1、直线、平面平行的判定及其性质1. 下列命题中，正确命题的是 .若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l ;若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都平行；如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点 .2. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）.一个平面内的一条直线平行于另一个平面一个平面内的两条直线平行于另一个平面一个平面内有无数条直线平行于另一个平面一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案 3. 对于平面 和共面的直线 m、n，下列命题中假命题是 （
2、填序号）.若 m ，m n，则 n 若 m ，n ，则 mn若 m ，n ，则 mn若 m、n 与 所成的角相等，则 mn 答案 4. 已知直线 a,b,平面 ，则以下三个命题：若 ab,b ,则 a ;若 ab,a ,则 b ;若 a ,b ,则 ab.其中真命题的个数是 . 答案 05. 直线 a/平面 M,直线 b M,那么 a/b 是 b/M 的 条件.A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要6. 能保证直线 a 与平面 平行的条件是A. B.b/， /，C. cc/，D. 且bDCaBA， BAC7. 如果直线 a 平行于平面 ,则 A.平面 内有且只有一直线
3、与a平行 B.平面 内无数条直线与a平行C.平面 内不存在与a平行的直线 D.平面 内的任意直线与直线a都平行8. 如果两直线 a b,且 a平面 ,则 b 与 的位置关系 A.相交 B. C. D. 或/9. 下列命题正确的个数是 10. （1）若直线 l 上有无数个点不在平面 内,则 l（2）若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一直线平行（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行（4）若一直线a和平面内一直线b平行,则aA.0个 B.1个 C.2个 D.3个11. b 是平面 外的一条直线，下列条件中可得出 b 是A.b与内的一条直线不相交 B.b与内的两条直
4、线不相交C.b与内的无数条直线不相交 D.b与内的所有直线不相交12. 已知两条相交直线 a、 b， a平面 ，则 b 与 的位置关系A.b B.b与相交 C.b D.b或b与相交13. 如图所示，已知 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，且 SA=SB=SC，SG 为SAB 上的高，D、E、F 分别是 AC、BC、SC 的中点，试判断 SG 与平面 DEF 的位置关系，并给予证明.解 SG平面 DEF，证明如下：方法一：三角形中位线 连接 CG 交 DE 于点 H，如图所 示.DE 是ABC 的中位线，DEAB.在ACG 中，D 是 AC 的中点，且 DHAG.H 为 CG 的中点.F
5、H 是SCG 的中位线，FHSG.又 SG 平面 DEF，FH 平面 DEF，SG平面 DEF.方法二： 平面平行的性质EF 为SBC 的中位线，EFSB.EF 平面 SAB，SB 平面 SAB，EF平面 SAB.同理可证，DF平面 SAB，EFDF=F，平面 SAB平面 DEF，又 SG 平面 SAB，SG平面 DEF.14. 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H 分别是 BC、CC 1、C1D1、A 1A 的中点.求证：（1）BFHD 1；（2）EG平面 BB1D1D；（3）平面 BDF平面 B1D1H.证明 平行四边形的性质，平行线的传递性（1）如图所示，取 B
6、B1的中点 M，易证四边形 HMC1D1是平行四边形，HD 1MC 1.又MC 1BF，BFHD 1.（2）取 BD 的中点 O，连接 EO，D 1O，则 OE DC，21又 D1G DC，OE D1G，2四边形 OEGD1是平行四边形，GED 1O.又 D1O 平面 BB1D1D，EG 平面 BB1D1D.（3）由（1）知 D1HBF，又 BDB 1D1，B 1D1、HD 1 平面 HB1D1，BF、BD 平面 BDF，且B1D1HD 1=D1，DBBF=B，平面 BDF平面 B1D1H.15. 如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，M、N 分别是 BC 和 A1B1的中点.求证：MN平
7、面 AA1C1C.证明 方法一：平行四边形的性质设 A1C1 中点为 F，连接 NF，FC，N 为 A1B1中点，NFB 1C1，且 NF= B1C1，2又由棱柱性质知 B1C1 BC，又 M 是 BC 的中点，NF MC，四边形 NFCM 为平行四边形.MNCF，又 CF 平面 AA1C1，MN 平面 AA1C1，MN平面 AA1C1C.方法二：三角形中位线的性质连接 AM 交 C1C于点 P，连接 A1P，M 是 BC 的中点，且 MCB 1C1，M 是 B1P的中点，又N 为 A1B1中点，MNA 1P，又 A1P 平面 AA1C1，MN 平面 AA1C1，MN 平面 AA1C1C.方法
8、三：平面平行的性质设 B1C1 中点为 Q，连接 NQ， MQ，M、Q 是 BC、B 1C1的中点，MQ CC1，又 CC1 平面 AA1C1C， MQ 平面 AA1C1C，MQ平面 AA1C1C .N、Q 是 A1B1、B 1C1的中点，NQ A1C1，又 A1C1 平面 AA1C1C，NQ 平面 AA1C1C，NQ平面 AA1C1C .又MQNQ=B，平面 MNQ平面 AA1C1C，又 MN 平面 MNQ MN平面 AA1C1C.16. 如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线 AB1，BC 1上分别有两点 E，F，且 B1E=C1F.求证：EF平面 ABCD.方法一：平行
9、四边形的性质过 E 作 ESBB 1 交 AB 于 S，过 F 作 FTBB 1 交 BC 于 T，连接 ST，则 ，且AEB1CB 1E=C1F，B 1A=C1B，AE=BF ，ES=FTST又ESB 1BFT，四边形 EFTS 为平行四边形.EFST，又 ST 平面 ABCD，EF 平面 ABCD，EF平面 ABCD.方法二：相似三角形的性质连接 B1F 交 BC于点 Q，连接 AQ，B 1C1BC， 1FB 1E=C1F，B 1A=C1B， 1EDEFAQ，又 AQ 平面 ABCD，EF 平面 ABCD，EF平面ABCD.方法三：平面平行的性质过 E 作 EGAB 交 BB1于 G，连接
10、 GF，则 ，BAB 1E=C1F，B 1A=C1B， ，FGB 1C1BC，又 EGFG=G，ABBC=B，平面 EFG平面 ABCD，而 EF 平面 EFG，EF平面 ABCD.17. 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1的中点，设 Q 是 CC1上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ平面 PAO？解 面面平行的判定当 Q 为 CC1的中点时，平面 D1BQ平面 PAO.Q 为 CC1的中点，P 为 DD1的中点，QBPA.P、O 为 DD1、DB 的中点，D 1BPO.又 POPA=P，D 1BQB=B，D1B平面 PA
11、O，QB平面 PAO，平面 D1BQ平面 PAO.直线与平面平行的性质定理18. 如图所示，四边形 EFGH 为空间四边形 ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形.（1）求证：AB平面 EFGH，CD平面 EFGH.（2）若 AB=4，CD=6，求四边形 EFGH 周长的取值范围.（1）证明 四边形 EFGH 为平行四边形，EFHG.HG 平面 ABD，EF平面 ABD.EF 平面 ABC，平面 ABD 平面 ABC=AB，EFAB.AB平面 EFGH.同理可证，CD平面 EFGH. (2)解 设 EF=x（0x4） ，由于四边形 EFGH 为平行四边形， .则 = = =1- .从而 FG
12、=6- .四边形 EFGH 的周长CBF6GBCF4xx23l=2(x+6- )=12-x.又 0x4,则有 8l12,四边形 EFGH 周长的取值范围是23（8，12）.19. 如图所示，平面 平面 ，点 A ，C ，点 B ，D ,点 E，F 分别在线段 AB，CD 上，且 AEEB=CFFD.（1）求证：EF ;（2）若 E，F 分别是 AB，CD 的中点，AC=4，BD=6，且 AC，BD 所成的角为 60，求EF 的长.（1）证明 两个平行平面同时与第三个平面相交，则交线平行；平行线分线段成比例方法 当 AB，CD 在同一平面内时，由 ，平面 平面 ABDC=AC，平面 平面 ABD
13、C=BD，AC BD，AEEB=CFFD，EFBD，又 EF ,BD ,EF .方法 当 AB 与 CD 异面时，设平面 ACD =DH，且 DH=AC. ， 平面 ACDH=AC，ACDH，四边形 ACDH 是平行四边形，在 AH 上取一点 G，使 AGGH=CFFD，又AEEB=CFFD，GFHD，EGBH，又 EGGF=G，平面 EFG平面 .EF 平面 EFG，EF .综上， EF .（2）解三角形中位线如图所示，连接 AD，取 AD 的中点 M，连接 ME，MF.E，F 分别为 AB，CD 的中点，MEBD，MFAC，且 ME= BD=3， MF= AC=2，2121EMF 为 AC
14、 与 BD 所成的角（或其补角） ，EMF=60或 120，在EFM 中由余弦定理得，EF= = = ，EMFMFEcos22 213263即 EF= 或 EF= .71920. 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB，在 AE、BD 上各有一点 P、Q，且AP=DQ.求证：PQ平面 BCE.证明 方法一：平行四边形的性质 如图所示，作 PMAB 交 BE 于M，作 QNAB 交 BC 于 N，连接 MN.正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB，AE=BD.又AP=DQ，PE=QB，又PMABQN， ， ， ，PM QN，AEPBBDQCCAPM四边形 PMN
15、Q 为平行四边形，PQMN.又 MN 平面 BCE，PQ 平面 BCE，PQ平面 BCE.方法二：相似三角形的性质如图所示，连接 AQ，并延长交 BC 于K，连接 EK，AE=BD，AP=DQ，PE=BQ， = PEABQD又ADBK， = KA由得 = ，PQEK.PE又 PQ 平面 BCE，EK 平面 BCE，PQ平面 BCE.方法三：平面平行的性质 如图所示，在平面 ABEF 内，过点 P 作PMBE，交 AB 于点 M，连接 QM.PMBE，PM 平面 BCE，即 PM平面 BCE， = PEAMB又AP=DQ，PE=BQ， = QD由得 = ，MQ AD，BAMQBC，又MQ 平面
16、BCE，MQ平面 BCE.又PMMQ=M，平面 PMQ平面 BCE，PQ 平面 PMQ， PQ平面 BCE.21. 如图所示，正四棱锥 PABCD 的各棱长均为 13，M，N 分别为 PA，BD 上的点，且PMMA=BNND=58.（1）求证：直线 MN平面 PBC；（2）求线段 MN 的长.（1）证明：方法一： 相似三角形的性质连接 AN 并延长交 BC 于 Q，连接 PQ，如图所示.ADBQ，ANDQNB， = = = ，NQABD58又 = = ，MP = = ，MNPQ，A58又PQ 平面 PBC，MN 平面 PBC，MN平面 PBC. 方法二：平行四边形的性质 如图所示，作 MQAB
17、 交 PB 于 Q，作 NRAB 交 BC 于 R，连接 QR.MQABNR， ， ，PMANRDC又 ，MQ NR，四边形 MNRQ 为平行四边形，MNQR.又 QR 平面 PBC，MN 平面 PBC，MN平面 PBC.方法三：平面平行的性质 如图所示，在平面 ABP 内，过点 M 作 MNPB，交 AB 于点 O，连接 ON.MOPB，MO 平面 PBC，PB 平面 PBC即 MO平面 PBC， =AMO又 = = ，NDB85 = ,NOAD，NOBC，又NO 平面 PBC，BC 平面 PBCNO平面 PBC.又MONO=O，平面 MNO平面 PBC，MN 平面 MNO， MN平面 PBC.（2）解 在等边PBC 中，PBC=60，在PBQ 中由余弦定理知 PQ 2=PB2+BQ2-2PBBQcosPBQ=132+ -213 = ，PQ= ，8658651648891MNPQ，MNPQ=813，MN= =7.93
