椭圆综合题含答案.doc

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1、1椭圆综合题一、椭圆中的定值、定点问题1、已知 椭圆两焦点 1F、 2在 y轴上,短轴长为 2,离心率为 2, P是椭圆在第一 象限弧上一点,且 12P,过 P作关于直线 F1P对称的两条直线 PA、PB 分别交椭来源:学科网 圆于 A、B 两点。 (1)求 P点坐标;(2)求证直线 AB的斜率为定值;2、 在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆2:13xCy.如图所示,斜率为 (0)k 且不 过原点的直线 l交椭圆 C于 A, B两点,线段 A的中点为 E, 射线 OE交椭圆C于点 G,交直线 3x于点 (,)Dm.()求 2k的最小值;()若2OD E,求证:直线 l过定点;椭圆中的取值范围

2、问题1、已知直线 与 轴交于点 ,与椭圆 交于相异两点 A、 B, ly(0,)Pm2:1Cxy且 ,求 的取值范围3APB22、.已知椭圆 E的中心在坐标原点 O,两个焦点分别为 )0,1(A、 ),(B,一个顶点为)0,(H.(1)求椭圆 的标准方程;(2)对于 x轴上的点 )0,(tP,椭圆 E上存在点 M,使得 HP,求 t的取值范围. 椭圆中的最值问题1.如图, DPx轴,点 M在 DP的延长线上,且 |2|DMP当点 P在圆21y上 运动时。 (I)求点 M的轨迹 C的方程;()过点 2(0,)1Tty作 圆 的切线 l交曲线 C于 A,B 两点,求AOB 面 积 S的最大值和相应

3、的点 T的坐标。2、已知椭圆 .过点 作圆 的切线 交椭圆 G于 A,B两点.2:14xGy(,0)m21xyl将| AB|表示为 m的函数,并求|AB|的最大值.3一|:1、解:(1)设椭圆方程为21yxab,由题意可得 2,abc,所以椭圆的方程为214yx则 12(0,)(,)F,设 00(,),)Px则 02PxyFy21()1来源:学_科_网 Z_X_X_K点 0(,)xy在曲线上,则20.4xy22004yx从而22004()1,得 0,则点 P的坐标为 (1,)。(2)由(1)知 1/PFx轴,直线 PA、PB 斜率互为相反数,设 PB 斜率为 (0)k,则 PB 的直线方程为:

4、 2(1)ykx 由 214yx得 2 2()()()40kx设 (,)Bxy则22()1Bk同理可得2Ak,则 24ABkx28(1)()BAyxk所以直线 AB 的斜率 BByx为定值。2、 解:()由题意:设直线 :(0)lykxn,由 213x消 y得: 22(3)630xkn,2264()(1)knk2(1)4设 A 1(,)xy、B 2(,),AB的中点 E 0(,)xy,则由韦达定理得: 来源:学科网2=63kn,即 0231knx, 231kn213nk,所以中点 E的坐标为 (,),因为 O、E、D 三点在同一直线上,所以 kK,即 13mk, 解得 1k,所以 2m= 21

5、,当且仅当 时取等号, 即 2的最小值为 2.()证明:由题意知:n0,因为直线 OD的方程为 yx,所以由 231myx得交点 G的纵坐标为23Gm,又因为 213Enyk, Dy,且 2OD E,所以221nk,又由()知: m,所以解得 kn,所以直线 l的方程为 :lyx,即有 :(1)lyx, 令 1得,y=0,与实数 k无关,二:1、 解:(1)当直线斜率不存在时: 2(2)当直线斜率存在时:设 与椭圆 C交点为 l12(,)(,)AxyB得 21ykxm22()0kxkm(*) ()44()2121,xxkk , ,3APB23 . 消去 ,得 ,12xx211()40x223(

6、)0km整理得 245时,上式不成立; 时, , 214m214m221mk , 或20k把 代入(*)得 或224121 或 m综上 m 的取值范围为 或 。21m2、解:(1)由题意可得, 1c, a, 3b 所求的椭圆的标准方程为:214xy (2)设 ),(0yxM)2( ,则 203 且 ,(0yxtP, ),(0yxMH, 由 可得 ,即 )2(200t 由、消去 y整理得 341)2(00xxt 0x 241)2(t 0, t t的取值范围 为 )1,(. 三:1、 解:设点 M的坐标为 yx,,点 P的坐标为 0yx,则 0x, 02,所以 0, 2, 因为 ,yP在圆 1y上

7、,所以 10yx 将代入,得点 的轨迹方程 C的方程为 42 ()由题意知, 1|t6当 1t时,切线 l的方程为 1y,点 A、B 的坐标分别为 ),123(,(此时 3|AB,当 t时,同理可得 |AB; 当 1t时,设切线 l的方程为 ,mkxyR由 ,142xtky得 042)(t设 A、B 两点的坐标分别为 ),(,21yx,则由得:22121 4,4ktktx又由 l与圆 2y相切,得 ,1|2t即 .12kt 所以 2121)()(|xAB 4)()(222kttk .3|t因为 ,|3|4|3|2tt且当 3t时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2来源:学.科.网 Z.X

8、.X.K依题意,圆心 O到直线 AB的距离为圆 12yx的半径,所以 AB面积 AS,当且仅当 3t时, 面积 S的最大值为 1,相应的 T的坐标为 3,0或者 ,2、 解:由题意知, .|1m7当 时,切线 的方程为 ,点 A,B的坐标分别为 ,1ml1x3(1,),)2此时 ;|3AB当 时,同理可得 ;1|当 时,设切线 的方程为 .ml()ykxm由 得 .2()14ykx222(4)840k设 A,B两点的坐标分别为 .12(,),xy又由 与圆 相切, 得 ,即 .l2xy2|km21k所以 2 2111|()()()4AByxx.422264()kk23|m由于当 时, ,1m|3,243|4| 2|ABm当且当 时, .所以|AB|的最大值为 2.m|AB

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