1、微分几何主要习题解答1第一章 曲线论2 向量函数5. 向量函数 具有固定方向的充要条件是 = 。)(tr )(tr)(t0分析：一个向量函数 一般可以写成 = 的形式，其中 为单位t e)(te向量函数， 为数量函数，那么 具有固定方向的充要条件是 具有固定方)(t)(tr 向，即 为常向量， （因为 的长度固定） 。ee证 对于向量函数 ，设 为其单位向量，则 = ，若 具有固)(tr)(t )(tr)(te)(tr定方向，则 为常向量，那么 = ，所以 = （ ）= 。)(ter)(te0反之，若 = ，对 = 求微商得 = + ，于是r0)(tre = （ ）= ， 则有 = 0 或 =
2、 。当 = 0 时， = 可与任r2e e0)(t)(tr意方向平行；当 0 时，有 = ，而（ = -( ， （因 2e2e为 具有固定长， = 0） ，所以 = ，即 为常向量。所以， 具有固ee e )(tr定方向。6向量函数 平行于固定平面的充要条件是（ ）=0 。)(tr r分析：向量函数 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量 ，使)(tn = 0 ，所以我们要寻求这个向量 及 与 ， 的关系。)(trnnr证 若 平行于一固定平面 ，设 是平面 的一个单位法向量，则 为常)(tr 向量，且 = 0 。两次求微商得 = 0 ， = 0 ，即向量 ， ， 垂rrnr直于同一非零向
3、量 ，因而共面，即（ ）=0 。n反之, 若（ ）=0，则有 = 或 。若 = ，由上题r 0知 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若 ，则存在数量函数)(tr r微分几何主要习题解答2、 ，使 = + )(ttrr令 = ，则 ，且 。对 = 求微商并将式代入得nn0)(tnr= = （ ）= ，于是 = ，由上题知 有固定方向，而rr 0n ，即 平行于固定平面。)(t)(t3 曲线的概念1求圆柱螺线 = ， = ， = 在（1,0,0）的切线和法平面。xtcosytinzt解 令 =1, =0, =0 得 =0, (0)= - , ,1| =0,1,1,曲tsinrtsinco0t线在
4、(0,1,1)的切线为 ，法平面为 y + z = 0 。10z2求三次曲线 在点 的切线和法平面。,32ctbar0t解 ，切线为 ，,)( 200ttr 20302ctzbtyax法平面为 。)(3)(3202000cztbtytatx3. 证明圆柱螺线 = a ,a , ( )的切线和 z 轴作rcosinb固定角。证明 = -a ,a , ,设切线与 z 轴夹角为 ,则 =rsin cos为常数，故 为定角（其中 为 z 轴的单位向量） 。2|baerkk4. 求悬链线 = ， （- ）从 =0 起计算的弧长。rtatcoshtt解 = 1 ， ，| | = = ， atsinrat2
5、sinh1atcosh。ttatdhcos0微分几何主要习题解答3求曲线 在平面 与 y = 9a 之间的弧长。223,axzyx3a解 曲线的向量表示为 ，曲面与两平面 与 y = 9a 的r,23x3a交点分别为 x=a 与 x=3a , ， ，所求弧长为r2,1xar41xa2x。dsa9)(2310. 将圆柱螺线 =a ，a ，b 化为自然参数表示。rtcostin解 = -a ,a ,b，s = ，所以 ，rtsin tbadrt 20| 2bast代入原方程得 =a , a , co2in2s2s11.求用极坐标方程 给出的曲线的弧长表达式。)(解 由 ， 知 = - ，cos)(
6、xsinyr)(cosin)()(+ ，| | = ， 从 到 的曲线的弧长是 s=sincos)(r)()(220 0。22d4 空间曲线1求圆柱螺线 =a ， =a ， = b 在任意点的密切平面的方程。xtcosytsinzt解 = -a ,a ,b, =-a ,- a ,0 rinrcosin所以曲线在任意点的密切平面的方程为= 0 ，即(b )x-(b )y+az-abt=0 .sincosiitattztytxtsitcos微分几何主要习题解答42. 求曲线 = t ,t ,t 在原点的密切平面、法平面、从切面、rsincoe切线、主法线、副法线。解 原点对应 t=0 , (0)=
7、 +t , - t , +t =0,1,1，tsitcosine0t2 + t , - t ,2 +t =2,0,2 ， )0(rcoscone0t所以切线方程是 ，法面方程是 y + z = 0 ；10x密切平面方程是 =0 ，即 x+y-z=0 ，2z主法线的方程是 即 ；0zyx1zyx从切面方程是 2x-y+z=0 ,副法线方程式 。3证明圆柱螺线 =a ， =a ， = b 的主法线和 z 轴垂直相交。xtcosytsinzt证 = -a ,a ,b, =-a ,- a ,0 ，由 知 为rtsintrtcotsinrr主法线的方向向量，而 所以主法线与 z 轴垂直；主法线方程是r0
8、ksincostztytx与 z 轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和 z 轴垂直相交。4.在曲线 x = cos cost ,y = cos sint , z = tsin 的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。解 = -cos sint, cos cost, sin , = -cos cost,- cos sint , 0 r rsin sint ,- sin cost , cos |新曲线的方程为 = cos cost + sin sint ，cos sint- sin cost ，tsin + rcos 微分几何主要习题解答5对于新曲线 =-cos sin
9、t+ sin cost ，cos cost+ sin sint，sin =sin( -rt), cos( -t), sin , = -cos( -t), sin( -t),0 ,其密切平面的方r程是 0)sin()cos( sincoinitataatzytx即 sin sin(t- ) x sin cos(t- ) y + z tsin cos = 0 .5证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。证 方法一：设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径 具有固定)(tr长，所以 = 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平r面通过这点的向径，也就通
10、过其始点球心。若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则 = 0， 具有固定长，对应的曲线是球面曲线。r)(tr方法二：是球面曲线 存在定点 （是球面中心的径矢）和常数 R（是球面的()t0r半径）使 ，即 （）20rR()0()r而过曲线 上任一点的法平面方程为 。可知法平面过球面)t 中心 （）成立。所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。6.证明过原点平行于圆柱螺线 =a ，a ， b 的副法线的直线轨迹rtcostin是锥面 .22)(bzyxa证 = -a ,a , , =-a ,- a ,0 ， =rtsintcortcstir为副法线的方
11、向向量，过原点平行于副法线的直线的方程是,co,sintb，消去参数 t 得 。aztytxi 22)(bzyx微分几何主要习题解答67求以下曲面的曲率和挠率 ,sinh,coattar 。)0(3()3(2解 ， ，,cosh,sin attr 0,sinh,co tatr， ，所以0,cosh,in tar 1 attk 2323 cosh1)s(|。tatar 2242)(, ， ，1,3 1,06,16 artr = ，r ,2182tta 2323 )()(78| ttk。224232 )1()1(6)(, tatar8已知曲线 ，求基本向量 ；曲率和挠率；cos,incs3ttr
12、,验证伏雷内公式。分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。解 ，4,sin3cosin2si,cosin3,co 22 tttttr（设 sintcost0） ， 则 ，,sin5|)(| ttds 5,i,5|tr微分几何主要习题解答7， ，0,cos53,incosi51ttdst 0,cosin|t，,4, ， ，由于 与 方tkcosin253| 0,cos,incosi254tt 向相反，所以 | 显然以上所得 满足 ，而,k,k也满足伏雷内公式 。 0,sincosin51tt9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定
13、点，则此曲线是直线。证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 ，则曲线在任r)(t意点的切线方程是 ，由条件切线都过坐标原点，所以 ，)(trt )(tr可见 ， 所以 具有固定方向，故 是直线。rr)(tr方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 ，则曲线在任意点r)(t的切线方程是 ，由条件切线都过坐标原点，所以 ，于)(trt )(tr是 ， 从而 ，所以由曲率的计算公式知曲率 k，所以曲线为r0直线。方法二：设定点为 ，曲线的方程为 ，则曲线在任意点的切线方程是0rr()s，由条件切线都过定点 ，所以 ，两端求导得: ()rs00()rs, 即 ，而 无关，所以 ，
14、(1)s,10可知 ，因此曲线是直线。0,()s10. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 ，则曲线r)(t微分几何主要习题解答8在任意点的密切平面的方程是 ，由条件0)()(trttr，即（ ）=0 ，所以 平行于一固定平面，即 0)()trtr r是平面曲线。t方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 ，则曲线在任r)(s意点的密切平面方程是 ，由条件 ，两边微分并用伏雷内0)(sr 0)(sr公式得 。若 ,又由 可知 ,所以 0)(sr)(sr)(srr平行于固定方向，这时 表示直线,结论成立。否则
15、 ，从而知曲线)(srr)(s是平面曲线。方法三：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 ，则曲线在任r)(t意点的密切平面方程是 ，由条件0)()(trttr，即（ ）=0 ，所以 ， ， 共面，若 ，则0)()trtr rr 是直线，否则可设 ，所以 共面，所以,rr,，从而知曲线是平面曲线。011. 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量 ，那么曲线是直线或平面e曲线。证 方法一：根据已知 ，若 是常向量，则 k= =0 ，这时曲线是直0e|线。否则在 两边微分得 =，即 k =,所以 =，又因 ，0eee0e所以 ， 而 为单位向量，所以可知 为常向量，于是 ，即 ，0|此曲线为平面
16、曲线。方法二：曲线的方程设为 ，由条件 ，两边微分得 ，r)(trere ，所以 ， ， 共面，所以（ ）。由挠率的计算公式rer 可知 ，故曲线为平面曲线。当 时是直线。0r0方法三：曲线的方程设为 ，由条件 ，两边积分得 （ 是常)(trep微分几何主要习题解答9数） 。因 是平面的方程，说明曲线 在平面上，即曲线是平面曲线，rep r)(t当 有固定方向时为直线。12证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线。证明 设曲线（ C）： 的曲率 k 为常数,其曲率中心的轨迹（ ）的方r)(s C程为： ， （ 为曲线（C ）的主法向量） ，对于曲线（ ）两边微)(1)(sk
17、r分得 ， （ ， ， 分别为曲线（C）的单位切向量，k 副法向量和挠率） ， ， ， ，曲线（ ）的曲2k| 23kC率为 为常数。kk3233|13.证明曲线 x=1+3t+2 ,y=2-2t+5 ,z=1- 为平面曲线，并求出它所在的平2t2t2t面方程 。证 =3+4t, -+10t,-2t， =4，10，-， ，0，0rrr曲线的挠率是 ，所以曲线为平面曲线。曲线所在平面是曲线在0)(,2r任一点的密切平面。对于=, =, ， =3, -,， =4，10，-，rrr，0，0 。所以曲线的密切平面，即曲线所在平面是r，即 2x+3y+19z 2702143zyx14设在两条曲线 、 的
18、点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。证 设曲线 ： = 与 ： 点 s 与 一一对应，且对应点的切线平行，r)(s)(r则 = , 两端对 s 求微商得 , 即 ，(这里)(s)ddsks)()(k 0，若 k= =0，则 无定义)，所以 ，即主法线平行，那么两曲线的副|法线也平行。微分几何主要习题解答1015设在两条曲线 、 的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线平行，证明它们在对应点的切线作固定角。证 设 , 分别为曲线 、 的切向量, , 分别为曲线 、 的主法向量,则 由已知 ，而 )()s dsds)(将式代入
19、 。所以 常数，故dkk 0k量曲线的切线作固定角。16.若曲线 的主法线是曲线 的副法线, 的 曲率、挠率分别为 。求,证 k= ( + ) ,其中 为常数。020证 设 的向量表示为 = ，则 可表示为 = + ， 的切向r)(s)(sr)(s量 = + + （k + ）与 垂直，即 ，所以 为常数，设为 ，则 （ k） + 。再求微商有 k （ k）00000k ， （ k）k ，所以有 k= ( + )。2 002217曲线 =a(t-sint),a(1-cost),4acos 在那点的曲率半径最大。r2t解 = a1-cost,sint,-2sin , = asint,cost,-cos , , tr2t|2sin|tr = ,r 1co,isincos4,2sin,2i32 ttattta | |= , , ,所以在 t=(2k+1) ，rsit |2sin|81|3tark |2si|8tRk 为整数处曲率半径最大。18 已知曲线 上一点 的邻近一点 ，求)(:)(3srC)(0sr)(0sr点到 点的密切平面、法平面、从切平面的距离（设点 的曲率、)(0sr)(0r
