1、1等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义： ， 称为公比*12,naqnN0且 q2、通项公式：，首项： ；公比：110,nnnaqABaq1aq推广： nmnnm3、等比中项：（1）如果 成等比数列，那么 叫做 与 的等差中项，即： 或,aAbAab2Aab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（2）数列 是等比数列n21nna4、等比数列的前 项和 公式：nS（1）当 时，q1a（2）当 时，1nnnqaS（ 为常数）1 nnnaABA,B5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的 ，都有 为等比数n11(0)nn nnaqqa 或 为 常 数 ，列（2）等比
2、中项： 为等比数列211(0)nnnnaaa（3）通项公式： 为等比数列AB6、等比数列的证明方法：依据定义：若 或 为等比数列*12,naqnN0且 1nnaqa7、等比数列的性质：2（2）对任何 ，在等比数列 中，有 。*,mnNnanmaq（3）若 ，则 。特别的，当 时，得*(,)sttmst 2nk注：2nmka 12132nnn等差和等比数列比较：经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1等比数列 中， , ,求 .na19643720a1a思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于 和 的二元方程组，解出1q和 ，可得 ；或注意到下标 ，可以利用性质可求出 、 ，再
3、求 .1aq1 37a1等差数列 等比数列定义 dan1 )0(1qan递推公式an1； mn 1； mn通项公式dan)1( 1nqa（ 0,）中项 2knaA（ 0,*knN）)(knknG（ 0,*knNk）前 n项和)(1nnaSd2 )2(1)(1qaqaSnnn重要性质 ),(*qpnmNqpnaqm ),(*pmNpnm3总结升华： 列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式 1】a n为等比数列，a 1=3，a 9=768，求 a6。【变式
4、2】a n为等比数列，a n0，且 a1a89=16，求 a44a45a46的值。【变式 3】已知等比数列 ，若 ， ，求 。na1237a1238na类型二：等比数列的前 n 项和公式例 2设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q.举一反三：【变式 1】求等比数列 的前 6 项和。1,39【变式 2】已知：a n为等比数列，a 1a2a3=27，S 3=13，求 S5.4【变式 3】在等比数列 中， ， ， ，求 和 。na16n218na126nSq类型三：等比数列的性质例 3. 等比数列 中，若 ,求 .na569a3132310logl.loga
5、a举一反三：【变式 1】正项等比数列 中，若 a1a100=100; 则nlga1+lga2+lga100=_.【变式 2】在 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积8327为_。类型四：等比数列前 n 项和公式的性质例 4在等比数列 中，已知 ， ，求 。a48nS260n3nS思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前 k 项和，第 2 个 k 项和，第 3 个 k 项和，第 n 个 k 项和仍然成等比数列。举一反三：【变式 1】等比数列 中，公比 q=2, S4=1,则 S8=_.na【变式 2】已知等比数列 的前 n 项和
6、为 Sn, 且 S10=10, S20=40,求：S 30=？na5【变式 3】等比数列 的项都是正数，若 Sn=80, S2n=6560，前 n 项中最大的一项为na54，求 n.【变式 4】等比数列 中，若 a1+a2=324, a3+a4=36, 则 a5+a6=_.n【变式 5】等比数列 中，若 a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求 a7+a8+a9的值。n类型五：等差等比数列的综合应用例 5已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去 32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去 4，则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到
7、有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数6为 a-d, a, a+d；若三数成等比数列，可设此三数为 ，x, xy。但还要就问题而言，这里解yx法二中采用首项 a，公比 q 来解决问题反而简便。举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上 4， ，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上 32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.【变式 2】已知三个数成等比数列，它们的积为 27，它们的平方和为 91，求这三个数。【变式 3】有四个数，其中前三个数成等差数列，
8、后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和为 12，求这四个数.类型六：等比数列的判断与证明例 6已知数列a n的前 n 项和 Sn满足：log 5(Sn+1)=n(nN +),求出数列a n的通项公式，并判断a n是何种数列？思路点拨：由数列a n的前 n 项和 Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断a n类型.举一反三：【变式 1】已知数列C n，其中 Cn=2n+3n，且数列C n+1-pCn为等比数列，求常数 p。【答案】p=2 或 p=3；7【证明】设数列a n、b n的公比分别为 p, q，且 pq【变式 3】判断正误：(1)an为等比数列 a
9、7=a3a4；(2)若 b2=ac，则 a，b，c 为等比数列；(3)an，b n均为等比数列，则a nbn为等比数列；(4)an是公比为 q 的等比数列，则 、 仍为等比数列；21na(5)若 a，b，c 成等比，则 logma，log mb，log mc 成等差.类型七：S n与 an的关系例 7已知正项数列a n，其前 n 项和 Sn满足 ，且 a1，a 3，a 15成等比数21056nna列，求数列a n的通项 an.总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是 ，1()2nnaS尤其注意首项与其他各项的关系.举一反三：【变式】命题 1：若数列a n的前 n 项和 Sn=a
10、n+b(a1)，则数列a n是等比数列；命题2：若数列a n的前 n 项和 Sn=na-n，则数列a n既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为 个.8经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1等比数列 中， , ,求 .na19643720a1a思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于 和 的二元方程组，解出 和 ，可q1aq得 ；或注意到下标 ，可以利用性质可求出 、 ，再求 .1a37371解析：法一：设此数列公比为 ，则q819126374()02aqa由(2)得： .(3) 241()0a .0由(1)得： , .(4)4216q418aq(3)(4)得：
11、 ， 5 ,解得 或425022当 时， ， ；q1a10164aq当 时， ， .23法二： ,又 ,19764372 、 为方程 的两实数根，3a720x 或 4673a , 或 .231a213164a总结升华： 列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式 1】a n为等比数列，a 1=3，a 9=768，求 a6。【答案】96法一：设公比为 q，则 768=a1q8，q 8=256，q=2，a 6=96；法二：a 52=a1a9 a5=48 q=2，
12、a 6=96。【变式 2】a n为等比数列，a n0，且 a1a89=16，求 a44a45a46的值。9【答案】64； ，又 an0，a 45=42189456a 。3【变式 3】已知等比数列 ，若 ， ，求 。n1237a1238ana【答案】 或 ；12na3法一： ， ，131238a2从而 解之得 ， 或 ，135,4a1341a3当 时， ；当 时， 。2q1a2q故 或 。1n3n法二：由等比数列的定义知 ，21231a代入已知得 11278aq213(),8aq21(),(1aq将 代入（1）得 ，250解得 或2q由（2）得 或 ，以下同方法一。1a142q类型二：等比数列的
13、前 n 项和公式例 2设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q.解析：若 q=1，则有 S3=3a1，S 6=6a1，S 9=9a1.因 a10，得 S3+S62S 9，显然 q=1 与题设矛盾，故 q1.由 得， ，3669111()()2()aqaq整理得 q3(2q6-q3-1)=0，由 q0，得 2q6-q3-1=0，从而(2q 3+1)(q3-1)=0，10因 q31，故 ，所以 。312342q举一反三：【变式 1】求等比数列 的前 6 项和。,39【答案】 ；3642 ， ，1aqn 。6663134221S【变式 2】已知：a n为等比数列，a 1a2a3=27，S 3=13，求 S5.【答案】 ；9或 ， ，则 a1=1 或 a1=932273a31()3qq或 .555591213S391S或 【变式 3】在等比数列 中， ， ， ，求 和 。na16n218na126nSq【答案】 或 2， ；1q6 ，21nna18n解方程组 ，得 或16n42na164n将 代入 ，得 ，42na1nqS由 ，解得 ；1q6将 代入 ，得 ，14na1nnaqS2由 ，解得 。1q6
