 2C(0)1y2C的特解为 或 .14y21()4yx5、 解：特征方程为 ，特征根为 ,方程的通解为 30r123,40ri.1234cossinyCxxCx6、 解：对应的齐次方程为 ，其特征方程为 ,特征根为 y 20r，齐次方程的通解为 . 因 是特征方程的单根，所以非120,r12xYe0齐次方程的特解形式为 ,代入原方程，比较系数得 *20()yxb，于是得到一个特解 ,所求方程的通解为 012,3b*2(1)3yx.*212()
8、xyYCe7、解：由全微分方程的条件知： ，即 ，)cos(ffx()3cos2ffx对应的齐次方程的特征根为 . 齐次方程的通解为 . 因为1,2ri1csinFC不是特征根，则方程的特解形式为 ，代入方程解得2i*o2ifAxB，故 ，方程的通解为 1,0AB*cosfx*12csifx，代入初始条件 ，得 ，因此，所求函数为cosx(0)1,()f120,C,将其代入原方程中，得全微分方程()incs2fx3o)sin2cosinydxxdy再求其满足 的积分曲线。因方程为全微分方程，其通解为(1,0sin2cs,(sics)yxyCxyC由条件 得 ，故所求积分曲线为 .()2inco
9、sx综合测试题 B 卷答案一、填空题1、 2、 . 3、31xxyCe1123xxyCee21xyCe4、 . 5、 .2cossin322xADE二、选择题1、D 2、B 3、C 4、C 5、 B.三、解答题1、解：方程变形为 ，1lnldyxx通解为 .1lnlnldxyeeC2、解： 设 ， 因 ，所以原方程为全2364Px326Qy12PQxy微分方程.方程变形为 ，233210ydxd即 ，44x通解为 .23yxC3、解：这是伯努利方程.方程两边除以 ，得 .6y6521dy令 则 ，代入原方程，得5,z6dzyx，25zx这是一阶线性方程，其解为 .5C回代的通解 .52yx4、解：设 则 ，原方程化为 是一阶线性齐次微分方程.其通解 ,yp 0,p即 ，所以原方程的通解为 .1,Cpx1x12lnyCx5、解：特征方程为 ，特征根为 ，4320r,23,4r所求通解为 1234xyCee1xe
