1、不等式专题一共分为 6 部分1.不等关系与不等式2.一元二次不等式及其解法3.二元一次不等式组与平面区域4.线性规划与实际应用5.线性规划与基本不等式6.不等式综合复习第一部分不等关系与不等式实数的符号：任意 ，则 （ 为正数） 、 或 （ 为负数）三种情况有且只有一xR0x0xx种成立。两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：两个同号实数相加，和的符号不变符号语言： ；0,0aba,两个同号实数相乘，积是正数符号语言： ；0,0aba,两个异号实数相乘，积是负数符号语言： 0,0aba任何实数的平方为非负数，0 的平方为 0符号语言： ， .20xR2x比较两个实数大小的法则：对任意两
2、个实数 、ab ；0b ； .对于任意实数 、 , , , 三种关系有且只有一种成立。abab要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。1、某人有楼房一幢，室内面积共 ，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大2180m房间面积为 ，28m可住游客 5 人，每名游客每天住宿费 40 元；小房间每间面积为 ，可住游客 3 人，215m每名游客每天住宿费 50 元；装修大房间每间需要 1000 元，装修小房间每间需要 600 元，如果他只能筹款 8000 元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【解析】假设装修大、小客
3、房分别为 间， 间，根据题意，应由下列不等关系：xy（1 ） 总费用不超过 8000 元（2 ） 总面积不超过 ；2180m（3 ） 大、小客房的房间数都为非负数且为正整数.即有：即*180(65)xNyy*60(534)xNyy此即为所求满足题意的不等式组1、某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本。据市场调查，若单价每提高 0.1 元，销售量就可能相应减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢？【答案】设杂志社的定价为 x 元，则销售的总收入为 2.5(80)1xx 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于 2
4、0 万元”可以表示为不等式2.5(80)1xx2、某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6 t 的乙型卡车，且有 9 名驾驶员此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次，乙型卡车每辆每天可往返 8 次，写出满足上述所有不等关系的不等式解析：设每天派出甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆根据题意，应有如下的不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数；(2)车队每天至少要运 360 t 矿石；(3)甲型卡车不能超过 4 辆，乙型卡车不能超过 7 辆用下面的关于 x，y 的不等式表示上述不等关系即可，即910683604,
5、7xyN95304,7xyN不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有： (1) 对称性： ab b， cac0运算性质有： (1) 可加法则： , .abdbd(2) 可乘法则： 0cac0(3) 可乘方性： *,nN(4) 可开方性： nab,1ab要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据1、对于实数 a,b,c 判断以下命题的真假（）若 ab, 则 acbc2，则 ab;（）若 aabb2;（）若 a|b|;（）若 ab, , 则 a0, bbc2, 所以 c0, 从而 c20，故原命题为真命题。（）因为 ，所以 a2ab 0b又 ，所以 abb2 b综合得 a2abb2
6、，故原命题为真命题（）两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题（）因为 ，所以ba101ab所以 ，从而 abb，所以 a0, bv0)，则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间 2SuStuvv平均速度 ， 2Suvt ，220 u因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度。1、若 a0ba，cd0，则下列命题：(1)adbc；(2) ；(3) acbd；(4)a( dc )b(dc)中能成立的个数是( ) CA1 B2 C3 D42、 若 aca利用函数的单调性比较大小若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比
7、较大小.作差比较法的步骤：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差” 化为“积” ；第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于 0；最后下结论。要点诠释：“三步一结论” 。这里“ 定号”是目的，“变形”是关键过程。1、 已知 a，b，c 是实数，试比较 a2b 2c 2 与 abbcca 的大小【思路点拨】此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个代数式大小的问题转化为实数运算符号问题。【解
8、析】 22()abcabc= ， 1()()0当且仅当 abc 时取等号 a 2b 2c 2abbcca.2、已知 ( ), 试比较 和 的大小。1ab【解析】 ，1ab 即 ，0当 时 ， ；1ab当 时 ， .ab3、已知： 、 , 且 ,比较 的大小.Raba与【思路点拨】本题是两指数式比较大小，如果设想作差法，很明显很难判断符号，由指数式是正项可以联想到作商法.【解析】 、 ， ，ab0abba作商： （*）()()()ababba(1)若 ab0, 则 ，a-b0, , 此时 成立；11baaba(2)若 ba0, 则 , a-b且2ab与【答案】2()ab（ ）322()()0ab
9、2.ab4、已知 为互不相等的正数，求证：c、 、 2abccab.【答案】 为不等正数，不失一般性，设ab、 、 0,这时 ， ，则有：2c0bcab0ab(ab)c(b)a(c)babcac ()()01,0;1,0;1,-b am2bm2 B、 ab cbaC、 a3b3, ab0 D、a 2b2, ab0ba1ba14若 x+y0,a0，则 x-y 的值为( )A、大于 0 B、小于 0 C、等于 0 D、符号不确定3 【答案】C 【解析】用淘汰法. (A)中若 m=0 不成立；(B) 中若 c0 (a-b)(a2+ab+b2)0. a 2+ab+b20 恒成立，故 a-b0. ab，
10、又 ab0， b2 (a+b)(a-b)0，不能说明 ab，故本题应选(C). 4 【答案】A【解析 】用直接法. a0 y0 x0， x-y=x+(-y)0.故本题应选 (A). 5已知 ，则有（ ）0xya1A、 B、 alog()a0log(xy)1C、 D、1226若 任意实数，且 ，则（ ）ab、 是 abA、 B、 C、 D、 21lg()0ab1()2（ ）5 【答案】D【解析 】0x y a1 ，0xy1 ，故 loga(xy)0，排除 A，又 xyya，故 loga(xy)log aa1，排除 B，log a(xy)log axlog aylog aalog aa11 2，故选 D.6【答案】D【解析 】ab 且 y 为单减函数，故 ，故选 D，x ba21因不知道 a，b 的正负，故可排除 A、B、C 选项.7下列命题中的真命题为 （）若 ab, 则 ac2bc2；（）若 a ；（）若 ab0，则 1；a
