1、1立体几何证明-垂直一.复习引入1.空间两条直线的位置关系有：_,_,_三种。2.（公理 4）平行于同一条直线的两条直线互相_.3.直线与平面的位置关系有_,_,_三种。4.直线与平面平行判定定理:如果_的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么_.6.两个平面的位置关系:_,_.7.判定定理 1：如果一个平面内有_直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面_.9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的_平行.10.如果
2、两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_于另一个平面.二知识点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义 判定语言描述 如果直线 l 和平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 互相垂直，记作 l一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.图形条件 b 为平面 内的任一直线，而 l 对这一直线总有 l ， ， B， lmlnm， 结论 ll要点诠释：定义中“平面 内的任意一条直线”就是指“平面 内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直 线面垂直）知识点二、直线和平面垂直的性质性质2语言描述 一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内
3、的所有直线垂直于同一个平面的两条直线平行.图形条件结论知识点三、二面角.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角 . （简记 ）AB PABQ 二面角的平面角的三个特征:. 点在棱上 . 线在面内 . 与棱垂直.二面角的平面角：在二面角 的棱 上任取一点 ，以点 为垂足，在半平面 内分别 l lO,作垂直于棱 的射线 和 ，则射线 和 构成的 叫做二面角的平面角.lOABOABA作用：衡量二面角的大小；范围： . 0018知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义 判定文字描述 两个
4、平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形结果 =l -l-=90 o （垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼）3常用证明垂直的方法3PEDCBA立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（1） 通过“平移” 。（2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。（3） 利用勾股定理。（4） 利用直径所对的圆周角是直角(1) 通过“平移”,根据若 则a/b,且 平 面 ,a 平 面 1在四棱锥 P-ABCD 中，PBC 为正三角形，AB平面 PBC，ABC
5、D，AB= DC， .21中 点为 P求证：AE平面 PDC.2如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，PA底面 ABCD，PDA=45 ，点 E 为棱 AB 的中点求证：平面 PCE平面 PCD；EFBACDP（第 2 题图）4（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质3、在三棱锥 PABC中， 2， 90ACB， PAB， PC（）求证： ；（3）利用勾股定理4.如图，四棱锥 的底面是边长为 1 的正方形， PABCD ,1,2.PACDP求证: 平面 ；_D_C_B_A_PACBP OA C BPD.5（4）利用直径所对的圆周角是直角5、如图，AB 是圆 O 的直径， C 是圆周上一点，P
6、A平面 ABC.（1）求证：平面 PAC平面 PBC；课堂及课后练习题：1.判断下列命题是否正确，对的打“” ，错误的打“” 。（1）垂直于同一直线的两个平面互相平行 （ ）（2）垂直于同一平面的两条直线互相平行 （ ）（3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直（ ）2.已知直线 a,b 和平面 ，且 则 b 与 的位置关系是,a_.3.如图所示，在四棱锥 中， , , , 是 的中点， 是PABCDPAD平 面 /BCPADEBF上的点，且 , 为 中 边上的高。CD12FH（1）证明： ；平 面6CADBOE4.如图所示, 四棱锥 P ABCD 底面是直角梯形 底面
7、 ABCD, ,2,BADCABPE 为 PC 的中点, PA AD 。证明: ;BDC平 面5.如图，在三棱锥 PABC中， P是等边三角形，PAC=PBC=90 证明：ABPC6.如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，2,2.CABDABD（1）求证： 平面 BCD；（2）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小；77.如图，四棱锥 SABCD中， , BCD，侧面 SAB为等边三角形， 2,1（）证明： 平 面 ;8.如图，在圆锥 PO中，已知 = 2，O 的直径 2AB,C 是狐 AB 的中点， D为 AC的中点证明：平面 D平面 AC;课堂及课后练习题答案：
8、81（1） （2） （3） 2. b/或 者3.证明：因为 为 中 边上的高，所以 ，又因为 ，所以 ，PHADPHADBPAD平 面 BPH，所以=ABBC平 面4.分析：取 PD 的中点 F，易证 AF/BE, 易证 AF平面 PDC，从而 EC平 面.5.证明：因为 PA是等边三角形， 90PBC,所以 RtBCt,可得 。如图，取 中点 D，连结 ,C,则 , ,所以 A平面 P,所以 BC。 6.（1）证明：连结 OC,.ODAOBD在 中，由已知可得1,3.C而 2,即2,AC90,o.AO平面BDOABD7.（I）取 AB 中点 E，连结 DE，则四边形 BCDE 为矩形，DE=CB=2，连结 SE，则 ,3.SEA又 SD=1，故 22D，所以 S为直角。由 ,ABES，得 平面 SDE，所以 AB。SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直。所以 SD平面 SAB。
