1、12016 年清华大学自主招生暨领军计划试题1.已知函数 有最小值，则函数 的零点个数为（ xeaxf)()2 axg2)(）A. B. C. D.取决于 的值01答案：注意 ，答案 C.)()(/xgef2. 已知 的三个内角 所对的边为 .下列条件中，能使得 的形状唯ABCBA,cba, ABC一确定的有（ ）A. Zcba,21B. BbCaAsini2sini,50C. 06,co)(cosnBCD. 06,13ba答案：对于选项 A，由于 ，于是 有唯一取值 2，符合题意；bac| c对于选项 B，由正弦定理，有 ，可得 ，无解；220135,osB对于选项 C，条件即 ，于是0)s
2、in(coCBA，不符合题意；6,),603,9(),(BA对于选项 ，由正弦定理，有 ，又 ，于是 ，符合题意.D21si0A009,3CB答案：AD.3.已知函数 ，下列说法中正确的有（ ）xgxfln)(,1)(2A. 在点 处有公切线,gxf0B.存在 的某条切线与 的某条切线平行)()(xC. 有且只有一个交点,xfD. 有且只有两个交点)(g答案：注意到 为函数 在 处的切线，1xy)(xg0,如图，因此答案 BD.24. 过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 两点， 为线段 的中点.下列说xy42FBA,MAB法中正确的有（ ）A.以线段 为直径的圆与直线 一定相离AB23xB.
3、的最小值为|4C. 的最小值为|2D.以线段 为直径的圆与 轴一定相切BMy答案：对于选项 A，点 到准线 的距离为1x，于是以线段 为直径的圆与直线 一定相切，进而|21|)|(21FAB1x与直线 一定相离；3x对于选项 B,C，设 ，则 ，于是 ，最小值为 4.也)4,(2aA)1,(2a24|2a可将 转化为 中点到准线的距离的 2 倍去得到最小值；|B对于选项 D，显然 中点的横坐标与 不一定相等，因此命题错误.|BM答案：AB.5. 已知 是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆 上一点.下列说21,F)0(1:2bayxCPC法中正确的有（ ）A. 时，满足 的点 有两个ba0219PB.
4、 时，满足 的点 有四个2FC. 的周长小于1FPa4D. 的面积小于等于212答案：对于选项 A,B，椭圆中使得 最大的点 位于短轴的两个端点；21PF对于选项 C， 的周长为 ；21PFac4对于选项 D， 的面积为 .21 2212121 1|sin| aPF答案：ABCD.6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：3甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁答案：乙和丁同时正确或者同时错误，分类
5、即可，答案：BD.7. 已知 为圆 的一条弦（非直径） ， 于 ， 为圆 上任意一点，直线ABOABOCPO与直线 相交于点 ，直线 与直线 相交于点 .以下说法正确的有（ PCMPN）A. 四点共圆 B. 四点共圆, ,C. 四点共圆 D.以上三个说法均不对N,答案：7.对于选项 A， 即得；OMAOB对于选项 B，若命题成立，则 为直径，必然有 为直角，不符合题意；NAN对于选项 C， 即得.PM答案：AC.8. 是 为锐角三角形的（ ）CBACBAcoscosinsinAA.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件答案：必要性：由于 ,1cosin)
6、2si(nsi B类似地，有 ，1,1insABAC于是 .Ccoscosin不充分性：当 时，不等式成立，但 不是锐角三角形.4,2答案：B.9.已知 为正整数，且 ，那么方程 的解的组数为（ ）zyx, zyx21zyxA. B. C. D.8101答案：由于 ，故 .xzyx326若 ，则 ，可得 ；3x)6( )12,(5,0)18,9(24,),7(,zy若 ，则 ，可得 ；414zy 6054若 ，则 ，进而解得 ；5x 6,5320,103yzy )10,5(),(zyx若 ，则 ，可得 .69)(),(,z答案：B.10.集合 ，任取,21naA这三个式子中至少有一个成立，则A
7、aAkji ikkjji ,1的最大值为（ ）nA. B. C. D.6789答案：不妨假设 ，若集合 中的正数的个数大于等于 4，由于 和naa21 32a均大于 ，于是有 ，从而 ，矛盾！所以集合 中至42a1423a43aA多有 3 个正数.同理可知集合 中最多有 3 个负数.A取 ，满足题意，所以 的最大值为 7.答案 B.,210,An11.已知 ，则下列各式中成立的有（ ）06A. 3tatantanB. C. 3tantaD. tt答案：令 ，则 ，tan,t,tanzyx 311zxyzx所以 ，)(3),(3),1(3yzy以上三式相加，即有 .zxy类似地，有 ，)1(31
8、),(31),(3 zxzyx以上三式相加，即有 .1xzyz5答案 BD.12.已知实数 满足 ，则 的最大值也最小值cba,1c144cba乘积属于区间（ ）A. B. C. D.)12,()3,2()1,3()5,(答案：设函数 ，则其导函数 ，作出 的图象，函数14)xf 42/xf xf的图象在 处的切线 ，以及函数 的图象过点)(xf331)(72y )(f和 的割线 ，如图，)0,41()7,2( 14x于是可得 ，321)(721x左侧等号当 或 时取得； 右侧等号当 时取得.因此原式的最大值为 ，43x21当 时取得；最小值为 ，当 时取得，从而原式的最大值1cba 2,41
9、cba与最小值的乘积为 .答案 B.)169,(3713.已知 ，则下列结论正确的有（ ）, 22zyxzyxRzyA. 的最大值为 B. 的最大值为x074C. 的最大值为 D. 的最小值为z32z31答案：由 可得 .设 ，则 是关,12yxzyx 0zxycyzzyx,于 的方程 的三个根.令 ，则利用导数可得t023ct cttf23)(，所以 ，等号显然可以取到 .故选项 A,B 都对.274)3(0f 0274xyzc因为 ，所以 ，等号显然可以取到，)1()()1( 22zyx 13z故选项 C 错误.答案 ABD.14.数列 满足 ，对任意正整数 ，以下说法中na )(6,2,
10、 *11 Nnaann n正确的有（ ）6A. 为定值 B. 或nna21)9(mod1na)9(od2naC. 为完全平方数 D. 为完全平方数74 78答案：因为 2122122132 6)6( nnnnnn a.aa12所以 A 选项正确；由于 ，故 ，13a 76)6( 21212121 nnnnnna又对任意正整数恒成立，所以 ，)(8,74 aaa故选项 C,D 正确.计算前几个数可判断选项 错误.B答案：ACD.说明：若数列 满足 ，则 为定值.nannap12 na22115. 若复数 满足 ，则 可以取到的值有（ ）zzzA. B. C. D. 2121215215答案：因为
11、 ，故 ，等号分别当 和|zz |z iz215时取得.答案 CD.iz21516. 从正 2016 边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（ ）A. B. C. D.65453635282016答案：从 2016 的约数中去掉 1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数.设从 2016 个顶点中选出 个构成正多边形，这样的正多边形有 个，因此所求的正多边形的个数就是k k2016 的所有约数之和减去 2016 和 1008.考虑到 ，因此所求正多边形的个数为7320165.答案 C.35281026)71(9)(84( 17.已知椭圆 与直线 ，过椭圆上一点 作02ba
12、yx xylxl1:,:21 P7的平行线，分别交 于 两点.若 为定值，则 （ ）21,l 21,lNM,| baA. B. C. D.35答案：设点 ，可得 ，),(0yxP )214,21(),41,2( 0000 yxyNyx故意 为定值，所以 ，答案：C.0241|MN,62baba说明：（1）若将两条直线的方程改为 ，则 ；kxyk1（2）两条相交直线上各取一点 ，使得 为定值，则线段 中点 的轨迹为NM,| MNQ圆或椭圆.18. 关于 的不定方程 的正整数解的组数为（ ）yx, yx21652A. B. C. D.0 3答案：方程两边同时模 3，可得 ，因 不能被 3 整除，故
13、 不能被 3 整除，)(mod2yy22x所以 ，故 ，所以 为偶数，可设 ，则有)(mod12x)(1y )(*Nm，解得 即 答案：B.4536)( ,1235xm,9yx19.因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序.例如，三个实数 相乘的时候，可以有 等等不同的次序.cba, ),(,)(cabacb记 个实数相乘时不同的次序有 种，则（ ）nnIA. B. C. D.2I123964I1205I答案：根据卡特兰数的定义，可得 .答案：AB.121 )!(!nnn CACI关于卡特兰数的相关知识见卡特兰数计数映射方法的伟大胜利.20.甲乙丙丁 4 个
14、人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军.4 个人相互比赛的胜率如表所示：8表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是 0.3，乙击败丁的概率是 0.4.那么甲刻冠军的概率是 .答案：根据概率的乘法公式 ，所示概率为 .1650)853.0(. 21.在正三棱锥 中， 的边长为 1.设点 到平面 的距离为 ，异面直ABCPPABCx线 的距离为 .则 .,yxlim答案：当 时， 趋于与平面 垂直，所求极限为 中 边上的高，为xABC.2322.如图，正方体 的棱长为 1，中心为 ，则1DABC AEBCFO114,2,四面体
15、的体积为 .OEF答案：如图， EBFGEBFOVV21.9616C23. .dxxnn)si1()(2202答案：根据题意，有 .0)sin1()sin1( 2220 dxxdn24.实数 满足 ，则 的最大值为 .yx, 2324)(yxy答案：根据题意，有 ，于是 ，等号当2)(2yx时取得，因此所求最大值为 1.212yx25. 均为非负实数，满足 ，则 的最大值z, 47)23()1()2(2ztx zyx与最小值分别为 .答案：由柯西不等式可知，当且仅当 时， 取到最大值 .)0,(),(y 23根据题意，有 ，41322zxzyx9于是 解得 .,)(3)(4132yzxzyx
16、23zx于是 的最小值当 时取得，为 .)23,0(),26.若 为 内一点，满足 ，设 ，OABC2:4:COABAOSS ACB则 .答案：根据奔驰定理，有 .329427.已知复数 ，则 .sin32coz2z答案：根据题意，有 .iiz 2315sn3co122 28.已知 为非零复数， 的实部与虚部均为不小于 1 的正数，则在复平面中， 所z40,1 z对应的向量 的端点 运动所形成的图形的面积为 .OP答案：设 ，由于 ，于是),(Ryxiz2|40z,140,1,22yx如图，弓形面积为 ，31)6sin(201四边形 的面积为ABCD.3)30(21于是所示求面积为 .3013
17、20)10()10(2 29.若 ，则 .34tanx xxxx cosincosi4cosin8cosin答案：根据题意，有 i2ii4i .38tan)tan(t)2tan(t)tan8(t xxxx30.将 16 个数：4 个 1，4 个 2，4 个 3，4 个 4 填入一个 的数表中，要求每行、每列都4恰好有两个偶数，共有 种填法.答案：首先确定偶数的位置有多少种选择.第一行两个偶数有 种选择.24C10下面考虑这两个偶数所在的列，每列还需要再填空一个偶数，设为 .ba,情形一：若 位于同一行，它们的位置有 3 种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置唯ba,一确定；情形二：若 位于不同的行，它们的位置有 6 种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置,有 2 种选择.所以偶数的不是位置数为 .90)23(24C因此，总的填法数为 .190831.设 是集合 的子集，从 中任取 3 个元素，由小到大排列之后都不能构成A,2,1 A等差数列，则 中元素个数的最大值为 .答案：一方面，设 ，其中 .不妨假设 .,21ka14,*kNkaa21若 ，由题意， ，且 ，故 .同理9k 73535a75.又因为 ，所以 ，矛盾！故 .75a19a19 8k另一方面，取 ，满足题意.4,0,21A综上所述， 中元素个数的最大值为 8.1.2.3.4.5.6.8.9.10.11. 11.12.
