1、线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案1在四面体 ABCD 中，ABC 与DBC 都是边长为 4 的正三角形(1)求证：BCAD；2 如图，在三棱锥 SABC 中，SA平面ABC，平面 SAB平面 SBC（1）求证：ABBC；3.如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的正方形，PA底面ABCD，E 为 AB 的中点，且 PA=AB（1）求证：平面 PCE平面 PCD；（2）求点 A 到平面 PCE 的距离4. 如图 2-4-2 所示，三棱锥 SABC 中，SB=AB，SC=AC，作ADBC 于 D，SHAD 于 H， 求证： SH平面 ABC.(第 1 题)5. 如图所示，已知 Rt
2、ABC 所在平面外一点 S，且 SA=SB=SC，点D 为斜边 AC 的中点.(1) 求证： SD平面 ABC；(2) 若 AB=BC，求证：BD 平面 SAC.6. 证明：在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，A 1C平面 BC1DD1 C1 A1 B1 D C A B 7. 如图所示，直三棱柱 中，ACB=90，AC=1，侧棱 ，侧面 的两条对角线交点为 D， 的中点为 M.求证：CD 平面 BDM.8.在三棱锥 BCD中， BC AC， AD BD，作 BE CD， 为垂足，作 AH BE于 求证： AH平面 BCD9. 如图，过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC，且
3、ASB=ASC=60， BSC=90 ，求证：平面ABC平面 BSC10.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB 1BC 1，E为 D1C1的中点，连结 ED，EC，EB 和 DB(1)求证：平面 EDB平面 EBC；(2)求二面角 EDB C 的正切值.11： 已知直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面， A 为垂足，AB 为圆 O的直径，C 是圆周上异于 A、B 的一点。求证：平面 PAC平面PBC。 12. 如图 1-10-3 所示，过点 S 引三条不共面的直线，使BSC=90 ，ASB=ASC=60 ，若截取 SA=SB=SC.求证：平面 ABC平面 BSC13. 如图
4、 1-10-5 所示，在四面体 ABCD 中，BD= a, AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面 ABD平面 BCD. 214.如图所示，ABC 为正三角形，CE平面 ABC，BDCE，且CE=AC=2BD，M 是 AE 的中点，求证：(1)DE=DA；(2)平面 BDM平面 ECA；(3)平面DEA平面 ECA15.如图所示，已知 PA矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别是AB、 PC 的中点 (1) 求证： MN平面 PAD；(2)求证：MNCD；(3)若PDA=45，求证： MN平面 PCD16. 如图 1，在正方体 中， 为 的中点，AC 交1ABCDM1CBD 于点 O，求
5、证： 平面 MBD1答案与提示：1. 证明：(1)取 BC 中点 O，连结 AO，DOABC，BCD 都是边长为 4 的正三角形， AO BC，DOBC，且 AODO O ，BC平面 AOD又 AD 平面 AOD，BCAD 2. 【证明】作 AHSB 于 H，平面 SAB平面 SBC平面SAB平面 SBC=SB，AH平面 SBC，又 SA平面 ABC，SABC，而 SA 在平面 SBC 上的射影为SB，BC SB，又 SASB=S，BC 平面 SABBCAB3. 【证明】PA 平面 ABCD，AD 是 PD 在底面上的射影，又四边形 ABCD 为矩形，CD AD ，CDPD，AD PD=D C
6、D 面 PAD，PDA为二面角 PCDB 的平面角，PA=PB=AD，PA ADPDA=45，取 RtPAD 斜边 PD的中点 F，则 AFPD，AF 面 PAD CDAF ，又 PDCD=DAF平面 PCD，取 PC 的中点 G，连GF、AG、 EG，则 GF 21CD 又 AE 21CD，GF AE四边形 AGEF 为平行四边形 AF EG，EG平面 PDC 又 EG 平面 PEC，平面 PEC平面 PCD（2） 【解】由（1）知 AF平面 PEC，平面 PCD平面 PEC，过 F 作 FHPC 于 H，则 FH平面 PECFH 为 F 到平面 PEC 的距离，即为 A 到平面 PEC 的
7、距离在PFH 与 PCD 中， P 为公共角，而FHP=CDP=90 ，PFH PCD PCFDH，设AD=2，PF= 2，PC= 32482CD，FH= 36A 到平面 PEC 的距离为64. 【 证明】取 SA 的中点 E， 连接 EC，EB.SB=AB,SC=AC,SABE,SACE.又CE BE=E,SA平面 BCE.BC 平面 BCE5. 证明：(1)因为 SA=SC，D 为 AC 的中点，所以 SDAC.连接 BD. 在 RtABC 中，有 AD=DC=DB，所以SDBSDA， 所以SDB=SDA， 所以 SDBD.又 ACBD=D， 所以 SD平面 ABC.(2)因为 AB=BC
8、，D 是 AC 的中点， 所以 BDAC.又由(1)知 SDBD， 所以 BD 垂直于平面 SAC 内的两条相交直线，所以 BD平面 SAC.6.证明：连结 ACBDACAC 为 A1C 在平面 AC 上的射影ABCD111同 理 可 证 平 面7. 证明：如右图，连接 、 、 ，则 . ， 为等腰三角形.又知 D 为其底边 的中点， . ， ， .又 ， . 为直角三角形，D 为的中点， ， .又 ， ， .即 CDDM. 、 为平面 BDM 内两条相交直线， CD 平面 BDM.8.证明：取 AB的中点 ，连结 CF， DF ， ACBFAB ， D又 ， 平面 CDF 平面 CDF， C
9、CDAB又 ， ， CDBEAB 平面 ABE， CDH ， ， ，AHE 平面 BCD9.证明：如图，已知 PA=PB=PC=a，由APB=APC=60 ，PAC，PAB 为正三角形，则有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取 BC 中点为 E直角BPC 中， ， ，由 AB=AC，AE BC ，直角ABE 中， ， ， ，在PEA 中， ， ， ，平面 ABC平面 BPC.10. 证明：(1)在长方体 ABCDA 1B1C1D1中，AB2，BB 1BC1， E 为 D1C1的中点 DD 1E 为等腰直角三角形，D 1ED45同理C 1EC45 ，即90DE EC在长方体 ABCD 中，BC平面 ，又 DE 平面1BA1DC，1DCBCDE又 ，DE平面 EBC平面 DEB 过CEDE， 平面 DEB平面 EBC(2)解：如图，过 E 在平面 中1D
